第八章--环-和-域-《离散数学》-课件.ppt

《第八章--环-和-域-《离散数学》-课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章--环-和-域-《离散数学》-课件.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第八章第八章 环环 和和 域域8.1 环环8.2 子环与理想子环与理想8.3 环同态与环同构环同态与环同构8.4 域域8.5 有限域有限域退出退出8.1 环环定定定定义义义义8.1.18.1.1 给给给给定定定定，其其其其中中中中+和和和和 都都都都是是是是二二二二元元元元运运运运算算算算，若若若若+是是是是AbelAbel群群群群，是是是是半半半半群群群群，对对对对于于于于+是是是是可可可可分分分分配配配配的的的的，则则则则称称称称 是环。是环。是环。是环。为为为为了了了了方方方方便便便便，通通通通常常常常将将将将+称称称称为为为为加加加加法法法法，将将将将 称称称称为为为为乘乘乘乘法法法法

2、，把把把把+称称称称为为为为加加加加法法法法群群群群，称称称称为为为为乘乘乘乘法法法法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。环的加法群的幺元或加法零元称为环环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以的零元，以0示之。若示之。若aR，则其加法逆，则其加法逆元以元以-a表之。表之。常常又根据环中乘法半群满足不同性常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。质，将环冠于不同的名称。定义定义定义定义8.1.28.1.2 给定环给定环给定环给定环，若，若，若，若

3、是可交换半群，则称是可交换半群，则称是可交换半群，则称是可交换半群，则称 是可交换环；是可交换环；是可交换环；是可交换环；若若若若 是独异点，则称是独异点，则称是独异点，则称是独异点，则称 是含幺是含幺是含幺是含幺环；若环；若环；若环；若 满足等幂律，则称满足等幂律，则称满足等幂律，则称满足等幂律，则称 是布尔环。是布尔环。是布尔环。是布尔环。通常用通常用通常用通常用1 1表示表示表示表示 的幺元。在的幺元。在的幺元。在的幺元。在 中，若中，若中，若中，若a aR R的逆元存在，则以的逆元存在，则以的逆元存在，则以的逆元存在，则以a a-1-1表示其乘法逆表示其乘法逆表示其乘法逆表示其乘法逆元

4、。元。元。元。同理同理同理同理 -(-(a a b b)=(-)=(-a a)b b推论推论推论推论1 1 (a a)()(b b)()(a a，b bR R(-(-a a)(-)(-b b)=)=a a b b)推推推推 论论论论 2 2 (a a)()(b b)()(c c)()(a a，b b，c cR R(a a(b b-c c)=)=a a b b-a a c c)(b b-c c)a a=b b a a-c c a a)由由由由定定定定理理理理8.1.18.1.1可可可可知知知知，环环环环中中中中任任任任二二二二元元元元素素素素相相相相乘乘乘乘，若若若若其其其其中中中中至至至至少少

5、少少有有有有一一一一个个个个为为为为零零零零元元元元，则则则则乘乘乘乘积积积积必必必必为为为为零零零零元元元元。但但但但反反反反之之之之未未未未必必必必真真真真，这这这这是是是是因因因因为为为为在在在在环环环环中中中中，两两两两个个个个非非非非零零零零元元元元的的的的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。定义定义定义定义8.1.38.1.3 给定环给定环给定环给定环，则环，则环，则环，则环 中有零因子中有零因子中有零因子中有零因子:=(:=(a a)()(b b)(

6、)(a a，b bR Ra a00b b00a a b b=0)=0)并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，a a和和和和b b是零因子。是零因子。是零因子。是零因子。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。定定定定理理理理8.1.38.1.3 给给给给定定定定环环环环，则则则则 为无零因子环为无零因子环为无零因子环为无零因子环 满足可约律。满足可约律。满足可约律。满足可约律。定定定定义义义义8.1.48.1.4 给给给给定定定定可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环，若

7、若若若 无无无无零零零零因因因因子子子子，则则则则称称称称 为为为为整环。整环。整环。整环。由由由由定定定定义义义义8.1.38.1.3知知知知道道道道，环环环环中中中中可可可可约约约约律律律律与与与与无无无无零零零零因因因因子子子子是是是是等等等等价价价价的的的的，因因因因此此此此整整整整环环环环是是是是无无无无零零零零因因因因子子子子可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。8.2 子环与理想子环与理想与与与与讨讨讨讨论论论论群群群群与与与与子子子子群群群群

8、一一一一样样样样，对对对对于于于于环环环环也也也也要要要要讨讨讨讨论论论论子子子子环。环。环。环。定定定定义义义义8.2.18.2.1 给给给给定定定定环环环环 和和和和非非非非空空空空集集集集合合合合S S R R，若若若若+是是是是+的的的的子子子子群群群群，是是是是 的的的的子子子子半半半半群群群群，则则则则称称称称 是是是是 的子环。的子环。的子环。的子环。这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。子群和真子群类似。子群和真子群类似。子群和真子群类似。由环的定义知道，

