沪科版八年级数学下册第16章二次根式课件全套.ppt

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1、沪科版沪科版 八年级数学八年级数学 下册下册 第十六章第十六章 二次根式二次根式16.1 16.1 二次根式二次根式第第1 1课时课时 二次根式的二次根式的 定义定义1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升二次根式的定义二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件二次根式的二次根式的“双重双重”非负性非负性(a0，0)1知识点知识点二次根式的定义二次根式的定义1.口答：口答：4的平方根是多少？的平方根是多少？4的算术平方根是多少？的算术平方根是多少？2.填空：填空：的算术平方根是的算术平方根是；=.知知1 1导导归 纳知知1 1导导（来

2、自（来自点拨点拨）、等都是二次等都是二次根式根式.定义：定义：形如形如(a0)的式子叫做二次根式；其中的式子叫做二次根式；其中“”称为二次根号，称为二次根号，a称为被开方数称为被开方数(式式)要点精析：要点精析：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含有二次根号含有二次根号“”；“”的根指数为的根指数为2，即，即，“2”一般省略不写一般省略不写(2)被开方数被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是式子，但前提是a必须大于或等于必须大于或等于0.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）

3、导引：导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别解：解：(1)的根指数是的根指数是3，不是二次根式不是二次根式(2)不论不论x为何值，都有为何值，都有x210，是二次根式是二次根式(3)当当5a0，即，即a0时，时，是二次根式；是二次根式；当当a0时，时，5a0，则，则不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(4)1(a0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式二次根式例例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理

4、由判断下列各式是否为二次根式，并说明理由(1)；(2)；(3)；(4)1(a0);(5)；(6)；(7)；(8)知知1 1讲讲知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(5)当当x3时，时，无意义，无意义，也无意义；也无意义；当当x3时，时，0，是二次根式是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(6)当当a4时，时，a40，是二次根式；是二次根式；当当a4时，时，(a4)20，不是二次根式不是二次根式不一定是二次根式不一定是二次根式(7)x22x2x22x11(x1)210，是二次根式是二次根式(8)|x|0，是二次根式是二次根式总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）二次根式的识别方法：二次根

5、式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：特征：(1)含根号且根指数为含根号且根指数为2(通常省略不写通常省略不写)；(2)被开方数被开方数(式式)为非负数为非负数1下列各式中，一定是二次根式的是（下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.2下列式子不一定是二次根式的是下列式子不一定是二次根式的是()A.B.C.D.3下列式子：下列式子：中，一定是二次根式的有中，一定是二次根式的有()A2个个B3个个C4个个D5个个知知1 1

6、练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件知知2 2讲讲1二次根式有意义的条件是被开方数二次根式有意义的条件是被开方数(式式)为非负数；为非负数；反之也成立，即：反之也成立，即：有意义有意义a0.2二次根式无意义的条件是被开方数二次根式无意义的条件是被开方数(式式)为负数；为负数；反之也成立，即：反之也成立，即：无意义无意义a0.知知2 2讲讲例例2当当x为何值为何值时，时，下列式子下列式子在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？解：解：(1)要使要使有意义，必须有意义，必须x+30.解这个不等解这个不等式，得式，得x-3.即当即当x-3时，时，在实数

7、范围内有意义在实数范围内有意义.(2)因为因为x为任何实数时都有为任何实数时都有x20，所以当所以当x为一切实数时，为一切实数时，在实数范围内都有意在实数范围内都有意义义（来自（来自教材教材）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）求式子有意义时字母的取值范围的方法：求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则须满足多个被开方数同时为非负数；对于零

8、指数幂，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分母不能为零第二步，利用式子中所有有意义的条件，母不能为零第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组第三步，求出不等式或不等式建立不等式或不等式组第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围组的解集，即为字母的取值范围知知2 2讲讲例例3若式子若式子有意义，则点有意义，则点P(a，b)在在()A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第三象限第三象限D第四象限第四象限要确定点要确定点P(a，b)在第几象限，则需确定在第几象限，则需确定a，b的符号，的符号，而而a，b的符号

