第六章--矩阵分析及其应用-矩阵理论课件.ppt

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1、第六章第六章 矩阵分析及其应用矩阵分析及其应用虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为为“上帝的幽灵上帝的幽灵”，进而导致，进而导致“第二次数第二次数学危机学危机”，直到柯西的，直到柯西的“极限论极限论”和戴德和戴德金等的金等的“实数理论实数理论”的出现危机才算彻底的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，们早已深有体会，将微积分中的极限、导将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究矩阵的研究，自然就在情理之中。，自然就在情理之中。1、矩

2、阵序列与矩阵级数、矩阵序列与矩阵级数 微积分的基础是数列极限的收敛理论及微积分的基础是数列极限的收敛理论及其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个“超数超数”，因此，因此类比类比可得可得矩阵序列矩阵序列与与矩阵矩阵级数级数，只要找到，只要找到度量两个度量两个“超数超数”距离距离的的适当工具。在矩阵里，这就是适当工具。在矩阵里，这就是范数范数。尽管。尽管使用给定基下的分量和元素等也可以，但使用给定基下的分量和元素等也可以，但明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。一、矩阵序列的收敛性一、矩阵序列的收敛性定义定义1 1 设有设有

3、中的中的矩阵序列矩阵序列这里这里 。如果如果 ，则称此，则称此矩阵序列收矩阵序列收敛敛，其，其极限极限为为 ，记为，记为定理定理3 3 中的中的矩阵系列矩阵系列 分别分别收敛于收敛于 ，则，则定理定理4 4 中的中的矩阵序列矩阵序列 收敛于收敛于 ，且，且所有所有 和和 都可逆都可逆，则，则注意注意定理中条件定理中条件“所有所有 和和 都可逆都可逆”必不可少，例如下面的必不可少，例如下面的 不可逆，虽然不可逆，虽然 可逆，且可逆，且用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是最常用、最简洁的方法最常用、最简洁的方法。特别地，若特别地，若 ，则，则 的的充充要

4、条件要条件是是定理定理5 5 中的中的矩阵序列矩阵序列 收敛于收敛于 的的充要条件充要条件是对任意一种矩阵范数是对任意一种矩阵范数 ，都有，都有所以所以由范数的等价性，对于由范数的等价性，对于 上任意一个范数上任意一个范数 ，必存在正常数，必存在正常数 ，使，使由于向量是特殊的矩阵，因此我们有由于向量是特殊的矩阵，因此我们有推论推论1 1 中的中的向量序列向量序列 收敛于收敛于 的的充要条件充要条件是对任意一种向量范数是对任意一种向量范数 ，都有，都有证明证明：设矩阵设矩阵 的的Jordan分解分解为为则则从而由定理从而由定理3 3可知，可知，由于谱半径不易计算，联系到由于谱半径不易计算，联系

5、到谱半径不超过任谱半径不超过任何一种矩阵范数何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是，实际常用范数来判断矩阵是否是收敛矩阵。否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才只有很难找到这样的范数，才计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。定理定理7 7 中的矩阵中的矩阵 是是收敛矩阵收敛矩阵的的充分充分条件条件是是存在存在一种矩阵范数一种矩阵范数 ，使得，使得二、矩阵级数二、矩阵级数定义定义8 8 设有设有 中的矩阵序列中的矩阵序列 ，矩阵矩阵级数级数指的是指的是无穷和无穷和称称矩阵级数收敛矩阵级数收敛，且其，且其和和为为 ，如果其，如果其部分部分和序列和序列收

6、敛于收敛于 ，即，即定义定义9 9 中的矩阵级数中的矩阵级数 称为称为绝绝对收敛对收敛的，如果数项级数的，如果数项级数都绝对收敛。这里都绝对收敛。这里定理定理1010 中的矩阵级数中的矩阵级数 绝对绝对收敛的收敛的充要条件充要条件是是正项级数正项级数 收敛，收敛，这里矩阵范数是任意的。这里矩阵范数是任意的。同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝对收敛可借助范数理论转化为判定对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数正项级数的的敛散性。敛散性。证明证明：必要性。必要性。从而从而若级数若级数 绝对收敛，则绝对收敛，则 都都收敛，故收敛，故所以正项级数所以正项级

