第二章-控制系统的状态空间表达式的解1-现代控制理论-教学课件.ppt

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1、第二章第二章 控制系统的状态空间表达式的解控制系统的状态空间表达式的解 2-1 线性定常齐次状态方程的解 2-2 矩阵指数函数 2-3 线性定常系统非齐次状态方程的解 2-4 线性时变系统的解 2-5 离散时间系统状态方程的解 2-6 连续时间状态空间表达式的离散化1本章的重点内容本章的重点内容 状态转移矩阵的性质及求法 线性定常系统齐次方程的解 线性定常系统非齐次方程的解 连续时间状态空间表达式的离散化22-1 2-1 线性定常系统齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统齐次状态方程的解（自由解）设线性定常系统的齐次状

2、态方程为：若初始时刻t0的状态为x(t0)=x0,则自由解为：3设x(t)为t的矢量幂级数形式：证明：代入齐次状态方程：LLLLLL0212!2121bAAbb=01Abb=01!11bAkAbkbkkk=-11022)!2(xtAktAAtIkkLL+=022)!1!21(btAktAAtIkkLL+=020200!1!21)(tbAktbAtAbbtxkkLL+=42-2-1状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵x0 xt=t0t t0向量变换6x1x2x10 x20 x11x21x22x120t0=0t1t27x1x2x10 x20 x11x21x22x120t0=0t1t2组合性82-2

3、-2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质性质二I=ttAkttAttAIkk+-+-+-+=LL)(!1)(!21)(22ettttA=-)()(102-2-2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质性质三根据性质一和性质二有：所以系统的状态转移具有双向性112-2-2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质性质五对于nn矩阵，如果满足AB=BA则：132-2-2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质性质七152-2-3 几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵（1）若A 为对角线矩阵，即0000则162-2-3 几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵（2）若A 能够通过非奇异矩阵予以对角化，

4、即00则18证明：根据定义所以192-2-3 几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵（3）若A为约旦矩阵，即00则20证明：212-2-3 几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵（4）若A为矩阵则222-2-4 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算1.根据eAt或(t)的定义计算242-2-4 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异（2）A特征根有重根252-2-4 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算3.利用拉氏反变换求eAt证明：齐次微分方程两边取拉氏变换即所以对上式两边取拉氏反变换所以26（2）化eAt为A的有限项An,An+1,均可用A

5、n-1,An-2,A,I的线性组合来表示a0(t),a1(t),a2(t),an-1(t)均为时间的标量函数28（3）ai(t)的计算 1）A的特征值互异时 根据凯莱-哈密顿定理，矩阵A满足自身的特征方程。而特征值也满足特征方程，即f()=0;并且e t也可以表示为的有限项2931例例 1用三种方法计算矩阵指数32解法解法1：化为约旦标准型：化为约旦标准型解变换矩阵为33解法解法2：拉普拉斯变换：拉普拉斯变换解34解法解法3：凯莱：凯莱哈密顿定理哈密顿定理解35例例 2 已知某系统的转移矩阵 求矩阵A36解法解法1：37解：根据状态转移矩阵的性质得解法解法2：38解：根据状态转移矩阵的性质所以

6、解法解法3：39例例例例 3 3 已知二阶系统已知二阶系统 的初态和自由运动的两组值的初态和自由运动的两组值如下，求系统的状态转移矩阵和状态系数矩阵如下，求系统的状态转移矩阵和状态系数矩阵40解：由自由运动表达式 及题目给定的两组数据，可以得出 从而解出状态转移矩阵 41进一步解出其状态系数矩阵42说明：说明：状态转移矩阵又称基本解矩阵，它的每一列都是基本解，即和分别是初态 和 的解。其它初态都可以看作是单位矩阵列向量的组合，所以其自由解应是基本解的相应组合。在本例中43442-3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统，在控制信号作用下，其状态方程为：若初始时刻t0的状态为x(t0)=x0,则非齐次状态方程的解为：当t0=0，x(t0)=x0时，则有45v 直接法直接法对上式两边在t0，t 闭区间内积分，得即即46v 拉普拉斯法拉普拉斯法 两边取拉普拉斯变换，可得上式两边左乘(sI-A)-1，可得 因为 所以 整理得到47自由运动项强迫运动项+48v 单位脉冲响应单位脉冲响应系统状态方程的解：系统的输出响应当t0=0，x(0)=0时，得系统单位脉冲响应为49v 单位阶跃响应单位阶跃响应系统状态方程的解系统的输出响应50v 单位斜坡响应单位斜坡响应系统状态方程的解系统的单位斜坡响应为51习题习题2-3,2-4(1),2-5(4)2-62-7 52