9、可从式子有意义隐含的条件中求出，的符号可从式子有意义隐含的条件中求出，即即点点P(a，b)在第三象限在第三象限（来自（来自点拨点拨）导引导引：C总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵坐坐标标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象象限限；这种由；这种由“数数”确定符号到确定符号到“形形”确定位置的过程确定位置的过程，体现体现了了数形结合思想数形结合思想(2)当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表表示示

10、这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都都是是先根据定义建立关于字母的不等式先根据定义建立关于字母的不等式(组组)，再通过，再通过解解不等式不等式(组组)确定字母取值范围确定字母取值范围知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1(中考中考巴中巴中)要使式子要使式子有意义，则有意义，则m的取值的取值范围是范围是()Am1Bm1Cm1且且m1Dm1且且m1知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2(中考中考滨州滨州)如果式子如果式子有意义，那么有意义，那么x的取值的取值范围在数轴上表示正确的是范围在数轴上表示正确的是()知知3 3讲讲3知识点知识点二次

11、根式的二次根式的“双重双重”非负性（非负性（a0 0，0 0）双重非负性双重非负性：中中a0，0，即一个非负，即一个非负数的算术平方根是一个非负数数的算术平方根是一个非负数.例例4若若与与互为相反数互为相反数，则，则x+y的值为的值为()A3B9C12D27知知3 3讲讲D知知3 3讲讲根据互为相反数的两数的和等于根据互为相反数的两数的和等于0列式，再根据非负列式，再根据非负数的性质列出关于数的性质列出关于x，y的二元一次方程组，求解得的二元一次方程组，求解得到到x，y的值，然后代入所求式子进行计算即可得解的值，然后代入所求式子进行计算即可得解与与互为相反数，互为相反数，0.又又0，0，即即，

12、得，得y12.把把y12代入代入，得，得x1230，解得解得x15，xy151227.导引导引：总 结知知3 3讲讲常见的三种类型的非负数：常见的三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根算术平方根)当它们的当它们的和为和为0时，必须满足其中的每一项都等于时，必须满足其中的每一项都等于01(中考中考攀枝花攀枝花)若若y2，则，则xy2_.32(中考中考泰州泰州)实数实数a，b满足满足4a24abb20，4则则ba的值为的值为()5A2B.C2D知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）1形如形如（a0）的式子叫做二次根式，）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号

13、称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数开方数是非负数1.必做必做:完成教材完成教材P6习题习题6.1T1-T22.补充补充:请完请完成成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1616章章 二次根式二次根式16.1 16.1 二次根式二次根式第第2 2课时课时 二次根式的二次根式的 性质性质1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升性质性质1：()2a(a0)性质性质2：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式）二次根式有意义，则有意

14、义，则x。1知识点知识点性质性质1 1：（：（）2 2=a(a0)0)知知1 1讲讲性质性质1：()2=a(a0)，即一个非负数的算术平，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身方根的平方等于它本身.应用应用a()2(a0)可将一个非负数写成一个数可将一个非负数写成一个数的平方的形式，如果含有字母，要考虑字母的的平方的形式，如果含有字母，要考虑字母的取值范围，如取值范围，如a1要写成一个数的平方的形式，要写成一个数的平方的形式，就必须满足就必须满足a10.例例1将下列各数写成一个非负数的平方的形式：将下列各数写成一个非负数的平方的形式：(1)7；(2)；(3)x21；(4)a1.；知知1 1讲

15、讲导引导引：(1)7()2.(2)(3)x21()2.(4)当当a1时，时，a1()2；当当a1时，时，a1不能写成一个数的平方的形式不能写成一个数的平方的形式知知1 1讲讲解解：总 结知知1 1讲讲形如形如(4)这类题目应充分运用这类题目应充分运用分类讨论思想分类讨论思想另外，另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方方(不一定带根号不一定带根号)的形式，如的形式，如422，1642，x22x1(x1)2等等解：解：(1)()2=1.5;(2)(2)2=22()2=45=20.例例2计算：计算：(1)；(2)；知知1 1讲讲总 结知知