7、数 收敛。收敛。根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项级数级数 收敛。收敛。证明证明：充分性。充分性。若级数若级数 收敛，则由矩阵范数的收敛，则由矩阵范数的等价性可知，正项级数等价性可知，正项级数 收敛，故收敛，故所以所以 都收敛，即都收敛，即 绝对绝对收敛，因此矩阵级数收敛，因此矩阵级数 绝对收敛。绝对收敛。定理定理1212 设幂级数的收敛半径为设幂级数的收敛半径为 ，则，则当当 时幂级数时幂级数 收敛；收敛；当当 时幂级数时幂级数 发散。发散。证明证明：设矩阵设矩阵 的的Jordan分解分解为为则则从而从而其中其中这里规定这里规定 时，时，最后讨论最特

8、殊的最后讨论最特殊的诺伊曼诺伊曼(Neumann)级数级数,即即幂级数幂级数 的收敛半径是的收敛半径是 ，并且收敛于，并且收敛于所以我们通过所以我们通过类比类比可以得到可以得到定理定理1313 上的上的诺伊曼诺伊曼(Neumann)级数级数收敛的收敛的充要条件充要条件是是 。并且。并且诺伊曼诺伊曼(Neumann)级数级数收敛于收敛于定理定理1414的证明需要用到上一章的引理的证明需要用到上一章的引理6 6，即：，即：引理引理6 6 对对 ，若，若 ，则矩，则矩阵阵 非奇异，且非奇异，且证明证明：所以所以Neumann级数收敛。则级数收敛。则由于由于 ，由题知，由题知两边取范数，并利用引理两边

9、取范数，并利用引理6 6，得，得例例 15 15 判断判断方阵幂级数方阵幂级数收敛，并求其和。收敛，并求其和。解：解：方阵方阵 的的谱半径谱半径满足满足所以方阵幂级数收敛，并且所以方阵幂级数收敛，并且2、矩阵函数及其计算、矩阵函数及其计算矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等学科中具有重要应用。学科中具有重要应用。类比类比普通函数，矩普通函数，矩阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量都是方阵。对应于矩阵函数的多种表示方都是方阵。对应于矩阵函数的多种表示方式式(幂级数幂级数、Jordan表示表示、多项式表示多项式表示、积积分表示

10、分表示等等)，定义矩阵函数的方式也很多。，定义矩阵函数的方式也很多。一、矩阵函数的定义及性质一、矩阵函数的定义及性质定义定义1 1 设一元函数设一元函数 可展开为收敛半径可展开为收敛半径为为 的幂级数，即的幂级数，即矩阵矩阵 的谱半径的谱半径 ，则，则矩阵函数矩阵函数 即为相应的矩阵幂级数即为相应的矩阵幂级数(收敛时收敛时)的和，即的和，即在在高等数学高等数学和和复变函数复变函数中，有幂级数展开式：中，有幂级数展开式：相应地，我们有矩阵函数：相应地，我们有矩阵函数：以及以及含参数的矩阵函数含参数的矩阵函数：根据欧拉公式根据欧拉公式 ，可以推出：可以推出：遗憾的是，指数运算规则一般不成立遗憾的是

