第二章-波函数和薛定谔方程-量子力学教学课件.ppt

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1、第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第1页主要内容主要内容:1.1.引入描述微观粒子量子状态的物理量引入描述微观粒子量子状态的物理量波函波函数数;2.2.建立非相对论的量子力学的基本方程建立非相对论的量子力学的基本方程 薛薛定谔方程定谔方程.2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释2.2 2.2 波函数的性质，态叠加原理波函数的性质，态叠加原理2.3 Schrdinger2.3 Schrdinger）方程）方程 第二章第二章 波函数与波函数与Schrdinger波动力学形式波动力学形式E.Schrdinger18871961

2、第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 在上一章中我们已经看到，为了建立新的描写微在上一章中我们已经看到，为了建立新的描写微观粒子的理论，需要从由实验揭示出的微观粒子观粒子的理论，需要从由实验揭示出的微观粒子的波粒二象性入手。所以，我们首先需要对微观的波粒二象性入手。所以，我们首先需要对微观粒子的运动有一个新的物理图像，既容许粒子表粒子的运动有一个新的物理图像，既容许粒子表现出波动的特性，又容许它们表现出粒子的特性。现出波动的特性，又容许它们表现出粒子的特性。第2页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang

3、Jun Fang Jun 第3页2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释1 1、波函数、波函数3 3、玻恩对波函数的统计诠释、玻恩对波函数的统计诠释 2 2、二象性是单个微观粒子的属性、二象性是单个微观粒子的属性4 4、波函数的性质、波函数的性质第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1 1、波函数、波函数对于一个微观粒子，怎样来描写它在某一个时刻的运动状态呢？对于一个微观粒子，怎样来描写它在某一个时刻的运动状态呢？在经典力学中，使用指明某时刻粒子的位置和动量的办法来描写，但在量子力在经典力学中，使用指明某时刻粒子的位置和动量的

4、办法来描写，但在量子力学中，这显然不行。因为：学中，这显然不行。因为：a.a.粒子的波动性不能反映；粒子的波动性不能反映；b.b.粒子轨道的概念这里不能用（因粒子的位置和动量不可能同时有确定值）。粒子轨道的概念这里不能用（因粒子的位置和动量不可能同时有确定值）。在经典波动理论中，是用场量及其在时间和空间中的变化来描写其运动规律的，在经典波动理论中，是用场量及其在时间和空间中的变化来描写其运动规律的，如电磁场，声波。如电磁场，声波。微观粒子的德布罗意波也可以理解成某种场的时空变化，只是这种场的物理机微观粒子的德布罗意波也可以理解成某种场的时空变化，只是这种场的物理机制和与其对应的粒子间的关系还有

5、待具体化，而在经典场中，这些机制和场所制和与其对应的粒子间的关系还有待具体化，而在经典场中，这些机制和场所描写的客体之间的对应关系是很明确的，一般来讲，它们总是和某些可观测的描写的客体之间的对应关系是很明确的，一般来讲，它们总是和某些可观测的物理量直接相联系。物理量直接相联系。作为最低限度的假设，微观粒子在作为最低限度的假设，微观粒子在t t时刻的状态，总可用一个函数时刻的状态，总可用一个函数来描写。来描写。第4页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fa

6、ng Jun （2 2）波函数：）波函数：如果粒子受到随时间的位置变化的力场的作用如果粒子受到随时间的位置变化的力场的作用,粒子的动粒子的动量和能量就不再是常量量和能量就不再是常量,粒子就不能用平面波来描写粒子就不能用平面波来描写.一般来一般来说应当是一个波函数说应当是一个波函数.第6页描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个复函数。是一个复函数。(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？如何理解物质波和它所描写的粒子之间的关系如何理解物质波和

