76(1)圆的标准方程.ppt

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1、圆的标准方程求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用（）建立适当的坐标系，用（x,y）表示表示曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标的坐标（2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合的集合 P=M|p(M);(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M)，列出方程列出方程 f(x,y)=0 (4)化方程化方程 f(x,y)=0为最简形式为最简形式（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。上的点。建系建系、设点设点等量关系等量关系坐标化坐标化化简化简查缺补漏查缺补漏圆的方程圆的方程圆的圆的定义：定义：平面内与定点

2、的距离等于定长的点的集合平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹轨迹)是圆。定点就是圆心，定长就是半径。是圆。定点就是圆心，定长就是半径。求：圆心是求：圆心是C(a,b)，半径是半径是r的圆的方程的圆的方程rxCOy 设设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，根据定义，点根据定义，点M到圆心到圆心C的的 距离距离等于等于r，所以圆所以圆C就是集合就是集合 P=M|MC|=r 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合适合的条件可表示为：的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2 =r 把把上式上式两边平方得：两边平方得：(x-a)2+(y-b)2 =r2M.（圆的标准方程）（圆

3、的标准方程）几何画板几何画板圆的标准方程特点：特点：1.明确给出了圆心坐标和半径。明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件确定圆的方程必须具备三个独立条件,即即a、b、r.3.若圆心在坐标原点，则圆方程为若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2+y 2 =r2练习：练习：1、写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程：(1)圆心在点圆心在点C(3,4)，半径是半径是(2)经过点经过点P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,-3)(x-3)2+(y-4)2=55(x-8)2+(y+3)2=25练习：练习：2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2

4、+y2=6(2)(x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|例例1：求以：求以C（1，3）为圆心，并且和为圆心，并且和直线直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。相切的圆的方程。CyxOM解一：设所求圆的方程为：解一：设所求圆的方程为：(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=r=r2 2 因为圆因为圆C C和直线和直线3x-4y-7=03x-4y-7=0相切相切 所以圆心所以圆心C C到这条直线的距离等到这条直线的距离等于半径于半径r r 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得|31 43 7|32+(

5、-4)2=516r=因此，所求圆的方程是因此，所求圆的方程是(x-1)2 2+(y-3)2 2=25256直线和圆的位置关系的数形转化直线和圆的位置关系的数形转化设直线为：设直线为：圆的方程为：圆的方程为：形形 数数 直线和圆相切直线和圆相切例例1：求以：求以C（1，3）为圆心，并且为圆心，并且和直线和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。相切的圆的方程。CyxOMyxOx02+y02=r2),(0000 xxyxyy-=-所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上,所以所以因为点因为点M M的切线方程是的切线方程是经过点经过点M M.1kOMk-=解一解一:设切线的斜率为设切线的斜率为

6、k k，则，则x0 x+y0 y=r2即即 x0 x+y0 y=x02+y02 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。解二解二（利用平面向量知识）：（利用平面向量知识）：P(x,y)yxO设设 P(x，y)是切线上的任意一点，是切线上的任意一点，则则 OMMP，x02+y02=r2所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上,所以所以因为点因为点M Mx0 x+y0 y=r2即即 x0 x+y0 y=x02+y02 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。P(x,y)由勾股定理

7、：由勾股定理：OM2+MP2=OP2解三解三（利用平面几何知识）：（利用平面几何知识）：在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x+y0 y=r2为为所求切线方程。所求切线方程。设设 P(x，y)是切线上的任意一点，是切线上的任意一点，注意圆的平面几何知识和圆的方程结合起来解决实际问题注意圆的平面几何知识和圆的方程结合起来解决实际问题 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。圆的方程是圆的方程是 ，经过圆上一点，经过圆上一点 的切线的方程的切线的方程x0 x+y0 y=r2过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点M(x

8、0,y0)的切线方程为：的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2yxo.例例3.已已知知 C：(x-1)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，过过P作作 C的的切切线，切点为线，切点为A、B.求直线求直线PA、PB的方程的方程.解：解：几何画板几何画板yx例例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)解：解：建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，把把P

9、(0,4),B(10,0)代入圆的方程得方程组：代入圆的方程得方程组：设圆心坐标是设圆心坐标是(0,b)圆的圆的半径是半径是r,则圆的方程是则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。分析：首先我们建立恰当的分析：首先我们建立恰当的直角坐标系，把实际问题直角坐标系，把实际问题转化为数学问题。转化为数学问题。yx答：支柱A2P2的长度约为3.86m。例例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m

10、)例例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造时每隔在建造时每隔4m需用需用一个支柱支撑，求支柱一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx思考 利用圆的几利用圆的几何性质，你能否何性质，你能否用直线方程求出用直线方程求出圆心坐标？进而圆心坐标？进而写出圆的方程？写出圆的方程？C1小结：(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2 =r2当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x2+y2 =r2 (2)由于圆的标准方程中含有 a,b

11、,r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(3)注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。作业：作业：1.习题习题7.6 1、2、3、42.2.三维设计活页三维设计活页7.67.6第一课时第一课时圆的方程是圆的方程是 ，经过圆上一点，经过圆上一点 的切线的方程的切线的方程x0 x+y0 y=r2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2分析：(x0-a)x+(y0-b)y=r 2(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2练习2:已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。x 2+y2=196练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2，)的切线方程。62x+y=106 6练习3：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；2（2）在y轴上截距是 的切线方程。