11、，指数运算规则一般不成立：例如，令例如，令有有则则可以验证可以验证 确实两两不等。确实两两不等。那么那么什么条件下指数运算规则成立呢？什么条件下指数运算规则成立呢？定理定理2 2 如果如果 ，那么，那么证明证明：而而推论推论 设设 ，则，则二、矩阵函数的计算二、矩阵函数的计算由矩阵函数的定义，矩阵函数的计算转化为矩由矩阵函数的定义，矩阵函数的计算转化为矩阵幂级数和的计算，主要就是阵幂级数和的计算，主要就是矩阵幂的计算矩阵幂的计算。首先联想到首先联想到矩阵的对角化问题矩阵的对角化问题，即希望利用，即希望利用特特征值分解征值分解来计算矩阵函数。由于对角矩阵的对来计算矩阵函数。由于对角矩阵的对角元就

12、是矩阵的特征值，而相似矩阵就是相应角元就是矩阵的特征值，而相似矩阵就是相应的特征向量构成的矩阵。这样对任意矩阵，则的特征向量构成的矩阵。这样对任意矩阵，则可以使用可以使用Jordan分解分解。这两种方法的计算都比。这两种方法的计算都比较复杂，因此最后我们给出较复杂，因此最后我们给出待定系数法待定系数法。Jordan分解法分解法计算原理计算原理 设任意矩阵设任意矩阵 的的Jordan分解分解为为则对于任意则对于任意复系数多项式复系数多项式 ，有，有其中其中特别地，当矩阵特别地，当矩阵 可对角化时可对角化时，我们有下，我们有下面的面的特征值分解法。特征值分解法。特征值分解法特征值分解法计算原理计算

13、原理 设设可对角化矩阵可对角化矩阵 的的特征值分解特征值分解为为则有则有例例 3 3 求矩阵函数求矩阵函数 、和和 ，其中，其中解：解：求得求得 的的Jordan分解分解为为其中其中当当 时时 ，则，则当当 时时%ex601.m A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;expm(A)%调用expm函数%expm uses the Pad approximation with scaling%and squaring.ans=-2.7183 2.7183 0 -10.8731 8.1548 0 0.7658 1.9525 7.3891%ex601.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0

14、;1 0 2;syms t%声明符号变量t S=expm(A*t)；S=simple(S)%简化矩阵函数的结果S=-exp(t)*(2*t-1),t*exp(t),0 -4*t*exp(t),exp(t)*(2*t+1),0 exp(t)*(2*t-exp(t)+1),-exp(t)*(t-exp(t)+1),exp(2*t)当当 时时%ex601.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;syms t%声明符号变量t A1=sin(A*t)%内置函数sin（A）给出错误结果A1=-sin(t),sin(t),0-sin(4*t),sin(3*t),0 sin(t),0,sin

15、(2*t)%ex601.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;j=sqrt(-1);%虚数单位i A2=(expm(j*A*t)-expm(-1)*j*A*t)/(2*j)%利用Euler公式公式，调用函数expm A2=simple(A2)%简化矩阵函数的结果A2=sin(t)-2*t*cos(t),t*cos(t),0 -4*t*cos(t),sin(t)+2*t*cos(t),0 sin(t)-2*cos(t)*sin(t)+2*t*cos(t),2*cos(t)*sin(t)-sin(t)-t*cos(t),sin(2*t)例例 4 4 求矩阵函数求矩阵函数 和和

16、，其中，其中解：解：矩阵矩阵 的特征值为的特征值为 对应的特征向量为对应的特征向量为 对应的特征向量为对应的特征向量为 因此相似矩阵为因此相似矩阵为 从而从而%ex602.m A=4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;syms t%声明符号变量t S=expm(A*t)；S=simple(S)%简化矩阵函数的结果S=2*exp(t)-1/exp(2*t),2*exp(t)-2/exp(2*t),0 1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-exp(t),0 1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-2*exp(t),exp(t)%ex602.m（续）（续）A=

17、4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;j=sqrt(-1);%虚数单位i B=(expm(j*A)+expm(-1)*j*A)/2%利用Euler公式，调用函数expmB=1.4968 1.9129 0 -0.9564 -1.3726 0 -0.9564 -1.9129 0.5403%ex602.m（续）（续）A=4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;P,D=eig(A);j=sqrt(-1);C=P*(expm1(j*D)+expm1(-1)*j*D)/2)*inv(P)+eye(size(A)%函数expm1返回e(x)-1ans=1.4968 1.9129 0 -0.9564 -1.

