极限分析与滑移线理论PPT学习教案.pptx

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1、会计学 1极限(jxin)分析与滑移线理论第一页，共58页。概 述 对于(duy)土体，滑移线理论、极限分析理论与力的极限平衡理论同属极限状态理论的范畴，都是求土体达到极限状态时解答的理论方法。这些理论方法都是假定分析对象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑材料到达极限状态的过程，即不考虑材料的具体应力应变关系，从而求得土体达到极限状态时的解答，但他们各自求解问题的视角和方法不同。第1页/共58页第二页，共58页。关于(guny)力的极限平衡理论 力的极限平衡理论假定土体为理想刚塑性体，依据于经典静力学中刚体平衡理论推求极限状态解答，简称为极限平衡法。该方法最为人们所熟悉，其突出优点是简单，应用

2、广泛。例如，经典土压力计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全系数(nqun xsh)计算，地基极限承载力计算等。第2页/共58页第三页，共58页。关于极限(jxin)分析理论 极限分析理论 极限分析理论(l(l ln)ln)假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于 强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生 土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限 无限”塑性 塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。流动，则认为土体

3、处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论 极限分析理论(l(l ln)ln)就是应用弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍 就是应用弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷 定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。第3页/共58页第四页，共58页。关于(guny)滑移线理论 土力学中的滑移线理论是从经典塑性力学的基础上发展起来的。假定土体为理想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。滑移线理论是基于平面应

4、变状态的土体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内的应力(yngl)和应变速度的偏微分方程是双曲线这一事实，应用特征线理论求解平面应变问题极限解的一种方法，称为滑移线法。第4页/共58页第五页，共58页。正交流动(lidng)规则 塑性 塑性(sxng)(sxng)应变率之间的关系（图）应变率之间的关系（图）或屈服(qf)函数屈服函数两种表达同第5页/共58页第六页，共58页。单剪中能量(nngling)耗散率代入得单元体能量(nngling)耗散率单元体第6页/共58页第七页，共58页。总能量(nngling)耗散率材料(cilio)总能量耗散率第7页/共58页第八页，共58页。能量耗散(ho

5、 sn)率计算n n 薄变形层上的刚体滑动能量耗散(ho sn)率n n 以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散(ho sn)率n n（推导）第8页/共58页第九页，共58页。上、下限(xixin)定理静力容许的应力场 静力容许的应力场 设有物体 设有物体V V，其表面，其表面A A，面力，面力 和体力 和体力(t(t l)l)已知。已知。若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则 若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则称为静力容许应力场。称为静力容许应力场。在体积 在体积V V 内满足平衡方程，即 内满足平衡方程，即 在边界上满足边界条件，即 在边界上满足边界条件，即 在体积 在体

6、积V V 内不违反屈服条件，即 内不违反屈服条件，即 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是 定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场。极限状态时真实的应力场。第9页/共58页第十页，共58页。上、下限(xixin)定理机动容许的位移(wiy)速率场 在物体V上，若设定一组位移(wiy)速率场，满足以下条件，为机动容许的位移速率场。在体积V内满足几何方程，即 则称在边界Su上满足位移边界条件，或速度边界条件，并使外力做正功。由上述定义可知，物体于极限状态时，其真

7、实的位移速率场必定是机动容许的位移速率场；但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速率场。第10页/共58页第十一页，共58页。上、下限(xixin)定理虚功方程与虚功率方程 虚功方程与虚功率方程 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的 应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。虚功。同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任 同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变

8、意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。形功率。如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：以上几个定理的证明可参考土力学有关书本，这里从略 以上几个定理的证明可参考土力学有关书本，这里从略(cngl)(cngl)。根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要。根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要的定理，即上下限定理。的定理，即上下限定理。式中，S速度间断(jindun)面；速度间断(jindun)面两侧切向 速度的变化。第11页/共58页第十二页，共58页。上、下限(xixin)定理下限 下限(xixin)(xixi

9、n)定理：定理：在所有与静力容许的应力场满足 在所有与静力容许的应力场满足 相对应的荷载中，极限荷载最大。相对应的荷载中，极限荷载最大。（证明）（证明）第12页/共58页第十三页，共58页。上、下限(xixin)定理上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速率(sl)场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。（证明）第13页/共58页第十四页，共58页。下限(xixin)定理证明 证：设 为真实的应力场，对应的表面力为Ti，为真实的位移速率场，由几何(j h)方程求得真实应变率为，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为；在Su上给定速度为，在ST上给

