概率论与数理统计-6数理统计的基本概念课件.ppt

《概率论与数理统计-6数理统计的基本概念课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-6数理统计的基本概念课件.ppt（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数数数数 理理理理 统统统统 计计计计引引 言言 随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。现象的统计性规律。概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知的基础上得出来的。是在这已知的基础上得出来的。但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数

2、是未知的。型，但是其中的某些参数是未知的。例如：例如：某公路上行驶车辆的速度服从什么某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的分布是未知的；电视机的使用寿命服从什么电视机的使用寿命服从什么分布是未知的分布是未知的；产品是否合格服从两点分布，但参数产品是否合格服从两点分布，但参数合格率合格率p是是未知的未知的；总体、样本和统计量总体、样本和统计量 总体与样本总体与样本 在数理统计中，把研究对象的全体称为在数理统计中，把研究对象的全体称为总体总体，而把组成总体的每个单元称为而把组成总体的每个单元称为个体个体。总体可以认为是一个随机变量，而个体的取总体可以认为是一个随机变量，而个体的取值就是该随机变

3、量的一个观测值。值就是该随机变量的一个观测值。因为我们在抽样之前无法预测样本的取值，因为我们在抽样之前无法预测样本的取值，所以样本也可以看成是一个随机变量。所以样本也可以看成是一个随机变量。一旦取定一组样本一旦取定一组样本 X1，,Xn ,得到得到 n 个具体个具体的数的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次，称为样本的一次观测值观测值，简，简称样本值称样本值.n 称为这个样本的称为这个样本的容量容量.随机抽样方法的基本要求随机抽样方法的基本要求 独立性独立性每次抽样的结果既不影响其余各次抽每次抽样的结果既不影响其余各次抽 样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。样的结果，也不受其它各次抽样结

4、果的影响。满足上述两点要求的样本称为满足上述两点要求的样本称为简单随机样本简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法叫获得简单随机样本的抽样方法叫简单随机抽样简单随机抽样.代表性代表性样本样本()的每个分量的每个分量 与总体与总体 具有具有相同的分布相同的分布。从简单随机样本的含义可知，从简单随机样本的含义可知，样本样本 是来自总体是来自总体 、与总体、与总体 具有相同分布的随机变量具有相同分布的随机变量.简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，若时，若不特别说明，就指简单随机样本不特

5、别说明，就指简单随机样本.若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)、分布密度函数为、分布密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为则其简单随机样本的联合分布函数为其简单随机样本的联合分布密度函数为其简单随机样本的联合分布密度函数为=F(x1)F(x2)F(xn)=f(x1)f(x2)f(xn)统计量统计量 定义定义 设（设（）为总体）为总体X的一个样本，的一个样本，为为不含任何未知参数不含任何未知参数的的连续函数连续函数，则，则称称 为样本（为样本（）的一个）的一个统计量统计量。则则 例如例如：设设 是从正态总体是从正态总体 中抽取中抽取的一个样本，其中的一个样本，其中 为已知参

6、数为已知参数,为未知参数，为未知参数，是统计量是统计量 不是统计量不是统计量 样本样本k阶原点矩：阶原点矩：样本样本k阶中心矩：阶中心矩：顺序统计量：顺序统计量：样本均值与样本方差的数字特征样本均值与样本方差的数字特征证明证明：（1）经验分布函数经验分布函数经验分布的逼近性质从理论上说明了从局部推经验分布的逼近性质从理论上说明了从局部推断整体，即利用样本推断总体的统计特性的可行性。断整体，即利用样本推断总体的统计特性的可行性。设总体设总体X的分布函数为的分布函数为FX，利用伯努利大数，利用伯努利大数定律可以证明，对于任意定律可以证明，对于任意0，有，有 故当样本容量故当样本容量 n 足够大时，

7、经验分布函数与足够大时，经验分布函数与总体的分布函数差距很小。因此只要样本容量足总体的分布函数差距很小。因此只要样本容量足够大，就可以近似推断总体的分布。够大，就可以近似推断总体的分布。命题命题6.3.5 设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为 FX，分布密度，分布密度函数为函数为 fX，则，则顺序统计量的分布顺序统计量的分布 数理统计中常用的分布除数理统计中常用的分布除正态分布正态分布外，还有外，还有三个非常有用的连续型分布，即三个非常有用的连续型分布，即 2分布t 分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切的联系.分布的密度函数为分布的密度函数为 其中其中Gam

8、ma函数函数(x)通过下面积分定义通过下面积分定义(6.3.8)一般的，若一般的，若X X的分布密度函数为的分布密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为0和和0的的分布分布,记为记为X (,)。(6.3.4)分布的数学期望和方差为分布的数学期望和方差为(6.3.5)其图形随自由度的不同而有所改变其图形随自由度的不同而有所改变.分布密度函数的图形分布密度函数的图形 2 2分布的性质分布的性质u 设设X 2(n)，则，则EX=n，VarX=2n.证明：证明：利用公式：利用公式：证法二：证法二：利用式利用式(6.3.5)(6.3.5)和和(6.3.6)(6.3.6)u 2 2分布的可加性分布的可加性