18、3726 0 -0.9564 -1.9129 0.5403利用幂级数求矩阵函数，要求相应的函数利用幂级数求矩阵函数，要求相应的函数必须必须能够展开成收敛的幂级数能够展开成收敛的幂级数，这个条件一般不容这个条件一般不容易满足易满足。而根据。而根据特征值分解法特征值分解法，我们可以根据，我们可以根据矩阵的谱矩阵的谱即矩阵的特征值的集合来定义矩阵函即矩阵的特征值的集合来定义矩阵函数，这样就拓宽了矩阵函数的定义范围，尤其数，这样就拓宽了矩阵函数的定义范围，尤其是对那些是对那些不能展开成收敛的幂级数的函数不能展开成收敛的幂级数的函数也可也可以定义出相应的矩阵函数。以定义出相应的矩阵函数。一般地，如果矩阵

19、一般地，如果矩阵 的最小多项式为的最小多项式为则对于任意复值函数则对于任意复值函数 ，只要，只要有意义，我们就说函数有意义，我们就说函数 在在矩阵矩阵 的谱的谱 上有定义。上有定义。则定义任意复值函数则定义任意复值函数 的的矩阵函数矩阵函数为为定义定义5 5 设设复值函数复值函数 在矩阵在矩阵 的的谱上有谱上有定义定义，矩阵，矩阵 有有Jordan分解分解其中其中例例 6 6 求矩阵函数求矩阵函数 和和 ，其中，其中解：解：求得求得 的的Jordan分解分解为为其中其中显然显然 和和 在在 都有意义，都有意义，因此因此 和和 都有意义。都有意义。%ex602.m（续）（续）A=-1 1 0;-

20、4 3 0;1 0 2;F=logm(A)%函数logm(A)返回lnAF=-2.0000 1.0000 -0.0000 -4.0000 2.0000 0 1.3069 -0.3069 0.6931%ex602.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;G=sqrtm(A）G=-0.0000 0.5000 -0.0000 -2.0000 2.0000 0.0000 0.5858 -0.0858 1.4142需要指出的是，需要指出的是，计算相应的矩阵函数时，涉及计算相应的矩阵函数时，涉及到的算法主要分为到的算法主要分为特征值方法特征值方法（特征值分解、特征值分解、Jordan分解

21、、分解、Schur分解等分解等）和）和逼近方法逼近方法（泰泰勒逼近、勒逼近、pade逼近逼近等）。考虑到计算复杂性及等）。考虑到计算复杂性及稳定性，具体实现时前一类方法实际采用的是稳定性，具体实现时前一类方法实际采用的是Schur分解法分解法（例如例如matlab中的中的logm函数函数），后一类方法实际则采是后一类方法实际则采是Pade逼近法逼近法（例如例如matlab中的中的expm函数函数）。详见）。详见Golub&Van Loan矩阵计算矩阵计算和和Matlab帮助文档。帮助文档。在在定义定义5 5中，矩阵函数中，矩阵函数 只与函数只与函数 在在 上的值有关，这启发我们，如果能够求上的

22、值有关，这启发我们，如果能够求出一个尽可能简单的函数出一个尽可能简单的函数 （比如复系数多（比如复系数多项式），使得两者在项式），使得两者在 上等值，那么便有上等值，那么便有 。此就是著名的。此就是著名的Hermite多项式插值问题多项式插值问题。则存在唯一的复值多项式函数则存在唯一的复值多项式函数 ，使得，使得定理定理7 7 设复值函数设复值函数 在矩阵在矩阵 的谱上有的谱上有定义，矩阵定义，矩阵 有有最小多项式最小多项式以及以及待定系数法待定系数法计算原理计算原理 设矩阵设矩阵 的的特征多项式特征多项式为为由带余除法，设有由带余除法，设有确定出余式确定出余式再根据再根据Cayley-Ham

