概率论与数理统计参数估计学习教案.pptx

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)参数估参数估计计第一页，共81页。6.1 点估计方法点估计方法(fngf)第1页/共80页第二页，共81页。一、参数一、参数(cnsh)的点估计的点估计替换原理(yunl)和矩法估计点估计问题就是要根据(gnj)总体X的子样分别将它们作为未知参数用以估计未知参数的统计量通常称为估计量.第2页/共80页第三页，共81页。分别(fnbi)称为估计量的或称为(chn wi)未知参数未知参数估计量或估计值统称(tngchng)为未知参数的估计.替换原理常指如下两句话:用子样矩去替换总体矩(原点矩或中心矩)用子样矩的函数去替换相应的总体矩的函

2、数.用子样的p分位数估计总体的p分位数,特别用子样中位数估计总体中位数.第3页/共80页第四页，共81页。例对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶(xngsh)里程(公里),观测数据如下:29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.728.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9试求总体均值(jn zh)、方差和中位数的估计值.第4页/共80页第五页，共81页。具体做法是二、矩估计二、矩估计(gj)法法 以子样矩作为总体相应(xingyng)矩的估计量，从而求得未知参数的方法，称为矩估计

3、法，简称为矩法.第5页/共80页第六页，共81页。从上述(shngsh)方程组中解出这就是(jish)矩估计量.令总体(zngt)的j阶的原点等于样本的j阶原点，得第6页/共80页第七页，共81页。例例1解：解：设注：第7页/共80页第八页，共81页。例例2解：解：设第8页/共80页第九页，共81页。例例3解：解：设例例4解：解：设第9页/共80页第十页，共81页。解：解：设解得例例5 已知总体已知总体(zngt)有密度(md)函数的矩估计量.（1）求（2）若3.5,4.2,5.3,4.4,3.7,5.8,3.9,4.8是一组样本(yngbn)观测值,求的矩估计量.算第10页/共80页第十一页

4、，共81页。例设总体(zngt)X服从参数 指数分布,求 的估计量.例容量(rngling)为5子样观测值,求a,b的矩估计值.第11页/共80页第十二页，共81页。算第12页/共80页第十三页，共81页。例例520%80%甲筐80%20%乙筐苹果(pnggu)问这只苹果(pnggu)是从哪个筐里掉下来的？答：从甲筐中，因为(yn wi)三、极大似然估计法 极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，。结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率最大.第13页/共80页第十四页，共81页。根据极大似然原理的直观(zhgun)想法，只需考虑在两个可能总体

5、中发生了取得这个观测值即比较(bjio)概率的大小，取概率大的所对应的参数值作为估计值.更一般地，的可能取值不止(bzh)两个时第14页/共80页第十五页，共81页。定义定义(dngy)1定义定义(dngy)2第15页/共80页第十六页，共81页。求极大似然估计(gj)的方法1.设似然函数(hnsh)的连续函数,且关于(guny)各分量解此方程即可.值得注意的是,由极值的必要条件知极大似然估计一定是似然方程的解.但似然方程组的解未必是极大似然估计,严格地讲,对似然方程组的解要经过验证才能确定是否是极大似然估计.的偏导数存在因为lnL与L的最大点相同,而lnL比L使用方便,所以常常求lnL的最大

6、点.第16页/共80页第十七页，共81页。例6 设总体(zngt)服从(fcng)指数分布,它的密度为第17页/共80页第十八页，共81页。解解:设为子样的观测(gunc)值.当时,有求偏导，并令其等于零解得因此(ync)的极大(j d)似然估计量是则第18页/共80页第十九页，共81页。例7 设是来自(li z)总体的一个(y)子样,的极大(j d)似然估计量.解解:设为子样的观测值.所以,似然函数为取对数得求偏导，并令其等于零解得因此的极大似然估计量是第19页/共80页第二十页，共81页。例设一个试验有三种可能结果(ji gu),其发生的概率分别为现做了n次试验,观测到三种可能结果发生(f