16、1 1讲讲()2=a(a0)这一性质也可以反过来用，即这一性质也可以反过来用，即a=()2(a0)，如，如3=()2，等等1求下列各式的值：求下列各式的值：(1);(2)()2;(3)()2;(4)-()2.知知1 1练练（来自（来自教材教材）2下列计算正确的是下列计算正确的是()A()26B()29C()216D3把把4写成一个正数的平方的形式是写成一个正数的平方的形式是()A.B.C.D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点知知2 2讲讲性质性质2 2：性质性质2：即一个数的平方的算术即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值平方根等于它的绝对值.知知2 2讲讲与与()2的

17、区别与联系：的区别与联系：区别：区别：取值范围不同：取值范围不同：中中a为全体实数，为全体实数，()2中中 a0；运算顺序不同：运算顺序不同：是先平方后开方，是先平方后开方，()2是是先开方后平方；先开方后平方；运算结果不同：运算结果不同：|a|=()2a.联系：联系：与与()2均为非负数，且当均为非负数，且当a0时，时，()2.计算计算(b )2时，运用时，运用(ab)2a2b2这个结论可知，这个结论可知，(b )2b2a.知知2 2讲讲例例3计算计算:(1);(2).解：解：(1)或或(2)（来自（来自教材教材）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）计算计算一般有两个步骤：一般有两个步

18、骤：去掉根号及被开方数去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即的指数，写成绝对值的形式，即|a|；去掉绝对去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|知知2 2讲讲例例4先化简再求值先化简再求值:，其中，其中x=4.解：解：当当x=4时，时，当当x=4时，时，（来自（来自教材教材）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）运用运用|a|进行化简时，其关键步骤是去进行化简时，其关键步骤是去绝对值绝对值符号符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代代数式数式的符号，因此一定要结合具体问题，如数轴、的符号

19、，因此一定要结合具体问题，如数轴、几何几何图形图形特征等，先确定其符号，然后进行化简特征等，先确定其符号，然后进行化简知知2 2讲讲例例5实数实数a，b在数轴上对应点的位置如，化简：在数轴上对应点的位置如，化简：根据实数根据实数a，b在数轴上对应点的位置先确定在数轴上对应点的位置先确定a，b，ab的符号，再根据二次根式的性质的符号，再根据二次根式的性质开方、去绝对值符号，最后合并开方、去绝对值符号，最后合并同类项同类项（来自（来自教材教材）导引导引：知知2 2讲讲由数轴知，由数轴知，a0，b0，ab0.|a|b|ab|(a)b(ab)abab2b.（来自（来自教材教材）解解：总 结知知2 2讲

20、讲（来自（来自点拨点拨）观察观察数轴确定数轴确定a，b及及ab的符号是解答本题的符号是解答本题的的关键关键,本题本题巧用数轴给出了每个数的巧用数轴给出了每个数的符号符号,渗透渗透了了数数形合形合思想思想1求求下列各式的值：下列各式的值：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练（来自（来自教材教材）2先化简再求值：先化简再求值：其中其中x=-2.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3下列式子成立的是下列式子成立的是()A.13B0.6C.13D.64如果如果12a，则，则()AaDa二次根式的性质：二次根式的性质：(1)中中a0，0，即一个非负数的算术平方根是，即一个非负数的算术平方根是一个非

21、负数；一个非负数；(2)()2a(a0)，即一个非负数的算术平方根的平方，即一个非负数的算术平方根的平方(1)等于它本身；等于它本身；(2)|a|即一个数的平方的算术平方根即一个数的平方的算术平方根(3)等于它的绝对值等于它的绝对值1.必做必做:完成教材完成教材P6习题习题16.1T3-T72.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1616章章 二次根式二次根式16.2 16.2 二次根式的运算二次根式的运算第第1 1课时课时 二次根式的二次根式的 乘法乘法1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升二次根式的二次根式的乘法法

