微积分2.8闭区间上连续函数的性质课件.ppt

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1、2.8 闭区间上连续函数的性质一.最大值最小值定理二.三.零点存在定理四.介值定理闭区间上的连续函数有很多重要的性质,它们是研究函数性态的理论基础.从几何上看，这些性质都是十分明显的.但这些性质的证明已超出本书范围.定义2.8.1 若 f(x)在区间I 上有定义,如果 使得对一切有则称 f(x1)为函数 f(x)在区间 I 上的最大值（或最小值)称 x1为最大值点（或最小值点).函数的最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点.这个定理的几何意义如图2.8.1所示:oxyy=(x)ab图2.8.1 如果 使，则称 为函数(x)的零点.由定理2.8.1易得如下定理：定理2.8.2（

2、有界性）如果函数(x)在闭区间a,b 上连续，则(x)在a,b 上有界.即存在常数M0，使得对任何xa,b，都有|(x)|M.定理2.8.3(零点存在定理)若函数(x)在闭区间a,b 上连续,且(a)与(b)异号(即(a)(b)0),则至少存在一点若，则称 为方程(x)的根.因而零点定理也称根的存在定理.oxymCMaby=(x)几何意义:(如上图)介于a,b 内的连续曲线的最高与最低点对于任意介于m 与M 之间的实数至少存在一点 定理2.8.4(介值定理)若函数 f(x)在闭区间a,b 上连续,且 m 与 M 分别为f(x)在 a,b 上的最小值与最大值,则点之间的任意直线 至少与该曲线相交于一点.证由最大值最小值定理可知,在a,b 上存在两点令于是由零点定理得,至少存在一点,使得即有使得