7、它所描写的粒子之间的关系?第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第7页重新研究电子衍射的重新研究电子衍射的实验，从波和粒子两实验，从波和粒子两方面加以研究。方面加以研究。从波的角度：从波的角度：设有一束具有一定动量（波长）的单色电子射向小的圆孔后设有一束具有一定动量（波长）的单色电子射向小的圆孔后面发生衍射，在圆孔后面的屏上产生一系列衍射环纹。按照面发生衍射，在圆孔后面的屏上产生一系列衍射环纹。按照波的概念，衍射纹的波的概念，衍射纹的“明亮明亮”程度代表到达那里的德布罗意程度代表到达那里的德布罗意波波的强度的强度|2 2*的大小，明纹

8、相当于的大小，明纹相当于|2 2的极大值，的极大值，全黑的暗纹则相当于全黑的暗纹则相当于|2 20 0从粒子角度：从粒子角度：我们不了解每个电子穿过圆孔前后的运动细节，但实验结果我们不了解每个电子穿过圆孔前后的运动细节，但实验结果表明，衍射图像实际上是有一个一个局域性很小的感光点组表明，衍射图像实际上是有一个一个局域性很小的感光点组成。因此，有一点可以肯定，那就是每个电子到达屏上时，成。因此，有一点可以肯定，那就是每个电子到达屏上时，只落在一点，决不会弥散成线，或者成带，或者成片。只落在一点，决不会弥散成线，或者成带，或者成片。2 2、二象性是单个微观粒子的属性、二象性是单个微观粒子的属性第2

9、章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第8页换一个方式来做衍射实验，不是让许多电子同时穿过圆孔，而换一个方式来做衍射实验，不是让许多电子同时穿过圆孔，而是将它们一个一个地射向圆孔（如果降低入射波强度，使通过是将它们一个一个地射向圆孔（如果降低入射波强度，使通过实验装置里的能量不超过实验装置里的能量不超过h，从粒子性角度，这就意味着是一，从粒子性角度，这就意味着是一个一个地通过实验装置的），这时情况如何呢？个一个地通过实验装置的），这时情况如何呢？实验结果表明，开初，每次一个电子穿过圆孔后，不可能在底实验结果表明，开初，每次一个电子穿过圆孔

10、后，不可能在底板上（屏）同时产生出全部明暗条纹来，它只能落在一点上，板上（屏）同时产生出全部明暗条纹来，它只能落在一点上，出现一个感光点，这样在屏上出现的是一些星星点点，似乎是出现一个感光点，这样在屏上出现的是一些星星点点，似乎是任意的、无规则的，如下图所示那样，而记录不到衍射环纹。任意的、无规则的，如下图所示那样，而记录不到衍射环纹。当时间足够长时，底板上感光点越来越多，最后这些点的密度分当时间足够长时，底板上感光点越来越多，最后这些点的密度分布将形成一个有规律的衍射环纹，并和让许多电子在短时间内一布将形成一个有规律的衍射环纹，并和让许多电子在短时间内一下子射向圆孔在屏上得到的环纹完全相同。

11、下子射向圆孔在屏上得到的环纹完全相同。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第10页非相对论情况下，非相对论情况下，E=pE=p2 2/2m,/2m,利用利用de Broglie de Broglie 关系，可得关系，可得=k=k2 2/2m/2m波包的群速度为波包的群速度为v vg g=d=d/dk=k/m=p/m=v/dk=k/m=p/m=v但由于依赖于但由于依赖于k k，dvdvg g/dk=d/dk=d2 2/dk/dk2 2=/

12、m0=/m0自由粒子的物质波包必然要扩散。可严格证明自由粒子的物质波包必然要扩散。可严格证明第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，典的波，但是我们也可以说，“电子

13、既是粒子也是波，它是粒子和电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。几率波把微观粒子的波粒二象性很好地统几率波把微观粒子的波粒二象性很好地统一起来一起来.第11页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第13页当然，当然，波的概念和经典波的概念是不一样的，它既不是代表波的概念和经典波的概念是不一样的，它