22、则乘法法则积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质由算术平方根的意义，由算术平方根的意义，都是实数都是实数.当当a取取某个非负数值时，某个非负数值时，就是非负数就是非负数a的算术平方根，也是的算术平方根，也是一一个实数个实数.这类实数的运算满足怎样的运算法则呢？我们该这类实数的运算满足怎样的运算法则呢？我们该如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢？如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢？下面先探究二次根式的乘法法则下面先探究二次根式的乘法法则.1知识点知识点二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则填空：填空：(1)=_,=_;(2)=_,=_;(3)=_,=_.知知1 1导导归纳知知1 1导导一般

23、地，二次根式的乘法法则是一般地，二次根式的乘法法则是(a0 0，b0 0).性质性质3：如果：如果a0，b0，那么有，那么有文字语言：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指文字语言：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变数不变要点精析：要点精析：(1)性质中被开方数性质中被开方数a，b既可以是数，也可以既可以是数，也可以是代数式，是代数式，但都必须是非负数但都必须是非负数(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式乘单项时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数式的法则进行运算，即根号外因数(式式)之积作为根号之积作为根号外因数外因数(式式)，被开

24、方数之积作为被开方数，被开方数之积作为被开方数(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：(1)(2)例例1计算：计算：(1)；(2)知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方；方的一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，时，可类比单项式乘

25、单项式的法则进行运算，如可类比单项式乘单项式的法则进行运算，如a cac (b0，d0)，即将根号外的因数，即将根号外的因数(式式)与根号与根号外的因数外的因数(式式)相乘，相乘，被开方数与被开方数与被开方数相乘被开方数相乘.(1)根据这块长方形土地的长根据这块长方形土地的长a5m，宽，宽b4m，直接计算面积即可；，直接计算面积即可；(2)利用绿化该长方形土地利用绿化该长方形土地每平方米的造价为每平方米的造价为180元及元及(1)中求出的面积即可求中求出的面积即可求出绿化该长方形土地所需的资金出绿化该长方形土地所需的资金例例2计算洛湾中学要将主席台前的一块长方形土地进行计算洛湾中学要将主席台前

26、的一块长方形土地进行绿化，已知这块长方形土地的长绿化，已知这块长方形土地的长a5m，宽，宽b4m.(1)求该长方形土地的面积求该长方形土地的面积(精确到精确到0.1m2)；(2)若绿化该长方形土地每平方米的造价为若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？么绿化该长方形土地所需资金为多少元？知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）导引导引：(1)该长方形土地的面积为：该长方形土地的面积为：54100244.9(m2)(2)绿化该长方形土地每平方米的造价为绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，元，180244.944082(元元)答：答：绿化该长方形土

27、地所需资金约为绿化该长方形土地所需资金约为44082元元知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）解：解：1计算：计算：(1)；(2)知知1 1练练（来自（来自教材教材）2(2015河池河池)计算：计算：_3(2015安徽安徽)计算计算的结果是的结果是()A.B4C.D2知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质知知2 2导导1.性质性质3反过来可以写成反过来可以写成(a0，b0)文字语言：积的算术平方根等于积中各个因式的算文字语言：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积术平方根的积知知2 2讲讲要点精析：要点精析：(1)积的算术平方根的性

28、质的实质是逆用二次根式的乘积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则法法则,它对两个以上因数它对两个以上因数(式式)的积的算术平方根同的积的算术平方根同样适用；样适用；(2)应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每个因数每个因数(式式)必须是非负数，此性质的作用是化简必须是非负数，此性质的作用是化简二次根式；二次根式；(3)在进行化简运算时，先将被开方数进行因数在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式式)分分解，然后将能开得尽方的因数解，然后将能开得尽方的因数(式式)开方后移到根号开方后移到根号外外（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲

29、例例3化简化简：(1)(2)解：解：(1)(2)（来自（来自点拨点拨）(1)被开方数一定是积的形式，不能出现被开方数一定是积的形式，不能出现的错误；的错误；(2)若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进行化简，如再运用性质进行化简，如，这里隐含条件，这里隐含条件a0，易，易得出错误结果得出错误结果；(3)最后要检验开出来的数最后要检验开出来的数(式式)及留在根号内的数及留在根号内的数(式式)是是否都是非负数否都是非负数总 结知知2 2讲讲知知2 2讲讲例例4化简化简：解：解：（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲二次根式的乘法

30、运算过程的实质是性质二次根式的乘法运算过程的实质是性质3：的正用与逆用的一个综合过程，的正用与逆用的一个综合过程，它不仅是简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是它不仅是简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将所得的积化简，因此解形如将所得的积化简，因此解形如的过程如下：的过程如下：方法一：方法一：方法二：方法二：当被开方数是数时，用方法二更简便当被开方数是数时，用方法二更简便知知2 2讲讲例例4化简化简：设设a，b，用含，用含a，b的式子表示的式子表示，则下列正确的是则下列正确的是()A3abB2abCab2Da2bA要用要用a，b表示表示，实质上是要求利用积的算术平，实质上是要求利用积的

31、算术平方根将方根将中的中的54表示成含因数表示成含因数2、3的积的形式，的积的形式，再将再将a，b代入即可；因为代入即可；因为3a，b，所以，所以3ab.导引导引：1化简：化简：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练（来自（来自教材教材）知知2 2练练2(2015重庆重庆)化简化简的结果是的结果是()A4B2C3D23下列计算正确的是下列计算正确的是()A.B.5a2bC.85D.74计算：计算：(1)(2)(3)知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：(a0，b0).2.会利用会利用(a0，b0).进行二次根式进行二次根式的化简的化简.1.必做必做:完

32、成教材完成教材P12习题习题16.2T12.补充补充:请完请完成成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1616章章 二次根式二次根式16.2 16.2 二次根式的运算二次根式的运算第第2 2课时课时 二次根式的二次根式的 除法除法1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升二次根式的除法法则二次根式的除法法则商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质最简二次根式最简二次根式二次根式的乘法法则是什么内容？化简二二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤次根式的一般步骤是什么是什么？1知识点知识点二次根式的除法法则二次根式的除法法则1.计算：

33、计算：(1)=_,=_;(2)=_,=_;(3)=_,=_.知知1 1导导2.根据上题计算结果，用根据上题计算结果，用“”、“”或或“=”填空：填空：综上所述，二次根式的除法法则：综上所述，二次根式的除法法则：.当二次根式前面有当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商则进行计算：即系数之商作为商的作为商的，被开方数之，被开方数之商为商为.知知1 1导导_知知1 1讲讲1性质性质4：如果如果a0，b0那么有那么有.文字语言：两个二次根式相除，把被开方数相除，根文字语言：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变指数不变.要点精析：要点精

34、析：(1)法则中的被开方数法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是代数式，既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的且但都必须是非负的且b不为不为0；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式除以时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外因数单项式的法则进行运算，将根号外因数(式式)之商作为之商作为根号外商的因数根号外商的因数(式式)，被开方数之商作为被开方数，被开方数之商作为被开方数解：解：(1)(2)例例1计算：计算：(1)；(2)知知1 1讲讲总 结知知1 1讲讲 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相

35、除时，可以用数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数个数的倒数”进行约分、化简进行约分、化简1化简：化简：(1)；(2).知知1 1练练（来自（来自教材教材）2成立的条件是成立的条件是()Aa1Ba1且且a3Ca1Da33计算计算的结果是的结果是()A.B.C.D.知知1 1练练2知识点知识点商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质知知2 2导导性质性质4反过来也可以写成反过来也可以写成(a0，b0)语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根除以除式的算术平方根知知2 2讲讲例例2将下