7、shng)的次数分别为求偏导解得第20页/共80页第二十一页，共81页。例8 设是来自(li z)总体的一个(y)子样,的极大(j d)似然估计量.解解:设为子样的观测值.所以,似然函数为取对数得求偏导，并令其等于零第21页/共80页第二十二页，共81页。解得因此(ync),的极大(j d)似然估计量恰好是子样均值与子样它们与矩法估计(gj)是一致的.方差,即第22页/共80页第二十三页，共81页。例9上的均匀分布,其中(qzhng)为未知参数(cnsh),设试求解解:总体总体(zngt)的密度函数是设为子样的观测值.所以,似然函数为未知参数 的极大似然估计.第23页/共80页第二十四页，共8

8、1页。因此(ync)第24页/共80页第二十五页，共81页。例10 设总体(zngt)服从(fcng)上的均匀分布,其中(qzhng)为未知参数,设试求未知解解:总体的密度函数是设为子样的观测值.所以,似然函数为的极大似然估计.参数第25页/共80页第二十六页，共81页。的极大(j d)似然估计.如因此统计(tngj)量若满足所以(suy)当时,似然函数的最大值都是1.都可以作为第26页/共80页第二十七页，共81页。定理定理(dngl)设设的极大(j d)似然估计.解解:设为子样的观测(gunc)值.例设总体查正态分布可得第27页/共80页第二十八页，共81页。例11 设总体(zngt)具有

9、密度(md)函数解解:设为子样的观测(gunc)值.所以,似然函数为取对数得求偏导，并令其等于零这方程只能用数值解.因为这个分布分不存在数学期望,因 此不能用矩法估计 .第28页/共80页第二十九页，共81页。估计量与子样容量(rngling)有关的,假设用充分小的邻域内,于是就有了下面的一致(相合(xin h)性标准.定义定义(dngy)2.4 设设相合性相合性6.2 点估计的评价标准第29页/共80页第三十页，共81页。例6 设总体服从任何分布且方差存在,证明子样均值是总体期望(qwng)的一致估计量.证明证明(zhngmng):由车贝晓夫不等式得即也就是说,的一致(yzh)估计量.定理第

10、30页/共80页第三十一页，共81页。定理(dngl)设 例续例由大数(d sh)定律及定理知上述三个都是 的相合估计.第31页/共80页第三十二页，共81页。定义定义(dngy)1否则称为(chn wi)有偏估计.其偏度记为如果(rgu)无偏性无偏性第32页/共80页第三十三页，共81页。例例1 证明在证明在6.1节中我们得到节中我们得到(d do)的均匀分布的参数的均匀分布的参数 的矩估的矩估计是无偏的计是无偏的,而极大似然估计是有偏而极大似然估计是有偏.证明(zhngmng):因为 的矩估计为所以(suy)即的无偏估计.因为 的极大似然估计为第33页/共80页第三十四页，共81页。因此(

11、ync),的密度(md)函数为所以(suy)即不是 的无偏估计.第34页/共80页第三十五页，共81页。例设总体(zngt)证明(zhngmng):由定理知:其密度(md)为从而第35页/共80页第三十六页，共81页。由此,我们(w men)有第36页/共80页第三十七页，共81页。估计量的无偏性有两个含义,第一个含义是没有系统性偏差,不论你用什么样的估计量去估计 ,总是时而(sh r)（对某些样本）偏低,时而(sh r)（对另一些样本）偏高.无偏性表示,把这些正负偏差在概率上平均起来,其均值为0.比如用一把秤去秤东西,误差来源有二:一是秤本身结构制作(zhzu)上的问题,使它在秤东西时,倾向

12、于给出偏高或偏低之值,这属于系统误差.另一种是操作上和其它随机性原因,使秤出的结果有误差,这属于随机误差.在此,无偏估计的要求相应于秤没有系统误差,但随机误差总是存在的.因此无偏估计不等于在任何时候都给出正确无误的估计.另一个含义是无偏性体现了一种(y zhn)频率思想,只有在大量重复下才有意义.第37页/共80页第三十八页，共81页。无偏性的缺点无偏性的缺点(qudin)：（1）没有(mi yu)不变性.（2）有时根本不存在无偏(w pin)估计，或因满足无偏(w pin)性要求而 得到很不合理的估计.例2 解：解：即上式是不可能成立的,也就是说，的无偏估计不存而且这是一个较好的估计.第38