14、既不是代表媒质振动状态的传递过程，也不是那种纯粹经典场量在空间分媒质振动状态的传递过程，也不是那种纯粹经典场量在空间分布作周期性的变化，而只是同样可以呈现出干涉与衍射现象的布作周期性的变化，而只是同样可以呈现出干涉与衍射现象的一种较为抽象的几率幅波。一种较为抽象的几率幅波。综上所述，我们获得的物理图像是：微观粒子本身是一颗颗的，综上所述，我们获得的物理图像是：微观粒子本身是一颗颗的，波动性则是一种运动的表现，是统计运动规律的结果。量子力学波动性则是一种运动的表现，是统计运动规律的结果。量子力学的功绩就在于它成功创造了这样一个客体（几率波幅），在非相的功绩就在于它成功创造了这样一个客体（几率波幅

15、），在非相对论情况下（没有粒子产生和湮灭现象发生对论情况下（没有粒子产生和湮灭现象发生粒子数守恒），粒子数守恒），在这个客体中巧妙而且不矛盾地将这两种性质（粒子，波）组合在这个客体中巧妙而且不矛盾地将这两种性质（粒子，波）组合到了一起。到了一起。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun|(r)|2的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，|(r)|2xyz表示在 r 点处，体积元xyz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振

16、幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。第15页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第16页4 4、波函数的性质、波函数的性质（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在t t时刻，时刻，r r点，点，d =dx dy dz d =dx dy dz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：dW(r

17、,t)=C|(r,t)|2d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。有意义的量：有意义的量：在在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：(r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|2称为几率密度。称为几率密度。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （3 3）归一化波函数）归一化波函数(r,t)和和 C(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C

18、是常数。因为在是常数。因为在 t时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点r1和和r2处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是：第18页可见，可见，(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。不定性。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的

19、粒子状态不变，即因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述同一状态描述同一状态这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相应的波动能倍），则相应的波动能量将为原来的量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 归一化常数归一化常数若若 (r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|2d=A（

20、A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有|(A)-1/2(r,t)|2d=1注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若若(r,t)(r,t)是归一化波函数，则是归一化波函数，则 expiexpi(r,t)(r,t)也是归一化波函数也是归一化波函数（其中（其中是实数），与前者描述同一几率波。是实数），与前者描述同一几率波。也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2(r,t)(r,t)是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与(r,t)(r,t)描写同一几率描写同一几率波。波。(A)(A)-1/2 -1/2 称为归一化因子称为归一化

21、因子。第19页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 以后我们将会看到，确有一些波函数不能按照上述程序归一以后我们将会看到，确有一些波函数不能按照上述程序归一化，例如，自由粒子的波函数化，例如，自由粒子的波函数由于由于故不能归一化。遇到这种情况，可采用适当的技巧故不能归一化。遇到这种情况，可采用适当的技巧来得到符合物理意义的结果。来得到符合物理意义的结果。例：已知基态氢原子的电子由波函数例：已知基态氢原子的电子由波函数描写，试计算归一化常数描写，试计算归一化常数C C。其中。其中为常数，为常数，是玻尔半径。是玻尔半径。第20页第2章 波

22、函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 解：为使解：为使归一化，要求归一化，要求于是得于是得上式指出，归一化常数只能确定到其绝对值。因此，即上式指出，归一化常数只能确定到其绝对值。因此，即使归一化后，波函数仍有一不确定的相因子使归一化后，波函数仍有一不确定的相因子为方便，可取为方便，可取C C为正实数，于是归一化波函数可写为为正实数，于是归一化波函数可写为第21页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例2.设粒子波函数为 ，求在(x,x+dx)中找到粒子的几率。例3.设用球坐标表示，粒子

23、波函数表示为 ,求 粒子在球壳(r,r+dr)中被测到的概率；.第22页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第24页关于量子态的概念关于量子态的概念关于物理对象的运动过程的理论描述，总是需要通过物理对象的关于物理对象的运动过程的理论描述，总是需要通过物理对象的若干属性或物理量在时间和空间的变化来做出具体的表达。例如若干属性或物理量在时间和空间的变化来做出具体的表达。例如，通过位矢，通过位矢x x、动量、动量P P（或速度（或速度v v）