9、若由环的定义知道，若由环的定义知道，若由环的定义知道，若+为群为群为群为群+的子群，的子群，的子群，的子群，+是是是是 的子半群，在的子半群，在的子半群，在的子半群，在R R上乘上乘上乘上乘法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则 是是是是 的子环。显然由于的子环。显然由于的子环。显然由于的子环。显然由于S S R R而分配律、结合而分配律、结合而分配律、结合而分配律、结合律在律在律在律在R R中成立。则在中成立。则在中成立。则在中成立。则在S S中亦成立。于是，子环可中亦成立。于是，子环可中亦成立。于是，子环可中亦成立。于是，子环可定义

10、如下：定义如下：定义如下：定义如下：定理定理定理定理8.2.18.2.1 给定环给定环给定环给定环 及及及及 S S R R，则则则则 是是是是 的子环的子环的子环的子环(a a)()(b b)(a a，b bS Sa a-b bS Sa a b bS S)本定理表明本定理表明本定理表明本定理表明 为为为为 的子的子的子的子环的主要条件是环的主要条件是环的主要条件是环的主要条件是S S对减法运算封闭和对减法运算封闭和对减法运算封闭和对减法运算封闭和S S对乘法运对乘法运对乘法运对乘法运算封闭。算封闭。算封闭。算封闭。由由由由此此此此看看看看出出出出，含含含含幺幺幺幺环环环环的的的的子子子子环环

11、环环未未未未必必必必也也也也含含含含幺幺幺幺元元元元，因因因因为为为为,+,是是是是含含含含幺幺幺幺元元元元1 1的的的的环环环环，其其其其子子子子环环环环,+,不不不不再再再再含乘法幺元。含乘法幺元。含乘法幺元。含乘法幺元。由定义可知，若由定义可知，若由定义可知，若由定义可知，若 为理想，则为理想，则为理想，则为理想，则R R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T T，则乘积必属于则乘积必属于则乘积必属于则乘积必属于T T。当当当当 是环是环是环是环 的子环时，的子环时，的子环

12、时，的子环时，要求要求要求要求S S对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当 是是是是环环环环 的理想时，要求更强的封闭性，的理想时，要求更强的封闭性，的理想时，要求更强的封闭性，的理想时，要求更强的封闭性，即即即即T T对于乘上对于乘上对于乘上对于乘上R R中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：定理：定理：定理：定理定理定理定理8.2.28.2.2

13、 给定环给定环给定环给定环 及及及及 T T R R，则则则则 为环为环为环为环 的理想的理想的理想的理想(t t)()(t t1 1)()(a a)()(t t，t t1 1T Ta aR R(t t-t t1 1)T Tt t a aT Ta a t tT T)定理定理定理定理8.2.38.2.3 设设设设 为环为环为环为环 之理想，则存在之理想，则存在之理想，则存在之理想，则存在i iI I+，使得，使得，使得，使得L L=(=(i i)。即。即。即。即 的每个理想皆为主理想。的每个理想皆为主理想。的每个理想皆为主理想。的每个理想皆为主理想。对对对对于于于于任任任任一一一一环环环环的的的

14、的理理理理想想想想，读读读读者者者者不不不不难难难难证证证证明明明明下下下下面面面面定定定定理：理：理：理：定定定定理理理理8.2.48.2.4 若若若若 与与与与 同同同同为为为为环环环环 之之之之理理理理想想想想，则则则则 亦为环亦为环亦为环亦为环 之理想。之理想。之理想。之理想。定定定定理理理理8.2.58.2.5 若若若若 为为为为含含含含幺幺幺幺环环环环 之之之之任任任任一一一一真真真真理理理理想想想想，则则则则T T中中中中任任任任一一一一元元元元素素素素均均均均无无无无乘乘乘乘法法法法逆元。逆元。逆元。逆元。现现现现在在在在用用用用R R/T T表表表表示示示示群群群群+中中中中

15、T T的的的的所所所所有有有有不不不不同同同同陪陪陪陪集的簇。首先定义集的簇。首先定义集的簇。首先定义集的簇。首先定义R R/T T中的加法中的加法中的加法中的加法如下：如下：如下：如下：(a a+T T)(b b+T T)=()=(a a+b b)+)+T T则则则则 是是是是AbelAbel群。群。群。群。其次定义其次定义其次定义其次定义R R/T T中的乘法中的乘法中的乘法中的乘法 如下：如下：如下：如下：(a a+T T)(b b+T T)=()=(a a b b)+)+T T则则则则 是半群。是半群。是半群。是半群。定定理理8.2.6 若若是是环环的的理理想想，则则是是商环。商环。.