36、列各式化简将下列各式化简：(1)(2)(3)(4)(1)先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；(2)需需要将分子、分母同时乘以要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个完全平方，将分母化成一个完全平方数，然后应用性质化简；数，然后应用性质化简；(3)方法一，先用性质方法一，先用性质“(a0，b0)”化简，再分母有理化；方法二，化简，再分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母同乘以先将被开方数的分子、分母同乘以a，再应用，再应用“(a0，b0)”进行化简；进行化简；(4)将被开方数的分将被开方数的分子分解因式，并且分子、分母同时乘以子分解因式，并且分子

37、、分母同时乘以xy，确保分母开，确保分母开方后不含根号方后不含根号导引导引：知知2 2讲讲解：解：知知2 2讲讲解：解：总 结知知2 2讲讲利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分母是一个完全平方数若被开方数的分母是一个完全平方数(式式)，则可以直，则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商；开平方，然后求商；(2)若被开方数的分母不是完全平方数若被开方数的分母不是完全平方数(式式)，可根据分式，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等的

38、基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式式)，然，然后利用商的算术平方根的性质进行化简后利用商的算术平方根的性质进行化简知知2 2讲讲例例3计算计算：(1)(2)(3)解：解：(1)解法解法1：解法解法2：(2)(3)总 结知知2 2讲讲分母有理化一般经历如下三步：分母有理化一般经历如下三步：“一移一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式式)移移到根号外；到根号外；“二乘二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式式)；“三化三化”，

39、即化简计算，即化简计算1化简：化简：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练知知2 2练练2下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是()A.B.C.D.3若若，则，则a的取值范围是的取值范围是()Aa0Ba0D00）2.会利用会利用（a0，b0）进行二次根式的化简进行二次根式的化简.3.最简二次根式：最简二次根式：（1）被开方数不含分母；）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式）分母中不含有二次根式.1.必做必做:完成教材完成教材P12习题习题16.2T22.补充补充:请完请完成成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1616章章 二次根式二次根式16.2 16.2 二次根式的运算二次根

40、式的运算第第3 3课时课时 二次根式的大二次根式的大 小比较方法小比较方法 名师点金名师点金含二次根式的数含二次根式的数(或式或式)的大小比较，是教与学的一的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法较常见的比地采用不同的方法，将会得到简捷的解法较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等化法、作差法、倒数法、特殊值法等1方法平方法平方法1比较比较与与的大小的大小因为因为()2172,()2

41、172，172172，所以所以()2()2，又因为，又因为0，0，所以，所以.解：解：2作商法作商法方法2比较比较与与的大小的大小因为因为易易知知所以所以解：解：方法总结：方法总结：作作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二二次次根式根式(均为正数均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常均由分母和分子两部分组成时，常通通过过作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后然后比较商与比较商与1的大小的大小关系关系.已知已知a0,b0,若若1，则则ab；若若1，则，则ab；若若1，则，则ab.3分子有理化法分子有理

42、化法方法3比较比较与与的大小的大小解：解：4 分母有理化法分母有理化法4比较比较与与的大小的大小方法解：解：5作差法作差法5比较比较与与的大小的大小方法解：解：6倒数法倒数法6已知已知xy试比试比较较x，y的大小的大小方法解：解：7特殊值法特殊值法7用用“”连接连接x，x2，(0 x1)方法解：解：8定义法定义法8比较比较与与的大小的大小方法解：解：第第1616章章 二次根式二次根式16.2 16.2 二次根式的运算二次根式的运算第第4 4课时课时 二次根式的二次根式的 加减加减1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升被开方数相同的最简二次根式被

43、开方数相同的最简二次根式二次根式的加减二次根式的加减加法符号加法符号“+”：1489年德国年德国数学家魏德曼开始在他所著的数数学家魏德曼开始在他所著的数学书中首先使用但直到学书中首先使用但直到16世纪世纪之后，经过德国数学家韦达的提倡和宣传，之后，经过德国数学家韦达的提倡和宣传，“+”号才号才开始普及开始普及减法符号减法符号“-”：仍是德国数学家魏德曼：仍是德国数学家魏德曼1489年在他的著作中首先使用，但直到年在他的著作中首先使用，但直到1630年，年，“-”号才获得大家的公认两个二次根式能否相加减呢号才获得大家的公认两个二次根式能否相加减呢?如何如何加减呢加减呢?1知识点知识点被开方数相同