23、ilton定理，有定理，有从而从而则可由则可由例例 8 8 求矩阵函数求矩阵函数 ，其中，其中解：解：求得求得 的的Jordan分解分解为为其中其中 矩阵矩阵 的的特征多项式特征多项式为为 因此设因此设则则当当 时时 ，则，则 解得解得因此因此 注意到此例中注意到此例中因此因此 即矩阵的高次幂都可以转化为低次幂，因此即矩阵的高次幂都可以转化为低次幂，因此 从而矩阵幂级数求和问题转化为数项级数求和从而矩阵幂级数求和问题转化为数项级数求和。递推公式法递推公式法计算原理计算原理 由矩阵由矩阵 的的特征多项式或最小多特征多项式或最小多项式项式得到矩阵的递推关系式，代入矩阵函数得到矩阵的递推关系式，代入

24、矩阵函数的矩阵幂级数定义形式中，从而将矩阵函数的矩阵幂级数定义形式中，从而将矩阵函数的计算转化为数项级数求和问题。的计算转化为数项级数求和问题。显然这种方法适用于递推关系式不太复杂的显然这种方法适用于递推关系式不太复杂的情形。情形。例例 9 9 设设4阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为 ，求求解：解：由题由题 的特征多项式为的特征多项式为因此因此从而从而从而从而四、矩阵函数的最完美定义四、矩阵函数的最完美定义(不要求掌握不要求掌握)定义定义1010 设复值函数设复值函数 在闭曲线在闭曲线 的内部的内部解析，且解析，且 包围了包围了 ，则矩阵函数为，则矩阵函数为显然这是复变函数中显然这是复变函数

25、中Cauchy积分定理积分定理的矩阵形的矩阵形式。式。3、矩阵的微分与积分、矩阵的微分与积分实际使用时，矩阵函数与函数矩阵的微分、实际使用时，矩阵函数与函数矩阵的微分、积分常常同时出现。研究矩阵函数和函数积分常常同时出现。研究矩阵函数和函数矩阵的微分、积分，这对研究微分方程组矩阵的微分、积分，这对研究微分方程组以及优化问题等都非常重要。其中尤为重以及优化问题等都非常重要。其中尤为重要的是要的是梯度分析的方法梯度分析的方法，张贤达在，张贤达在矩阵矩阵分析及应用分析及应用中将之列为矩阵分析的五大中将之列为矩阵分析的五大分析方法之首，并有详细介绍。分析方法之首，并有详细介绍。一、一元函数矩阵的微积分

26、一、一元函数矩阵的微积分定义定义1 1 设有设有函数矩阵函数矩阵 。称。称矩阵矩阵 可微可微，如果其每个元素，如果其每个元素 都是都是可微函数，且可微函数，且微分微分为为定义定义2 2 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称矩阵矩阵 的的微分为满足下式的矩阵微分为满足下式的矩阵 ：联想到普通函数联想到普通函数 的微分的微分 也满足下式：也满足下式：定理定理 3 3 设设 和和 都是可微矩阵，则都是可微矩阵，则这里这里 为可微矩阵。为可微矩阵。遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。例如对矩阵多项式函数例如对矩阵多项式函数 显然显然上式中，要使法则成立，显然需

27、要上式中，要使法则成立，显然需要补充条件补充条件如此，对如此，对多项式函数多项式函数 ，才能成立链式法，才能成立链式法则则定义定义4 4 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称矩矩阵阵 二阶可微二阶可微，如果其每个元素，如果其每个元素 都都是二阶可微函数，且是二阶可微函数，且二阶微分二阶微分为为一般地，不难给出矩阵的高阶导数。一般地，不难给出矩阵的高阶导数。定义定义5 5 设有函数矩阵设有函数矩阵 。称。称矩阵矩阵 在在 上可积上可积，如果其每个元素，如果其每个元素 都在都在 上可积，且上可积，且积分积分为为容易验证矩阵积分具有下列性质：容易验证矩阵积分具有下列性质：这里这里 为常量矩阵。为常量矩