16、环同态与环同构环同态与环同构定定定定义义义义8.3.18.3.1 给给给给定定定定环环环环 与与与与 ，则则则则 环环环环 环环环环 :=(:=(f f)()(f fS SR R(a a)()(b b)()(a a，b bR R(f f(a a+b b)=)=f f(a a)f f(b b)f f(a a b b)=)=f f(a a)f f(b b)称称称称f f为为为为从从从从环环环环 到到到到环环环环 的的的的环环环环同同同同态态态态映映映映射。射。射。射。又若又若又若又若f f为双射，则环为双射，则环为双射，则环为双射，则环 环环环环 ，此时称，此时称，此时称，此时称f f为从为从为从

17、为从 到到到到 的的的的环同构映射。环同构映射。环同构映射。环同构映射。不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且态，而且态，而且态，而且f f还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意a a，b b，c cR R，则，则，则，则f f(a a(b b+c c)=)=f f(a a)f f(b b+c c)=f f(a a)(f f(b b)f f(c c)=(=(f f(a a)f f(b b)(f f(a a)f f(c

18、 c)定理定理定理定理8.3.18.3.1 若若若若f f为从环为从环为从环为从环 到环到环到环到环 的环同态映射，且的环同态映射，且的环同态映射，且的环同态映射，且0 0R R，0 0S S，1 1R R，1 1S S分别为分别为分别为分别为两个环的零元和幺元，则两个环的零元和幺元，则两个环的零元和幺元，则两个环的零元和幺元，则(1)(1)f f(0(0R R)=0)=0S S(2)(2)f f(-(-a a)=-)=-f f(a a)(3)(3)是是是是 的子环的子环的子环的子环(4)(4)是是是是 的子环的子环的子环的子环(5)(5)f f为单射为单射为单射为单射K Kf f=0=0R

19、R 又若又若又若又若f f为双射，即为双射，即为双射，即为双射，即f f为环同构映射，则为环同构映射，则为环同构映射，则为环同构映射，则(6)(6)f f(1(1R R)=1)=1S S(7)(7)若若若若a aR R有乘法逆元有乘法逆元有乘法逆元有乘法逆元a a-1-1，f f(a a-1-1)=)=f f(a a)-1-1。此外，由此外，由此外，由此外，由(2)(2)可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，因为对任意因为对任意因为对任意因为对任意a a，b bR R，f f(a a-b b)=)=f f(a a+(-+

20、(-b b)=)=f f(a a)f f(-(-b b)=)=f f(a a)(-(-f f(b b)=)=f f(a a)-)-f f(b b)下面定理揭示了环同态映射的核有理下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。想结构。定理定理8.3.2 若若f为从环为从环到环到环的环同态映射，则的环同态映射，则为为之理想。之理想。下下下下面面面面定定定定理理理理证证证证明明明明了了了了域域域域中中中中无无无无零零零零因因因因子子子子，因因因因而而而而域域域域中中中中可约律成立。可约律成立。可约律成立。可约律成立。定定定定理理理理8.4.18.4.1 为为为为域域域域(a a)()(b b)()(a a

21、，b bF Fa a b b=0(=0(a a=0=0b b=0)=0)定定定定理理理理8.4.28.4.2 设设设设 是是是是无无无无零零零零因因因因子子子子环环环环，若若若若1|1|R R|n n，n n N N+，则，则，则，则 是域。是域。是域。是域。该该该该定定定定理理理理说说说说明明明明了了了了，元元元元素素素素大大大大于于于于1 1的的的的有有有有限限限限无无无无零零零零因因因因子子子子环是域。环是域。环是域。环是域。定理定理8.4.3 设设是域，是域，R K，且，且是交换环，是交换环，F=|a,b R b 0，则，则是交换域，且是交换域，且R F。并称。并称F是包含是包含R的的

22、商域，简称商域，简称F是是R的商域。的商域。定理定理定理定理8.4.48.4.4 给定环给定环给定环给定环 ，则，则，则，则 为域为域为域为域n n为素数。为素数。为素数。为素数。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。定定定定理理理理8.4.58.4.5 给给给给定定定定可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环，则则则则 为为为为域域域域 不不不不具具具具有有有有真真真真理理理理想。想。想。想。8.5 有限域有限域定定定定义义义义8.5.18.5.1 给给给给定定定定域域域域，若若若若|F F|n