44、的最简二次根式被开方数相同的最简二次根式1.计算计算:(1)2x+3x ；(2)2x2-3x2+5x2;(3)x+2x+3y ;(4)3a2-2a2+a2.2.计算下列各式计算下列各式(1)2 +3 ；(2)2 -3 +5 ;(3)+2 +3 ;(4)3 -2 +.知知1 1导导1.定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式要点精析：要点精析：(1)同类二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方同类二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件；

45、它与根号外面的因数或因式无关；数相同这两个条件；它与根号外面的因数或因式无关；(2)判断同类二次根式的前提条件是最简二次根式，当两判断同类二次根式的前提条件是最简二次根式，当两个二次根式不是最简二次根式时，可先化简再判断个二次根式不是最简二次根式时，可先化简再判断知知1 1讲讲首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后找首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后找出出与与的的被开方数不被开方数不同同的二次根式即的二次根式即例例1凉山州凉山州下列根式中，不能与下列根式中，不能与合并的是合并的是()A.B.C.D.知知1 1讲讲C导引：导引：总 结知知1 1讲讲判断几个二次根式是否为同类二次根式的

46、步骤是判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：(1)将各二次根式化为最简二次根式将各二次根式化为最简二次根式；(2)看被开方数是否相同看被开方数是否相同1如果最简二次根式如果最简二次根式与与可以合并，求可以合并，求a，b的值的值知知1 1练练2下列各式化成最简二次根式后被开方数与下列各式化成最简二次根式后被开方数与的被的被开方数相同的是开方数相同的是()A.B.C.D.3(2016龙岩龙岩)与与是同类二次根式的是是同类二次根式的是()A.B.C.D.知知1 1练练2知识点知识点二次根式的加减二次根式的加减知知2 2讲讲1.法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二法则：二次根式加减时，先

47、将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并次根式，再将同类二次根式进行合并即：即：2.二次根式加减运算的步骤：二次根式加减运算的步骤：(1)“化化”：将每个二次根式化成最简二次根式；：将每个二次根式化成最简二次根式；(2)“找找”：找出同类二次根式；：找出同类二次根式；(3)“并并”：将同类二次根式合并成一项：将同类二次根式合并成一项知知2 2讲讲3.整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用添括号法则在二次根式的运算中仍然适用知知2 2讲讲例例2计算计算：解：解：（来自（来自教材教材）二次根式的加减法运算

48、的步骤：二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数被开方数中中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则则要先化成分数，进而化为最简二次根式；要先化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律结合律将同类二次根式进行合并将同类二次根式进行合并总 结知知2 2讲讲知知2 2讲讲例例3计算计算：(1)(2)解：解：(1)(2)总 结知知2 2讲讲二次根式加减运算的技巧：二次根式加减运算的技巧：(1)

49、将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式则要化成分数，进而化为最简二次根式(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并结合律将被开方数相同的二次根式进行合并知知2 2讲讲例例4计算计算：先将各个二次根式化为最简二次根式，再将同类先将各个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并二次根式进行合并解：解：导引导引：总 结知知2 2讲

50、讲含字母的二次根式的加减法运算的一般步骤：含字母的二次根式的加减法运算的一般步骤：化简化简判断判断合并合并1计算：计算：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练知知2 2练练2(2016桂林桂林)计算计算32的结果是的结果是()A.B2C3D63(2016云南云南)下列计算，正确的是下列计算，正确的是()A(2)24B.2C46(2)664D.4计算：计算：(1)(2)(3)(4)知知2 2练练1二次根式加减运算的步骤：二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)