24、以及角动量、动能、势能等物）以及角动量、动能、势能等物理量的变化（随时间的变化），可以具体表达出一个质点的运动理量的变化（随时间的变化），可以具体表达出一个质点的运动过程；通过电场和磁场的时间和空间的变化，可以表达出电磁场过程；通过电场和磁场的时间和空间的变化，可以表达出电磁场的运动和传播过程。的运动和传播过程。事实上，这些物理量（力学量）也正是实验观测的对象，是物理事实上，这些物理量（力学量）也正是实验观测的对象，是物理系统进行实验研究所具体对待的东西。对于电子、原子等微观系系统进行实验研究所具体对待的东西。对于电子、原子等微观系统，我们所关注的又是些什么样的力学量呢？到目前为止，我们统，我

25、们所关注的又是些什么样的力学量呢？到目前为止，我们曾遇到过的，也还是位矢、动量，能量等，即经典力学中用来描曾遇到过的，也还是位矢、动量，能量等，即经典力学中用来描述一个质点或质点组的那些量。但微观系统与经典力学系统之间述一个质点或质点组的那些量。但微观系统与经典力学系统之间存在着原则性的区别。存在着原则性的区别。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第25页在经典力学系统中，用一组力学量可以对该系统作出完全决定性的在经典力学系统中，用一组力学量可以对该系统作出完全决定性的描述，可以准确地预言它在任何时刻的位形和动力学行为。假如采描述，

26、可以准确地预言它在任何时刻的位形和动力学行为。假如采用这些力学量，对于微观粒子也能做出决定性的描写，即使具体的用这些力学量，对于微观粒子也能做出决定性的描写，即使具体的动力学定律会有修改（正如相对论力学的运动定律与牛顿第二定律动力学定律会有修改（正如相对论力学的运动定律与牛顿第二定律有区别那样），那么在微观粒子和经典力学的质点之间也不存在什有区别那样），那么在微观粒子和经典力学的质点之间也不存在什么原则性的区别了，例如，微观粒子就不会表现出衍射现象了。么原则性的区别了，例如，微观粒子就不会表现出衍射现象了。因此，这个原则性的区别必须更深刻地反映在因此，这个原则性的区别必须更深刻地反映在 运动规

27、律的不同性质运动规律的不同性质 上，而不是简单地改变一下动力学定律的具体形式问题。上，而不是简单地改变一下动力学定律的具体形式问题。后面将看到，在量子力学中，微观粒子的位矢和动量不能同时具有后面将看到，在量子力学中，微观粒子的位矢和动量不能同时具有确定值。更一般地讲，当粒子处在某一状态时，它的力学量一般有确定值。更一般地讲，当粒子处在某一状态时，它的力学量一般有许多可能值，这些可能值各以一定的几率出现，这些几率值可以由许多可能值，这些可能值各以一定的几率出现，这些几率值可以由波函数得出。这就是说，对微观粒子运动的描写是统计性的，从决波函数得出。这就是说，对微观粒子运动的描写是统计性的，从决定性

28、的规律到统计性的规律，是一个大的改变，而正是这个改变体定性的规律到统计性的规律，是一个大的改变，而正是这个改变体现了微观系统和经典系统之间的原则性区别。现了微观系统和经典系统之间的原则性区别。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第26页对一个系统作统计性的描写，总是要通过一系列参数的统计对一个系统作统计性的描写，总是要通过一系列参数的统计分布来表达被统计对象的情况和状态。现在我们对微观粒子分布来表达被统计对象的情况和状态。现在我们对微观粒子的运动做统计性的描述，也需要通过一系列统计量的统计分的运动做统计性的描述，也需要通过一系列统计

29、量的统计分布来表达它的具体物理状况或运动状态，显然这些量就是力布来表达它的具体物理状况或运动状态，显然这些量就是力学量，相应的统计分布就是每个力学量的各个可能的数值出学量，相应的统计分布就是每个力学量的各个可能的数值出现的几率。现的几率。如上所述，这些力学量的可能取值的几率分布都可通过波函数如上所述，这些力学量的可能取值的几率分布都可通过波函数决定，因此，微观粒子的运动状态完全由波函数来表达，或者决定，因此，微观粒子的运动状态完全由波函数来表达，或者说说代表微观粒子的态，不同的代表微观粒子的态，不同的给出不同的统计分布，相当给出不同的统计分布，相当于不同的态，于不同的态，随时间变化表达了态的变