23、 n，n n N N+，则则则则称称称称 是是是是有有有有限限限限域域域域，或或或或伽伽伽伽罗罗罗罗瓦瓦瓦瓦(GaloisGalois)域。域。域。域。根根根根据据据据8.48.4节节节节中中中中定定定定理理理理8.4.48.4.4可可可可知知知知，当当当当p p是是是是素素素素数数数数时时时时，是有限域，并记为是有限域，并记为是有限域，并记为是有限域，并记为GFGF(p p)。GFGF(p p)表表表表 明明明明 了了了了，若若若若 p p是是是是 素素素素 数数数数 时时时时，则则则则F F=0,1,2,=0,1,2,p p-1-1在在在在modmod p p的的的的意意意意义义义义下下下

24、下关关关关于于于于加加加加法法法法+和和和和乘乘乘乘法法法法 构成域。构成域。构成域。构成域。定义定义定义定义8.5.28.5.2 设设设设 是域，是域，是域，是域，E E F F。若。若。若。若对任意对任意对任意对任意a a,b b E E，有，有，有，有a a-b b E E，且当，且当，且当，且当b b 0 0时有时有时有时有a a b b-1 1 E E，则称，则称，则称，则称 是域是域是域是域 的子域，的子域，的子域，的子域，称称称称 是域是域是域是域 的扩张。也简称的扩张。也简称的扩张。也简称的扩张。也简称E E是是是是F F的子域，的子域，的子域，的子域，F F是是是是E E的扩

25、张。若的扩张。若的扩张。若的扩张。若,+,是域，且是域，且是域，且是域，且F F=E E ，则，则，则，则F F是是是是E E的单扩张，并记为的单扩张，并记为的单扩张，并记为的单扩张，并记为F F=E E()，称，称，称，称 是是是是F F关于关于关于关于E E的本的本的本的本原元素。原元素。原元素。原元素。定义定义定义定义8.5.38.5.3 若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，

26、称它为素域。例如，实数域例如，实数域例如，实数域例如，实数域R R中的在理数域中的在理数域中的在理数域中的在理数域Q Q是素域，是素域，是素域，是素域，是素域。是素域。是素域。是素域。定理定理定理定理8.5.18.5.1 任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域定定定定义义义义8.5.48.5.4 设设设设 是是是是域域域域，e e是是是是其其其其单单单单位位位位元元元元。若若若若e e的的的的任任任任意意意意倍倍倍倍均均均均异异异异于于于于0 0，则则则则称称称称该该该该域域域域的的的的特特特特征征征征数数数数是是是是0 0；若

27、；若；若；若e e的某素数的某素数的某素数的某素数p p倍是倍是倍是倍是0 0，称该域特征数是，称该域特征数是，称该域特征数是，称该域特征数是p p。从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：定定定定理理理理8.5.28.5.2 设设设设素素素素域域域域 的的的的特特特特征征征征数数数数是是是是p p，则则则则 ；若若若若特特特特征征征征数数数数是是是是0 0，则，则，则，则 。注注注注意意意意域域域域与与与与其其其其子子子子域域域域的的的的单单单单位位位位元元元元是是是是一一一一致致致致的的的的，可可可可见见见见域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相

28、同的。域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相同的。定理定理定理定理8.5.38.5.3 设设设设 是域，是域，是域，是域，n n是整数，是整数，是整数，是整数，对任意非零元对任意非零元对任意非零元对任意非零元a a F F，若特征数是，若特征数是，若特征数是，若特征数是0 0，则，则，则，则nana=o o iffiff n n=0=0；若特征数是；若特征数是；若特征数是；若特征数是p p，则，则，则，则nana=0=0 iffiff n n 0(mod 0(mod p p)。由由由由定定定定理理理理可可可可知知知知，特特特特征征征征数数数数是是是是单单单单位位位位元元元元的的的的

29、性性性性质质质质，也也也也是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。定定定定理理理理8.5.48.5.4 设设设设 是是是是有有有有限限限限域域域域，其其其其素素素素域域域域，|F F|=|=q q，则则则则特特特特征征征征数数数数p p 0 0，且且且且q q=p pn n，其中，其中，其中，其中n n是是是是F F关于关于关于关于E E的底之元数。的底之元数。的底之元数。的底之元数。定定定定理理理理8.5.58.5.5 设设设设 是是是是域域域域，|F F|=|=q q，则则则则F F的元是由多项式的元是由多项式的元是由多项式的元是由多项式x xq q-x x的根所组成。的根所组成。的根所组成。的根所组成。定定定定理理理理8.5.68.5.6 元元元元数数数数相相相相等等等等的的的的有有有有限限限限域域域域是是是是同同同同构构构构的的的的。在在在在同同同同构构构构意意意意义义义义下下下下，只只只只有有有有唯唯唯唯一一一一的的的的元元元元素素素素是是是是p pn n的的的的有有有有限限限限域域域域，其中其中其中其中p p为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为GFGF(p pn n)。