10、定表面力为，给定的体力为Fi。第14页/共58页第十五页，共58页。下限(xixin)定理证明由虚功率 由虚功率(gngl(gngl)方程得 方程得 又设另一静力容许的应力场，对 又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为，由虚功率 应的表面力为，由虚功率(gngl(gngl)方程得 方程得 第15页/共58页第十六页，共58页。下限(xixin)定理证明上述 上述(shngsh)(shngsh)两式相减得 两式相减得 由Drucker公式(gngsh)得到0 由于C 同时 0，即剪应力做正功率知0，得证。第16页/共58页第十七页，共58页。上限(shngxin)定理证明 上限定理：在所有的机

11、动容许的塑性变形位移(wiy)速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。证：设 为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为Ti，为真实位移(wiy)速率场，由几何方程求得的应变率为，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为；体力为Fi。第17页/共58页第十八页，共58页。上限定理(dngl)证明 另设一机动容许的位移(wiy)速率场，对应的应变率为，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为。虚功率方程得由于(yuy)0 第18页/共58页第十九页，共58页。上限定理(dngl)证明又 又C，则有后两式代入第一(dy)式，有显然(xinrn)只有当 时，上式等号成立。上限定理得

12、到证明。事实上，不妨设Fi,Ti 就是真正的极限荷载，对应的静力许可应力场 满足左边是外功功率，右边是能量耗散率，这就证明满足外功功率能量耗散率塑性变形时的荷载最小。第19页/共58页第二十页，共58页。上、下限(xixin)定理应用举例n n 地基(dj)极限承载力n n 下限解n n 上限解第20页/共58页第二十一页，共58页。上、下限(xixin)定理应用举例n n 垂直边坡临界高度 垂直边坡临界高度n n（无裂缝（无裂缝(li fng)(li fng)的垂直边 的垂直边坡）坡）n n 已知 已知n n 上限解 上限解n n 外功功率 外功功率内能(ni nn)消散率 第21页/共58

13、页第二十二页，共58页。垂直(chuzh)边坡临界高度根据根据(gnj)求导 有得上限(shngxin)解第22页/共58页第二十三页，共58页。垂直边坡临界(ln ji)高度根据n n 下限(xixin)解第23页/共58页第二十四页，共58页。有裂缝(li fng)的垂直边坡n n 上限(shngxin)解第24页/共58页第二十五页，共58页。上、下限定理(dngl)应用举例地基承载力（下限 地基承载力（下限(xixin)(xixin)界）界）1区 2区 3区1、3区 2区第25页/共58页第二十六页，共58页。上、下限定理(dngl)应用举例地基承载力（上限界）地基承载力（上限界）机动

14、许可速度场（附图：几种 机动许可速度场（附图：几种(j(j zh zh n n)情 情况讨论）况讨论）圆弧滑动面 圆弧滑动面斜面(ximin)斜面第26页/共58页第二十七页，共58页。滑移(hu y)线概念n n 基本(jbn)假定n n 基本(jbn)方程n n 平衡方程为 土体屈服(qf)条件为第27页/共58页第二十八页，共58页。滑移(hu y)线概念n n 应力分量表达n n 当土体达到塑性极限(jxin)平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面，剪破面与大主应力的夹角为。设大主应力 与 轴的夹角为，则三个应力分量 可分别表达为 n n 式中 称为平均法向引用应力 第28页/共

15、58页第二十九页，共58页。滑移(hu y)线在平面应变问题中，平面上任 在平面应变问题中，平面上任一点度有两个正交主应力，将 一点度有两个正交主应力，将各点主应力方向连续地连接起 各点主应力方向连续地连接起来就是主应力迹线。当土体处 来就是主应力迹线。当土体处于屈服状态时，每一点都存在 于屈服状态时，每一点都存在一对剪破面，即面和面，将平 一对剪破面，即面和面，将平面上各点剪破面连续地连接起 面上各点剪破面连续地连接起来就可以 来就可以(ky(ky)得到两族曲线，得到两族曲线，称为 称为滑移线（或滑动线。滑移线上 滑移线（或滑动线。滑移线上一点的切线就是该点的滑动面 一点的切线就是该点的滑动

