2单自由度系统受迫振动-振动力学课件.ppt

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1、单自由度系统受迫振动2007-9-9教学内容单自由度系统受迫振动 线性系统的受迫振动 工程中的受迫振动问题 任意周期激励的响应 非周期激励的响应 线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动 线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动弹簧质量系统设外力幅值外力的激励频率振动微分方程：x 为复数变量，分别与实部和虚部分别与 m单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动受力分析kcx0 m和相对应和相对应振动微分方程：

2、设：代入，有：复频响应函数 振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差则：稳态响应的复振幅 静变形单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动代入，有：稳态响应的实振幅 若：则：无阻尼情况：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动（1 1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动 而相位滞后激振力的简谐振动（2 2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m m,k k,c c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动

3、的方式（即初始条件）无关 的方式（即初始条件）无关 结论：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性以s 为横坐标画出 曲线 幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当s1（）激振频率相对于系统固有频率很低 结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当 01 2 3012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性 稳态响应特性（2）当s1（）激振频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅 很小01 2 3012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性 稳态响应特性结论：共振 振幅无穷大（4）当对应于较小 值，迅速增大 当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的

4、区域内，增加阻尼使振幅明显下降 01 2 3012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性 稳态响应特性（6）当振幅无极值 01 2 3012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性 稳态响应特性记：品质因子 在共振峰的两侧取与 对应的两点，带宽Q 与 有关系：阻尼越弱，Q 越大，带宽越窄，共振峰越陡峭 单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性 线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动

5、简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 显含 t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回顾：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段 受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况 假定正弦激励通解：齐次通解非齐次特解初始条件决定 单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应特点：以系统固有频率为振动频率单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡

6、阶段零初始条件(2)s 1(1)s 1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动00稳态响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段零初始条件0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 通解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率 振动解：的全解：如果要使系统响应只以 为频率振动必须成立：初始条件：单自由度系统受迫

7、振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率 振动解：的全解：正确？全解：由求一阶导数：由单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例：计算初始条件，以使的响应只以频率 振动全解：如果要使系统响应只以 为频率振动初始条件：0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近 令：小量 考虑零初始条件，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为 但振幅按 规律缓慢变化的振动 这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”0拍的周期：图形包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随 t 增大，振幅无限

8、增大，无阻尼系统共振的情形 0响应曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 初始条件响应自由伴随振动 强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动 自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段 线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 简谐

9、惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例 坐标：动力学方程：基座位移规律：x1 相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动动力学方程：回顾：令：有：其中：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1 0 0 190180幅频曲线 相频曲线单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动有阻尼的单自由度承受支撑运动支

10、撑运动：系统固有频率从左到右：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移 x 为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动幅频曲线0 1010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 可看出：当 时，振幅恒为支撑运动振幅D当 时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为 m1=1

11、000 kg空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为 k=350 kN/m 阻尼比在满载时为车速为 v=100 km/h 路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比l=5 m l=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l=5 m因此：得：c、k 为常数，因此 与 成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5 m l=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载时频率比记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2有：满载时阻尼

12、比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动l=5 m l=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz例：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计支座B 不动求：质量m 的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离支座A 产生微小竖直振动ambA B解：固有频率：简化图在质量m 作用下，由材料力学可求出静挠度mk：因yA的运动而产生的质量m 处的运动动力学方程：振幅：支承运动小结相对位移基座位移规律：绝对位移xfkcmx0mkxxfc单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性

13、力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的垂直位移 则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：简化图形mxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动McxMcxemme：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力 设：得：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动McxB 又写为：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1 m由自由衰减振动测得阻尼系数为假定求：（1）偏心距 e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？mxce单

14、自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动Mcx解:（1）共振时测得最大振幅为0.1 m由自由衰减振动测得阻尼系数为共振时最大振幅（2）若要使系统共振时振幅为0.01 mmxce单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动Mcx单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动mxceMcxMcxem 偏心质量小结解1：解2：线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动 机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构

15、的动力特性 机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比 动力学方程：输入：输出代入，得：复频响应函数根据定义，位移阻抗：单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为导纳 输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗 速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数 现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻

16、尼系数等参数及其它动力特征 单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳复频响应函数又可写为：模及幅角：同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳记 实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线 单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳发生共振时近似取最大值 10101还可以用频率比 s 或相对阻尼系数 作参变量，把 画在复平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图（Nyquict plot）粘性阻尼系数的 Nyquict 图是一个近似的图，并且在共振点附近，曲线弧长随 s 的变化率是最大的Nyquict 图在结构动力分析上有很多用处-6-4-2 0 2 4 6-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