28、阵。定理定理 6 6 设设 和和 都在都在 上可积，则上可积，则定理定理 7 7 设设 在在 上连续，则成立上连续，则成立微积分微积分基本定理基本定理：定理定理 8 8 设设 在在 上连续，则成立牛顿上连续，则成立牛顿-莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：例例 9 9 矩阵矩阵 为任意常量方阵，证明为任意常量方阵，证明例例 1010 已知已知 (1)求矩阵求矩阵 ;(2)求求 。注意到注意到 时，时，因此，因此 解：解：（1 1）两边对两边对 求导，得求导，得解：解：（1 1）各元素分别）各元素分别对对 求定积分，得求定积分，得%ex603.m syms t%函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin

29、(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t);DS=diff(S,t)%调用内置函数diff求S对t的导数ans=2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)%ex603.m（续）（续）syms t%函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t);syms a b%声明符号变量a，bIS=int(S，t，a,b)%调用内置

30、函数int对S从a到b求定积分IS=(cos(a)-cos(b)*(cos(a)+cos(b)+3),(cos(a)-cos(b)*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)(cos(a)-cos(b)*(3*cos(a)+3*cos(b)-1),(cos(a)-cos(b)*(5*cos(a)+5*cos(b)+1)例例11 11 设矩阵设矩阵 ，证，证明明因为因为矩阵的迹是线性函数矩阵的迹是线性函数，即，即例例10说明对函数矩阵说明对函数矩阵A(t)而言，而言，求导和求导和A(t)的线的线性函数性函数l(A(t)可以交换运算次序可以交换运算次序，即，即二、函数对向量的微分二、函数对向量的微

31、分定义定义1212 设有多元函数设有多元函数 。定义定义函数函数 对对 的微分的微分(即即梯度梯度)为向量为向量显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上的变化率，从而指出了此函数的的变化率，从而指出了此函数的最大增长率最大增长率。例例1313 对双线性型对双线性型有有特别地，有特别地，有 对二次型对二次型 ，有有 特别地，当特别地，当 对称对称时，有时，有有有例例14 14 当当 对称时，对对称时，对二次泛函二次泛函因此求二次泛函因此求二次泛函 的极值问题转化为求方的极值问题转化为求方程组程组 的解，即二次泛函的解，即二次泛函 的稳的稳定定(Stat

32、ionary)点是可能的极值点。点是可能的极值点。%ex604.msyms x1 x2 a b c d x=x1;x2,y=y1;y2z=y1 y2;%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b d;f=z*A*x;%线性型线性型线性型线性型f fR1=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数AT*yR1=a*y1+c*y2,b*y1+d*y2 ans=a*y1+c*y2 b*y1+d*y2理论结果是列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量%ex604.m（续）（续）syms x1 x2 a b c d x=x1;x2,

33、y=y1;y2z=y1 y2;%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b df=z*A*x;%线性型线性型线性型线性型f fR2=jacobian(f,y)%调用内置函数jacobian求f对y的导数A*xR2=a*x1+b*x2,c*x1+d*x2 ans=a*x1+b*x2 c*x1+d*x2理论结果是列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量%ex604.m（续）（续）syms x1 x2 a b c d x=x1;x2；z=x1 x2;%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b;c d;AT=a c;b df=z*A*x;%二次型二次型

34、二次型二次型f fR3=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数(A+AT)*xR3=2*a*x1+b*x2+c*x2,b*x1+c*x1+2*d*x2 ans=2*a*x1+x2*(b+c)2*d*x2+x1*(b+c)理论结果是列向量，理论结果是列向量，但显示为但显示为行向量行向量定义定义1515 设有多元函数设有多元函数 。定义定义函数函数 对对 的微分的微分(即即行梯度行梯度)为为行向量行向量定义定义16 16 行行向量值函数向量值函数 对列向量对列向量 的微分的微分为为Jacobi矩阵矩阵（行对列行对列）将梯度推广到将梯度推广到向量值函数向量值函数，我们