30、化，也就是表达了运随时间变化表达了态的变化，也就是表达了运动过程。归纳起来可以概括为量子力学关于状态描述的一个基动过程。归纳起来可以概括为量子力学关于状态描述的一个基本原理：微观粒子的运动状态（物理状态）叫本原理：微观粒子的运动状态（物理状态）叫量子态量子态，对这种，对这种态的描述是统计性的，波函数是态的描述是统计性的，波函数是量子态的数学表示，故又称态量子态的数学表示，故又称态函数。函数。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第28页1

31、.1.态的叠加原理态的叠加原理 在经典物理中，经典波都遵从态的在经典物理中，经典波都遵从态的叠加原理叠加原理：若体系有两个可：若体系有两个可能的状态能的状态 1 1 和和 2 2 ，则其线性叠加的结果，则其线性叠加的结果 a a1 1+b b2 2 也是也是体系的一个可能的状态。作为解释波的干涉、衍射现象基础的体系的一个可能的状态。作为解释波的干涉、衍射现象基础的HuygensHuygens原理原理就是这样一个原理，它指出在空间任一点就是这样一个原理，它指出在空间任一点P P的光波的光波可由前一时刻上所有各点传播出来的波在可由前一时刻上所有各点传播出来的波在P P点的线性叠加而求点的线性叠加而

32、求得。应用这一原理可解释干涉、衍射现象。从得。应用这一原理可解释干涉、衍射现象。从动力学角度动力学角度来看，来看，叠加叠加表现表现动力学体系的线性性质动力学体系的线性性质。微观粒子产生干涉、衍射的实验事实，可通过描述粒子的微观粒子产生干涉、衍射的实验事实，可通过描述粒子的几率波的干涉、衍射而得到解释，这表明几率波的干涉、衍射而得到解释，这表明波函数也遵从叠波函数也遵从叠加原理。加原理。第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 =C=C1 11 1+C+C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态

33、。空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是：|2 2=|C=|C1 11 1+C+C2 22 2|2 2 =(C =(C1 1*1 1*+C+C2 2*2 2*)(C)(C1 11 1+C+C2 22 2)=|C =|C1 1 1 1|2 2+|C+|C2 22 2|2 2+C+C1 1*C C2 21 1*2 2+C+C1 1C C2 2*1 12 2*电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项.正是由于相干正是由于相干项的出现，才产生了衍项的出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有

34、1 1 和和 2 2 两种两种可能的状态，可能的状态，是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。衍射图样的产生证实了干涉项的存在衍射图样的产生证实了干涉项的存在,同时也证同时也证实了微观粒子的量子态满足态叠加原理实了微观粒子的量子态满足态叠加原理.第29页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 态的叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。态的叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。在原在原理叙述中，所谓理叙述中，所谓“当体系处在当体系处在态时

35、，态时，1 1出现的几率是出现的几率是 ”，这话的确切意思是：，这话的确切意思是：现对态的叠加原理进行一些讨论：现对态的叠加原理进行一些讨论：设设 1 1，2 2，N N恰是表示某一力学量恰是表示某一力学量A A取确取确定值定值 A A1 1，A A2 2，A AN N的态，则在的态，则在 态下测量力学量态下测量力学量A A，其值只能是，其值只能是 A A1 1，或者，或者A A2 2，或者或者A AN N 中的中的某一个，且力学量某一个，且力学量A A值为值为 A A1 1，A A2 2，A AN N 的几率分别的几率分别为为|c c1 1|2 2,|c c2 2|2 2,|c cN N|2

