苏教版2.3数学归纳法.ppt

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1、2.3 数学归纳法1对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法.归纳法完全归纳法不完全归纳法由特殊 一般 特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d2解:猜想数列的通项公式为验证:同理得啊,有完没完啊?正整数无数个!对于数列，已知，（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？情境3第一个人倒下，是否所有人都倒下？4第k+1个人是如何倒下？5第一，第一个人必须倒下；第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.要保证每个人都倒下，必需满足什么条件？6条件2给出了一个递推关系：当第k个人倒下

2、时，相邻的第k+1个人也倒下.条件2的作用时什么？7“对于数列an，已知a11，（n1，2，），通过对n=1，2,3,4前4项的归纳，我 们 已 经 猜 想 出 其 通 项 公 式 为”.怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？探究任务一：一个数学问题新的证明方法8多米诺骨牌游戏原理证明数列的通项公式是 的步骤（1）第一个人倒下.（1）当n=1时猜想成立.（2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下.根据（1）和（2），可知不论有多少个人都能全部倒下.根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立.（2）若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时

3、猜想也成立9一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：（2）假设n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.（1）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.（归纳奠基）(归纳递推)探究任务二：提炼原理，得出概念10思考：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.11用框图表示为：验证n=n0时命题成立.若n=k(k n 0)时命题成立，证明当n=k+1

4、时命题也成立.命题对所有的自然数n(n n 0)都成立.归纳奠基 归纳递推12理解新知问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.证明：假设n=k时等式成立，即那么即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数 均成立.上述证法是正确的吗？为什么？13问题:2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.理解新知14问题3：讨论 的大小 结论3：在第一步

5、中的初始值n0不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.猜想：用数学归纳法证明，第一个取值为5.理解新知15所以n=k+1 时结论也成立那么求证16例2：用数学归纳法证明17例3.用数学归纳法证明18如下证明对吗？证明当n1时，左边1右边1等式成立假设nk 时，有 即nk1时，命题成立根据问可知，对nN*，等式成立第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明191.已知:,则 等于()A:B:C:D:C练习：20练习P90 2、3、4、521小结作业 1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关

6、的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.22数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确 递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注注 意：意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k1中间的变化.“写明结论，才算完整”（3）由（1）（2）得出结论23 2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.24(1)在第一步中的初始值不

7、一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.证明中需要注意的问题(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.25重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.26归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳法优点：克服了完全归

8、纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃.课堂小结27用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假.（必不可少）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式.分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并 用上假设.28作业：P91练习：4，5.29