35、有，我们有定义定义17 17 列列向量值函数向量值函数 对行向量对行向量 的微分的微分为为Jacobi矩阵矩阵（列对行列对行）特别地，当特别地，当 时，有时，有Jacobi行列式行列式例例1818 对对 ，有有例例1919 对对 ，有有都是行对列都是行对列例例2020 推广例推广例13的结论。对的结论。对有有例例2121 链式法则链式法则例例 2222 （二重积分的坐标变换二重积分的坐标变换）直角坐标系下的二重积分直角坐标系下的二重积分变成相应的极坐标下的二重积分变成相应的极坐标下的二重积分经过变换经过变换定义定义2323 多元函数多元函数 对列对列向量向量 的二阶微分的二阶微分为为Hessi

36、an矩阵矩阵其其Hessian矩阵为矩阵为例例 24 24 当当 对称时，对对称时，对二次泛函二次泛函如果矩阵如果矩阵 还是正定的，并且存在还是正定的，并且存在 ，使，使得得 ，则由，则由 可知可知 是二次泛函的局部极小点。是二次泛函的局部极小点。%ex605.msyms x1 x2 a b c d x=x1;x2,z=x1 x2;%引入z的目的是简化结果R1=jacobian(z,x)%调用内置函数jacobian求x对x的导数A=a b;c d;R2=jacobian(z*A,x)%调用内置函数jacobian求xA对x的导数R1=1,0 0,1R2=a,c b,d都是行向量对列向量，都是

37、行向量对列向量，返回的是返回的是Jacobi矩阵矩阵%ex605.m（续）（续）syms x1 x2 a b c d b1 b2 x=x1;x2;z=x1 x2;A=a b;b d;%A是对称矩阵B=b1;b2,BT=b1 b2;f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c%二次泛函 fR3=jacobian(f,x)%R3是列向量%列向量对行向量，这里返回的Jacobi矩阵是二次泛%函的Hessian矩阵，即对称矩阵AH=jacobian(R3,z)R3=a*x1-b1+b*x2,b*x1-b2+d*x2 H=a,b b,d实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹、矩阵的实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹

38、、矩阵的行列式行列式等矩阵标量函数与矩阵元素值变化之间等矩阵标量函数与矩阵元素值变化之间的关系的关系，比如，比如扰动分析扰动分析中某个矩阵元素值的变中某个矩阵元素值的变化对矩阵的迹的影响等。化对矩阵的迹的影响等。矩阵标量函数显然可矩阵标量函数显然可理解为理解为 元的函数元的函数，即，即因此有必要将梯度推广到因此有必要将梯度推广到矩阵标量函数。矩阵标量函数。三、矩阵标量函数对矩阵的微分三、矩阵标量函数对矩阵的微分定义定义2525 设有矩阵标量函数设有矩阵标量函数 。函数函数 对对 的微分的微分为为梯度梯度矩阵矩阵例例 2727 对双线性型对双线性型有有例例 2626 对矩阵的迹对矩阵的迹有有因此

39、因此例例 2828 对矩阵乘积的迹对矩阵乘积的迹有有四、矩阵对矩阵的微分四、矩阵对矩阵的微分定义定义2828 设设矩阵值函数矩阵值函数 的元素的元素 都是矩阵标量函数。矩阵都是矩阵标量函数。矩阵函数函数 对对 的微分的微分指的是指的是 矩阵矩阵其中其中例例 2929 已知已知 ，设，设 ，求，求解：解：因为因为所以所以%ex606.msyms x1 x2 a11 a12 a21 a22 x=x1;x2;y=y1;y2;z=x1 x2;w=y1 y2;A1=a11 a12;a21 a22;f=z*A1*y%线性型线性型线性型线性型f fR1=jacobian(f,A1)%调用内置函数jacobi