16、面方向。方向。第29页/共58页第三十页，共58页。滑移(hu y)线与滑移(hu y)线方程 线和 线的微分方程(wi fn fn chn)为 第30页/共58页第三十一页，共58页。应力平衡(pnghng)方程的特征线方程n n 特征线方程(fngchng)推导 特征线方程(fngchng)组n n 极限平衡方程(fngchng)改写 第31页/共58页第三十二页，共58页。特征线方程(fngchng)推导 上式是关于、的一阶拟线形偏微分方程(fngchng)组，直接求解这个偏微分方程(fngchng)组极其困难。由于两族滑移线自己的夹角是 为此可以将方程(fngchng)改写：以 乘第一

17、个方程(fngchng)；以 乘第二个方程(fngchng)，然后相加，得第32页/共58页第三十三页，共58页。特征(tzhng)线方程推导空间曲面方程以 为变量空间曲面(qmin)方程，第33页/共58页第三十四页，共58页。特征(tzhng)线方程推导 在xoz平面内一定存在某曲线，该曲线上 和 正好(zhngho)满足方程；沿该线、可以表达为求全微分(wi fn)（过程略）第34页/共58页第三十五页，共58页。特征(tzhng)线方程推导空间曲面(qmin)方程 第35页/共58页第三十六页，共58页。应力(yngl)间断线应力间断 应力间断(jindun)(jindun)线推导 线

18、推导切向正应力(yngl)间断第36页/共58页第三十七页，共58页。应力(yngl)间断线应力(yngl)间断线推导第37页/共58页第三十八页，共58页。特征线方程(fngchng)推导 当右端项分子分母同时为0，左端的导数值不定，称为特征(tzhng)线。特征(tzhng)线方程组如下第38页/共58页第三十九页，共58页。特征线方程组的差分(ch fn)解法差分(ch fn)方程组第39页/共58页第四十页，共58页。提高(t go)差分解精度 依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行一次差分(ch fn)计算后，再在前一次差分(ch fn)计算结果的基础上进行逐次迭代计算，以分别(

19、fnbi)代替 进行下一次迭代 差分计算看似繁琐，但应用计算机采取 编程计算就极简单而且快捷 第40页/共58页第四十一页，共58页。边界(binji)已知值换算n n 由 换算(hun sun)成，第41页/共58页第四十二页，共58页。土体单元极限(jxin)平衡状态 土体单元极限平衡(pnghng)状态（推导）第42页/共58页第四十三页，共58页。边界已知值换算(hun sun)推导推导 推导(tud(tud o)o)边界上M点的应力状态用莫尔圆表示(biosh)，由图可见（引用应力）（引用应力对法线的倾角）（平均法向引用应力）（方向对边界倾角的2倍）第43页/共58页第四十四页，共5

20、8页。边界已知值换算(hun sun)推导点 点 和点 和点 对应着两种应力状态，即被动状态和主动 对应着两种应力状态，即被动状态和主动(zh(zh dng)dng)状态。状态。在 在上式分别合成一个式子，有 上式分别合成一个式子，有（）处，或按正弦(zhngxin)定律 在处，或按正弦定律）第44页/共58页第四十五页，共58页。边界(binji)已知值换算由 由 换算 换算(hun sun)(hun sun)成 成或当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便于设计使用。换算可采用如下两种方法(fngf)之一进行。方法1：利用式，反求，方法2：先由莫尔圆上直接求出然后求出再求求出第45

21、页/共58页第四十六页，共58页。边值问题n n 第一种边值问题 第一种边值问题(wnt)(wnt)（柯西问题（柯西问题(wnt)(wnt)）n n 第二种边值问题 第二种边值问题(wnt)(wnt)（古尔斯问题（古尔斯问题(wnt)(wnt)，黎曼问题，黎曼问题(wnt)(wnt)）第46页/共58页第四十七页，共58页。边值问题n n 第三种边值问题（混合(hnh)问题）n n 第四种边值问题第47页/共58页第四十八页，共58页。地基(dj)极限承载力n n 边界条件 边界条件n n 已知条件有：地基土性参数 已知条件有：地基土性参数；n n 边荷载 边荷载；以及基底荷载之倾角；以及基底