36、 2，这里已假设，这里已假设已归一已归一化了，即化了，即 第31页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 在态的叠加原理中出现的叠加，是波函数的叠加而不在态的叠加原理中出现的叠加，是波函数的叠加而不是几率的叠加。是几率的叠加。因而它必须出现干涉、衍射等现象。仍以双缝衍射为因而它必须出现干涉、衍射等现象。仍以双缝衍射为例：设通过第一缝的波函数为例：设通过第一缝的波函数为1 1，第二缝的波函数为，第二缝的波函数为 2 2，同时开启两个缝，同时开启两个缝后的波函数是后的波函数是1 1 和和2 2的线性叠加的线性叠加 ：在上式出现了干涉项在上式

37、出现了干涉项 在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之间的干涉。子之间的干涉。c11+c22。第32页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun （1 1）内积的定义）内积的定义A.A.线性空间线性空间:可以用来描写一个系统的状态的所有态函可以用来描写一个系统的状态的所有态函数数，组成一个集合，组成一个集合,它对于以它对于以c c1 11 1+c+c2 22 2表示的线性叠加运算是封闭的。数学上把这样的

38、一个集表示的线性叠加运算是封闭的。数学上把这样的一个集合合，叫做一个线性空间。它是一个函数空间，其中，叫做一个线性空间。它是一个函数空间，其中包含的每一个态函数包含的每一个态函数，称为这个线性空间的一个元素。称为这个线性空间的一个元素。2 2、内积的定义和态叠加原理的较严格的数学语言、内积的定义和态叠加原理的较严格的数学语言态叠加原理态叠加原理的含义是说，的含义是说，量子力学中描写一个系统量子力学中描写一个系统的态函数的态函数的总体，张开一个线性空间，量子力学的总体，张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里展开活动的。就是在这个空间里展开活动的。第33页第2章 波函数与薛定谔方程 Quant

39、um MechanicsFang Jun Fang Jun B.B.内积的定义：内积的定义：设有任意两个函数设有任意两个函数 和和，它们的，它们的内积内积定义是：定义是：(，)=)=*(r)(r)d(r)(r)d3 3r r按照这一定义，使用内积符号，归一条件就可以写成按照这一定义，使用内积符号，归一条件就可以写成 (，)1。基本关系：基本关系：(，)0)0(，)(,)(,)*(，c c1 11 1+c+c2 22 2)c c1 1(，1 1)+c)+c2 2(，2 2)几条推论：几条推论：(，c)c)c(c(，)(c(c，)c c*(，)(c(c1 11 1+c+c2 22 2,),)c c

40、1 1*(1 1，)+c)+c2 2*(2 2，)以上诸式中的以上诸式中的 c,cc,c1 1,c,c2 2 都是任意的复常数。都是任意的复常数。第34页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 由此可见，集合不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的，由复函数构成的数学空间。在量子力学里用得着的态空间，只要满足平方可积条件，都是希尔伯希尔伯特空间特空间。希尔伯特空间的元素有个正式的名称叫“矢量矢量”，也明显沿用了普通矢量代数里的词汇。（2）态叠加原理的较严格的数学语言：态叠加原理表述为：物理系统的状态由希尔伯特空

41、间中的矢量来描写物理系统的状态由希尔伯特空间中的矢量来描写。第35页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 3 3、动量波函数和动量分布几率、动量波函数和动量分布几率 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在晶体表面反射后，可能以各种不同的动量运动。以一个确定的动量运动的状态用如下波函数描写按态的叠加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态可以表示为 取各种可能的值的平面波的线性叠加：由于可以连续地变化，因此上式中对 求和应以对 Px,Py,Pz积分来代替。第36页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun F

42、ang Jun （1 1）波函数）波函数 的含义：的含义：以坐标以坐标 r r 为自变量的波函数，称为坐标空间波函数，或为自变量的波函数，称为坐标空间波函数，或坐标表象坐标表象波函数。波函数。第37页（2 2）任何一个波函数都可以看成是各种不同动量的平面波的叠加。即）任何一个波函数都可以看成是各种不同动量的平面波的叠加。即这里我们已取平面波的归一化常数这里我们已取平面波的归一化常数A A等于等于 ，其理由将在后面详细讨论。其理由将在后面详细讨论。（3 3）动量空间波函数（动量表象波函数）：上式的）动量空间波函数（动量表象波函数）：上式的傅立叶变换给出傅立叶变换给出（C）为为动量空间波函数动量空

