学年数值分析试卷.ppt

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1、07-08学年数值分析试卷一、填空（本大题共一、填空（本大题共8小题，每空小题，每空2分，共分，共20分）分）1、设、设x1=857.900和和x2=0.08421都是经过四舍五入得到的近似都是经过四舍五入得到的近似值，则它们分别具有值，则它们分别具有 位和位和 位有效数字。位有效数字。642、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有 阶方法。阶方法。13、设、设f(x)=x4，写出以，写出以1，0，2，4为节点的三次插值多项式为节点的三次插值多项式4、设、设f(x)=2x3+9，则差商，则差商f(1,2,3,4)=25、对于给定的、对于给定的a0，应

2、用牛顿法导出求，应用牛顿法导出求 而不使用开方运算与而不使用开方运算与除法运算的迭代公式除法运算的迭代公式6、写出求积分、写出求积分 的辛普生公式的辛普生公式它具有它具有 次代数精度。次代数精度。37、设、设 ，则，则148、写出高斯消去法的回代公式、写出高斯消去法的回代公式或者或者二、（本大题共二、（本大题共12分）分）用改进欧拉方法求解下列常微分方程的初值问题：用改进欧拉方法求解下列常微分方程的初值问题：要求要求（1）写出计算公式：（）写出计算公式：（2）画出算法框图。）画出算法框图。解：解：1）计算公式为：）计算公式为：预报：预报：校正：校正：取步长取步长h0.2或表示为平均公式：或表示

3、为平均公式：三、（本大题共三、（本大题共12 分）分）利用变步长的梯形公式计算利用变步长的梯形公式计算 （误差不超过（误差不超过 ）要求：要求：1）写出计算公式；）写出计算公式；2）画出算法框图。）画出算法框图。解：解：1）计算公式）计算公式四、（本大题四、（本大题12分）分）已知 ，要求：1）以这）以这3 个点作为求积节点，推导计算积分个点作为求积节点，推导计算积分的内插求积公式；的内插求积公式；2）指明构造的求积公式所具有的代数精度，并说明原因；）指明构造的求积公式所具有的代数精度，并说明原因；3）用所求公式计算）用所求公式计算 。解：解：1）由）由3 个求积节点所构造出的内插求积公式为个

4、求积节点所构造出的内插求积公式为其中其中即：即：于是：于是：2）由于此公式为三节点的内插求积公式，所以代数精度至少）由于此公式为三节点的内插求积公式，所以代数精度至少为为2.再令再令代入上述公式有代入上述公式有令令代入上述公式有代入上述公式有3）五、讨论题（本大题共五、讨论题（本大题共10分）分）为用迭代法求方程为用迭代法求方程 在区间在区间 内的一个实内的一个实根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式：根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式：，迭代公式为，迭代公式为，迭代公式为，迭代公式为试分析每种迭代公式的收敛性。试分析每种迭代公式的收敛性。解：解：1）对于迭代公式）

5、对于迭代公式 ,其迭代函数为其迭代函数为故当故当 时，有时，有此外成立此外成立因此，迭代公式因此，迭代公式 对任意初值对任意初值 均收敛。均收敛。2)对于迭代公式对于迭代公式 其迭代函数为：其迭代函数为：故当故当 时，有时，有因此，迭代公式因此，迭代公式 在区间在区间 内发散。内发散。六、证明题（本大题共六、证明题（本大题共6分）分）列出函数列出函数 关于互异节点关于互异节点 的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立：的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立：证明：证明：1）由拉格朗日插值公式）由拉格朗日插值公式2）依拉格朗日插值余项定理，当）依拉格朗日插值余项定理，当 时幂函数时幂函数关于关于n

6、+1个节点个节点的插值多项式就是其本身，故上述的插值多项式就是其本身，故上述特别地，当特别地，当k=0时，时，令令 时，时，七、（本大题共七、（本大题共12分）分）用用Gauss-Seidel迭代法解下列方程组：迭代法解下列方程组：要求：要求：1）建立收敛的迭代格式；）建立收敛的迭代格式；2）画出算法框图。）画出算法框图。解：解：1）原线性方程组可化为下列严格对角占优方程组：）原线性方程组可化为下列严格对角占优方程组：于是有下列收敛的迭代格式：于是有下列收敛的迭代格式：八、证明题（本大题共八、证明题（本大题共6分）分）基于方程求根的迭代原理证明：基于方程求根的迭代原理证明：证明：首先建立迭代公式，令证明：首先建立迭代公式，令则有迭代公式：则有迭代公式：相应迭代函数是显然当显然当 时，时，且成立且成立因此，上述迭代过程收敛于方程因此，上述迭代过程收敛于方程 的正根。的正根。故有故有