22、荷载之倾角（由上部结构荷载水平与垂直分量（由上部结构荷载水平与垂直分量(fn ling)(fn ling)确定）。确定）。n n 目的是：求基底面极限承载力及其分布 目的是：求基底面极限承载力及其分布 第48页/共58页第四十九页，共58页。地基(dj)极限承载力n n 滑移(hu y)线网格与节点第49页/共58页第五十页，共58页。地基(dj)极限承载力计算表格（步骤(bzhu)）分区解答极限荷载、实际荷载第50页/共58页第五十一页，共58页。土坡稳定(wndng)n n 坡顶极限(jxin)承载力第51页/共58页第五十二页，共58页。土坡稳定(wndng)n n 极限(jxin)边坡

23、轮廓线第52页/共58页第五十三页，共58页。土坡稳定(wndng)n n 坡顶没有荷载(hzi)且土体具有粘聚力c时 第53页/共58页第五十四页，共58页。滑移线的基本(jbn)性质 应用特征线法求解极限荷载时必须首先根据滑移线性质构造应力场。根据滑 应用特征线法求解极限荷载时必须首先根据滑移线性质构造应力场。根据滑移线的定义，可推得具有如下基本 移线的定义，可推得具有如下基本(jbn)(jbn)特性。特性。滑移线上的剪应力等于岩土体的抗剪强度（极限状态），滑移线网与屈服准则有 滑移线上的剪应力等于岩土体的抗剪强度（极限状态），滑移线网与屈服准则有关。关。两族滑移线的夹角与内摩擦角 两族滑

24、移线的夹角与内摩擦角 值有关，粘聚力 值有关，粘聚力c c不影响滑移线的两族滑移线的 不影响滑移线的两族滑移线的夹角和形状，而土体自重 夹角和形状，而土体自重 影响滑移线网的形状但不影响两族滑移线的夹 影响滑移线网的形状但不影响两族滑移线的夹角。角。第54页/共58页第五十五页，共58页。滑移(hu y)线的基本性质n n 沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条滑移 沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条滑移线上的 线上的 变化与 变化与 的变化呈比例，的变化呈比例，的变化（滑移 的变化（滑移线的曲率变化）愈大相应的 线的曲率变化）愈大相应的 变化也愈大；如若某 变化也愈大；如若某段滑移线

25、为直线，则该直线段滑移线上的 段滑移线为直线，则该直线段滑移线上的，值和应力分量均为常量。值和应力分量均为常量。n n 两条族 两条族 被两条 被两条 族滑移线所切割的两滑移线段转 族滑移线所切割的两滑移线段转角相等，同理两条族 角相等，同理两条族 被两条族 被两条族 滑移线所切割 滑移线所切割的两滑移线段转角也相等（的两滑移线段转角也相等（Henky Henky第一定律）。第一定律）。n n 若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族 若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族(y z)(y z)滑移线的曲率半径的变化为 滑移线的曲率半径的变化为,（Henky Henky第二定律）。第二定律）。第5

26、5页/共58页第五十六页，共58页。讨 论n n 当前岩土材料的滑移线理论都采用经典塑性理论中的关联流动法则，当前岩土材料的滑移线理论都采用经典塑性理论中的关联流动法则，由此得出应力特征线与滑移线一致。而试验得知 由此得出应力特征线与滑移线一致。而试验得知(d zh)(d zh)，岩土材料并不，岩土材料并不一定服从关联流动法则，因而应力特征线与滑移线可能不重合。一定服从关联流动法则，因而应力特征线与滑移线可能不重合。n n 广义塑性力学的出现，从理论上证明了塑性势面与莫尔 广义塑性力学的出现，从理论上证明了塑性势面与莫尔 库仑屈服 库仑屈服面之间成一定的角度，因而应研究采用非关联流动法则来研究滑移线 面之间成一定的角度，因而应研究采用非关联流动法则来研究滑移线 n n（进行中）。（进行中）。第56页/共58页第五十七页，共58页。谢 谢第57页/共58页第五十八页，共58页。