9、若若 且且X1,X2相互相互独立，则独立，则u 若若 则当则当 n 趋于无穷时，近趋于无穷时，近似的有似的有证明：证明：由中心极限定理由中心极限定理这里这里可得可得性质性质 设设(X1,X2,Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN(,2)的样本，则的样本，则证明证明 由已知，有由已知，有且各且各相互独立，相互独立，故故推论推论6.3.1 设设(X1,X2,Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(,2)的样本，则样本均值的样本，则样本均值 与样本方差与样本方差 Sn2 相互独立；且相互独立；且(1)(2)比较比较 设设(X1,X2,Xn)为取自正态总体为取自正态总体 XN(,2)的样本，则的样

10、本，则(2)(2)式的自由度为什么是式的自由度为什么是 n n-1-1？从表面上看，从表面上看，是是n n个正态随机变量个正态随机变量 的平方和，但实际上它们不是独立的，它的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：们之间有一种线性约束关系：这表明，当这个这表明，当这个n n个正态随机变量中有个正态随机变量中有n n-1-1个取值给个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这这n n项平方和中只有项平方和中只有n n-1-1项是独立的项是独立的.所以所以(2)(2)式的自式的自由度是由度是n n-1-1.定理定理6.3.1

11、(抽样分布基本定理抽样分布基本定理)设设(X1,X2,Xn)为来自为来自正态总体正态总体 XN(0,1)的样本，则样本均值的样本，则样本均值 与样本与样本方差方差 Sn2 相互独立相互独立,且且(1)(2)t分布分布定义：定义：设随机变量设随机变量 XN(0,1)，Y 2(n)，且，且X与与Y相互独立，则称统计量相互独立，则称统计量 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布，记作记作t 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为T t(n).其其形状类似标准正态分布形状类似标准正态分布，关于，关于 x=0 对称对称.当当 n 较大时，较大时，t分布分布近似于近似于标准正态分布标准正态分布

12、.一般说来，当一般说来，当 n30 时，时，t 分布与标准正态分布分布与标准正态分布N(0,1)就非常接近就非常接近.但对较小的但对较小的 n 值，值，t 分布与标准正态分布之间有分布与标准正态分布之间有较大差异较大差异.且且 P(|T|t0)P(|X|t0)(对于较大的对于较大的t0)，其中，其中 X N(0,1)，即在，即在 t 分布的尾部比在标准正态分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率分布的尾部有着更大的概率.当当 n 趋于无穷趋于无穷时，时，t 分布趋于标准正态分布分布趋于标准正态分布.t 分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差设设 Tt(n)，则，则推论推论6.3.2 设

13、设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量的样本，则统计量证证故故由于由于又由于又由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 由由t分布定义得分布定义得推论推论6.3.4 设设(X1,X2,Xn1)和和(Y1,Y2,Yn2)分别是分别是来自正态总体来自正态总体 N(1,2)和和 N(2,2)的样本，且它的样本，且它们相互独立，则统计量们相互独立，则统计量其中其中、分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差.F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为 n1，第二自由度为，第二自由度为 n2 的的F分布分布，定义定义 设随机变量设随机变量 X 2(n1)、Y

14、 2(n2)，且，且相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 记作记作 ZF(n1,n2).显然，若显然，若 Z F(n1,n2)，则，则 1/Z F(n2,n1).F F分布的分布密度函数：分布的分布密度函数：其中其中 为正态总体为正态总体 的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量统计量推论推论6.3.3 设设 为正态总体为正态总体 的样的样本容量和样本方差；本容量和样本方差；证明证明由已知条件知由已知条件知(推论推论6.3.1)6.3.1)且相互独立，且相互独立，由由F F 分布的定义有分布的定义有 例例1 设总体设总体 XN(0,

15、1)，X1,X2,Xn为简单随为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？机样本，试问下列统计量各服从什么分布？解解(1)因为因为 XiN(0,1)，i=1,2,n.所以所以X1 X2 N(0,2)，故故t(2).例例1 设总体设总体 XN(0,1)，X1,X2,Xn为简单随机为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？样本，试问下列统计量各服从什么分布？续解续解(2)因为因为X1N(0,1)，故故t(n-1).例例1 设总体设总体 XN(0,1)，X1,X2,Xn为简单随机为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？样本，试问下列统计量各服从什么分布？续解续解(3)因为因为所以所以F(

16、3,n-3).例例2 若若 Tt(n)，问问T 2服从什么分布？服从什么分布？解解因为因为 Tt(n)，可以认为可以认为其中其中UN(0,1)，V 2(n)，U2 2(1)，F(1,n).分位数分位数 设设 X f(n)（f 为某种分布，为某种分布，n 为有关的自由为有关的自由度），度），01，则称满足，则称满足的数的数 f(n)为为分布分布 f(n)的的 分位数分位数（或（或分位点分位点）查课本后面的表可得查课本后面的表可得 2 2分布，分布，t t 分布，分布，F F 分布分布的分位数。的分位数。注意注意l对于对于 t(n)分布，当分布，当 n 趋于无穷时，分布趋于趋于无穷时，分布趋于 N(0,1)，故当自由度较大时，用标准正态分布的，故当自由度较大时，用标准正态分布的分位数分位数 u 代替代替 t(n)的分位数。的分位数。l若若X 2(n)分布，当分布，当n趋于无穷时，趋于无穷时，近似的服从近似的服从 N(0,1)，故当自由度较大时，近似，故当自由度较大时，近似的有的有l对于对于 F(m,n)分布和分布和 (01),),有有