13、页/共80页第三十九页，共81页。求估计量不仅具有无偏性要求(yoqi),而且具有最小方差.定义定义(dngy)2 设设有效性有效性第39页/共80页第四十页，共81页。的任一无偏估计(gj)的方差是否能无限小呢？我们可以证明,在一定(ydng)条件下有Cramer-Rao不等式上式右边就是方差(fn ch)的下界,并简记为第40页/共80页第四十一页，共81页。例3 设 是从均匀分布总体(zngt)取出的子样,由例1知,因此(ync),第41页/共80页第四十二页，共81页。例4 设 是来自总体的一个(y)样本,比较总体期望的下列(xili)两个无偏估计的有效性.解解:显然显然(xinrn)

14、第42页/共80页第四十三页，共81页。即当时有效(yuxio).例5 设 是来自(li z)正态总体 的一个样本,试证明(zhngmng)的无偏估计量的有效估计.证明证明第43页/共80页第四十四页，共81页。即也就是说,达到了方差的下界(xi ji).所以的有效(yuxio)估计.第44页/共80页第四十五页，共81页。无偏性是估计的一个良好性质,对无偏估计我们可以通过其方差进行有效性比较.然而不能由此认为(rnwi):有偏估计一定是不好的估计.有时,有偏估计比无偏估计更优,这就涉及如何对有偏估计进行(jnxng)评价.一般而言,在样本容量一定时,评价一个估计的好坏使用的度量指标 总是点估

15、计值数，最常用的函数(hnsh)是距离的平方.由于该函数求数学期望.定义均方误差均方误差第45页/共80页第四十六页，共81页。均方误差(wch)的性质:证明(zhngmng):例在例中我们指出(zh ch)对均匀总体第46页/共80页第四十七页，共81页。不难求得,第47页/共80页第四十八页，共81页。第48页/共80页第四十九页，共81页。如前所述,点估计是用一个点(数)去估计未知参数,顾名思义,区间估计就是用一个区间去估计未知参数,即把未知参数值估计在某两个界限之间,例如一个人的年龄在30到35之间;但由于子样的随 机性,我们无法知道这个(zh ge)估计值与参数的真值是否有误差,若有

16、,误差又在什么范围内.因而我们希望找出一个区间,使得参数落在该区间的概率可以计算,这样我们就能在一定的可靠程度下得出估计值可能的最大误差,这就是区间估计的思想.区间区间(q jin)估计的概念估计的概念6.5 区间区间(q jin)估计估计第49页/共80页第五十页，共81页。第50页/共80页第五十一页，共81页。置信(zhxn)下限和置信(zhxn)上限.定义定义(dngy)沿用定义沿用定义(dngy)的记号的记号,如对给定的如对给定的 在一些实际问题中,人们感兴趣的有时(yush)仅仅是未知参数一个下限或一个上限.譬如,对某种产品的平均寿命来说,我们希望它越大越好,因此人们关心的是置信下

17、限,此下限标志了该产品的质量.它的一般定义如下.第51页/共80页第五十二页，共81页。类似地,对某些指标人们希望它越小越好.比如,某种药品的毒性.这就引出(yn ch)了置信上限的概念.第52页/共80页第五十三页，共81页。这个方法的基本想法,就是在参数的点估计的基础上,去找它的区间估计.由于(yuy)点估计是最有可能接近真参数 的,能由子样决定的值,因此,围绕这个值的区间,包含真参数值的可能性也就要大一些.例 设子样因此(ync)得枢轴枢轴(sh zhu)量法量法第53页/共80页第五十四页，共81页。从以上的例子我们总结(zngji)归纳得一般歩骤如下:得G的分布不依赖于未知参数.一般

18、称具有(jyu)这种性质的G为枢轴量.则有第54页/共80页第五十五页，共81页。这样得到(d do)的置信区间称为等尾置信区间.实用的置信区间大都是等尾置信区间.解:我们(w men)由上节知,第55页/共80页第五十六页，共81页。第56页/共80页第五十七页，共81页。由图可以(ky)看出单个正态总体(zngt)参数的区间估计第57页/共80页第五十八页，共81页。即故置信度为的等同(dngtng)置信区间是单置侧信区间(q jin)：若统计量若统计(tngj)量第58页/共80页第五十九页，共81页。例用天平称量某物体(wt)的质量9次,得平均值已知天平称量结果为正态分布,其标准差为0