43、间波函数（A）（B）第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 这个结论的证明是很简单的：事实上，将这个结论的证明是很简单的：事实上，将(B)(B)代入代入(A)(A)式后给出式后给出(D)(D)(C)(C)和和(D)(D)式说明式说明 和和 互为傅立叶互为傅立叶FourierFourier变化式，因而在一般情况变化式，因而在一般情况下总是成立的。由以上讨论可以看出：下总是成立的。由以上讨论可以看出：当当 给定后，给定后，就可由就可由(C)(C)式完全确定。式完全确定。反之，当反之，当 给定后，给定后，就可由就可由(A)(A)式完全。由此可

44、见，式完全。由此可见，和和 是同一状态的两种不同的描述方式，是同一状态的两种不同的描述方式，互相等效。即互相等效。即 二者描述同一量子态。二者描述同一量子态。若若(r,t)(r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p,t)C(p,t)也是归一化的。证明如下也是归一化的。证明如下第38页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例：若(r,t)已归一化，证明也是归一化的。证明：第39页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun l（4 4）动量表象的几率密度：动量表象的几率密度：在时刻在时

45、刻t t，在，在 点附近单位体积内找到粒子的点附近单位体积内找到粒子的几率密度几率密度，在一维情况下，在一维情况下，第40页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例:一维运动的粒子处在下列波函数描述的状态:其中0.求粒子在动量表象的波函数.解:将(x)代入上式后作分部积分,得到第41页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 力学量的平均值和算符的引进|(r r)|2d3r表示粒子位于r r处体积元dxdydz内的概率，则位置x x的平均值为势能V(r)V(r)的平均值为第42页

46、第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 动量p的平均值坐标和动量不可同时具有确定值，p(r)不存在给定波函数(r r)后，测得粒子动量在（p,p+dp）范围内的概率为,第43页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 引入动量算符第44页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 动能算符动能算符角动量算符角动量算符在势场V(r)中的粒子，其哈密顿量其哈密顿量为 H=T+V,第45页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum M

47、echanicsFang Jun Fang Jun 4 4、不确定关系、不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和动量不能同时取确定值，波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和动量不能同时取确定值，存在一个存在一个不确定关系。不确定关系。以电子的单缝衍射实验来说明以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系不确定关系：电子沿电子沿 z z 方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内。方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内。P P 1 1x xa a电子电子 P Px xz z衍射角衍射角 1 1、缝宽、缝宽 a a 和入射波波长和入射波波长 间满足间满足 a sina sin 1

48、1=狭缝处狭缝处的电子的电子 x x 坐标不确定范围：坐标不确定范围：x xa a x x 方向动量的不确定范围方向动量的不确定范围:可由电子能到达屏上的位置来估算可由电子能到达屏上的位置来估算 p px xp sin p sin 1 1第46页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun x pxh对坐标 x 测量得越精确（x 越小），动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。得严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为 x px /2/2 y py /2/2 z pz /2/2 时间与能量的不确定关系 tE /2/2如果对电子测量能量的时间为

49、 t，则测得的电子能量有不确定范围 E。第47页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun Heisenberg不确定性关系微观粒子的坐标和动量不可同时具有确定的值，会在以后给出严格证明。波在哪里？波在哪里？波长是多少？波长是多少？p=h/第48页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 微观粒子有二象性：微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；既有粒子性，又有波动性；微观粒子的状态用波函数微观粒子的状态用波函数 描述描述；微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态，微观粒子在不同的条

50、件下，应该有不同的状态，例如，电子例如，电子在氢原子中时在氢原子中时 和和在无外电场时在无外电场时的状态的状态应该是不同的。应该是不同的。怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的具体的波函数？不同状态的具体的波函数？要解薛定谔方程！要解薛定谔方程！波函数也应该是不同的。波函数也应该是不同的。第49页第2章 波函数与薛定谔方程 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2.3 2.3 薛定谔（薛定谔（SchrdingerSchrdinger）方程）方程 1.1.引言引言3.3.自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程2 2、引进方