数学分析第七章--实数的完备性课件.ppt

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1、1 关于实数完备性的基本定理2 闭区间上连续函数性质的证明第七章第七章 实数的完备性实数的完备性第七章第七章 实数的完备性实数的完备性1 关于实数完备性的基本定理关于实数完备性的基本定理说明:1 定义1 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式:,具有如下性质设闭区间列nnba;,2,1,)(11L=+nbabainnnn,0)(lim)(=-nnnabii.,简称区间套为闭区间套则称nnba一 区间套定理 与Cauchy 收敛准则 ,1221bbbaaannLLLL,0-nnab)(n.我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列 na和 nb,其中 na递增,n

2、b递减.例如 1 ,1 nn-和 1,0 n 都是区间套.但 21 ,)1(1 nnn+-+、1,0 (n 和 11 ,1 nn+-都不是.定理的证明，an为递增有界数列由区间套定义知，a，nx有极限依单调有界定理.,2,1L=，nanx且有 有并按区间套的条件也有极限递减有界数列同理)(ii，b，n,limlimx=nnnnab.,2,1L=，nbnx且.,2,1L=，nbannx从而有.是唯一的的下面证明满足题设条件x,2,1,L=nbannxx也满足设.,2,1,L=-nabnnxx则得由区间套定义)(ii,0)(lim=-nnnabxx则.xx=故有证毕.(2)推论说明:区间套中要求各

3、个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.3 Cauchy收敛准则二 聚点定理 定义2 设 为数轴上的点集,为定点,(它可以属于 ,也可以不属于若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称 为 的聚点.说明:聚点概念和下面两个定义等价:对于点集 ,若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 的聚点.若存在各项互异的收敛数列 ,则其极限 称为 的聚点.定理 7.2(Weierstrass聚点定理)实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点.定理的证明推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.三 有限覆盖定理 1定义 3 若 中开区间的个数是无限(有限)的,则称 为 的一个无限(有限)开覆盖

4、.设 为数轴上的点集,为开区间的集合,(即 的每一个元素都是形如 的开区间).若 中任何一点都含在至少一个开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖 .四 小结 (1)区间套的概念;(2)区间套定理;(3)聚点的概念;(4)Weierstrass聚点定理;(5)开覆盖的概念;(6)Heine-Borel有限覆盖定理;五 作业 P168:1,3,5,6.第七章第七章 实数的完备性实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数性质的证明二 最大最小值定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值.证明:(应用确界原理证明)五 小结 (1)有界性定理的证明;(2)最大,最小值定理的证明;(3)介值性定理的证明;(4)一致连续性定理的证明;(5)实数完备性定理的应用;六 作业 P172:1,2,3,4.