19、.1g.试求该物体(wt)质量的0.95置信区间.解:设天平(tinpng)称量结果记为X,第59页/共80页第六十页，共81页。例设总体(zngt)解:由题意(t y)知,第60页/共80页第六十一页，共81页。即故置信度为的置信区间是第61页/共80页第六十二页，共81页。例假设(jish)轮胎的寿命服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,现随机抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万公里)如下:4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.384.70试求平均寿命(pn jn shu mn)的0.95置信区间.解:设轮胎(ln

20、ti)的寿命记为X,过程 第62页/共80页第六十三页，共81页。故置信度为的置信区间是三、方差三、方差(fn ch)的置信区间的置信区间第63页/共80页第六十四页，共81页。例某厂生产的零件重量(zhngling)服从正态分布现从该厂生产的零件中抽取9个,测得其质量(zhling)为(单位:g)45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6试求总体(zngt)标准差的0.95置信区间.解:设零件重量记为X,过程第64页/共80页第六十五页，共81页。在样本容量充分大时,可以(ky)用渐近分布来构造置信区间.我们用举例(j l)的形式来介绍构造置信区

21、间.大样本(yngbn)的置信区间第65页/共80页第六十六页，共81页。它的判别式为故此(gc)一元二次函数是开口向上并与x轴有两个交点的曲线,记此两个交点第66页/共80页第六十七页，共81页。近似(jn s)为例对某事件 A作120次观察(gunch),A发生36次.试求事件A发生的概率p的0.95的区间(q jin)估计.解:由题意知,第67页/共80页第六十八页，共81页。故所求的区间(q jin)为0.218,0.382.例某传媒公司欲调查(dio ch)电视台某综艺节目收视率p,为使得p的解:这是关于二点分布比例的区间(q jin)估计问题.第68页/共80页第六十九页，共81页

22、。的区间(q jin)估计由第五章的结论(jiln)知两个(lin)正态总体下的区间估计一、两个总体均值差第69页/共80页第七十页，共81页。故置信度为的置信区间是第70页/共80页第七十一页，共81页。第71页/共80页第七十二页，共81页。的置信区间是故置信度为记号(j ho)同前,第72页/共80页第七十三页，共81页。这样(zhyng)就构造了枢轴量.第73页/共80页第七十四页，共81页。4.当m和n都很大时的近似(jn s)置信区间我们(w men)可以证明:第74页/共80页第七十五页，共81页。5.一般情况(qngkung)下的近似置信区间度为l的t 分布很接近(jijn),

23、其中t由公式决定,l一般不为整数,可以(ky)取与l最接近的整数代替之.于是,第75页/共80页第七十六页，共81页。近似(jn s)地有T t(l),从而可得 例为比较两个小麦品种的产量,选择(xunz)18块条件相似的试验田,采用相同的耕作方法做试验,结果播种甲品种的8块试验田的单位产量和播种乙品种的10块试验田的单位面积产量(单位:kg)分别为:甲品种(pnzhng)628 583 510 554 612 523 530 615乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定每个品种的单位面积产量均服从正态分布,试求这两个品种的平均单位面积产量

24、差的0.95置信区间.解:甲、乙品种单位面积产量分别记为X和Y,则过程第76页/共80页第七十七页，共81页。故置信度为的置信区间是二、两个总体方差(fn ch)比 的区间估计第77页/共80页第七十八页，共81页。故置信度为的置信区间是(证明(zhngmng)见272页)第78页/共80页第七十九页，共81页。例某车间有两台自动机床加工一类套筒,假设套筒直径服从正态分布.现在从两个班次的产品(chnpn)中分别检查了5个和6个套筒,测得其直径数据如下(单位:cm):甲班(X):5.06 5.08 5.03 5.00 5.07乙班(X):4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95解:所以(suy)置信区间是过程(guchng)第79页/共80页第八十页，共81页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第80页/共80页第八十一页，共81页。