40、an求f对A1的导数x*wR1=x1*y1,x2*y1,x1*y2,x2*y2 ans=x1*y1,x1*y2 x2*y1,x2*y2理论结果是矩阵，理论结果是矩阵，但按列排序方式但按列排序方式显示为显示为行向量行向量%ex606.m（续）（续）syms a11 a12 a21 a22 a13 a23syms b1 b2 b3 A1=a11 a12;a21 a22;A2=a13 ;a23;A=A1 A2;b=b1;b2;b3;B=A*b%调用内置函数jacobian求Ab对矩阵A1的导数R2=jacobian(B,A1)%调用内置函数jacobian求Ab对列向量A2的导数R3=jacobia

41、n(B,A2)R4=jacobian(B,A)R2=b1,0,b2,0 0,b1,0,b2 R3=b3,0 0,b3 R4=b1,0,b2,0,b3,0,b4,0 0,b1,0,b2,0,b3,0,b4理论结果是：理论结果是：R2=R3=b1,b2 b3 0,0 0 0,0 0 b1,b2 b3 R4=b1,b2,b3,b4 0,0,0,0 0,0,0,0 b1,b2,b3,b4输出结果是：输出结果是：4、矩阵函数的应用、矩阵函数的应用矩阵函数经常与函数矩阵（包括向量值函矩阵函数经常与函数矩阵（包括向量值函数及数及 矩阵）联系在一起。利用分析学矩阵）联系在一起。利用分析学的理论，可以将非线性问

42、题近似成线性问的理论，可以将非线性问题近似成线性问题。事实上，用题。事实上，用“线性化线性化”处理处理非线性问非线性问题是一种重要的思维方式，比如控制中的题是一种重要的思维方式，比如控制中的线性系统理论，其中最典型的就是线性系统理论，其中最典型的就是线性微线性微分方程组在线性系统中的应用分方程组在线性系统中的应用。一、线性齐次微分方程组一、线性齐次微分方程组齐次微分方程齐次微分方程的通解为的通解为将将 推广到向量，将系数推广到向量，将系数 推广推广到对角矩阵以及块对角矩阵，结论仍然成立到对角矩阵以及块对角矩阵，结论仍然成立此时有此时有对于任意系数矩阵对于任意系数矩阵 ，注意到，注意到Jorda

43、n分解分解令令 ，则方程组的，则方程组的最简解耦最简解耦为为因此因此从而从而定理定理1 1 线性常系数齐次微分方程组线性常系数齐次微分方程组的通解为的通解为这里这里 ，是常是常数矩阵，数矩阵，证明证明 由于由于两边积分得两边积分得因此因此例例 2 2 求常系数求常系数线性齐次微分方程组线性齐次微分方程组在下列初始条件下的解：在下列初始条件下的解：解解：方程组的矩阵形式为方程组的矩阵形式为这里这里根据定理根据定理1，其解为，其解为矩阵矩阵 的的Jordan分解为分解为 ，这里，这里这时这时因此所求微分方程组的解为因此所求微分方程组的解为二、线性非齐次微分方程组二、线性非齐次微分方程组非齐次微分方

44、程非齐次微分方程的通解为的通解为将将 推广到向量，将系数推广到向量，将系数 推推广到任意矩阵，结论仍然成立。广到任意矩阵，结论仍然成立。定理定理 3 3 线性常系数非齐次微分方程组线性常系数非齐次微分方程组的通解为的通解为这里这里 ，其他与定理，其他与定理1 1相相同。同。两边积分得两边积分得即即证明证明 用用 乘方程两边，并整理得乘方程两边，并整理得再用再用 乘方程两边，并整理即得结果。乘方程两边，并整理即得结果。例例 4 4 求常系数求常系数线性非齐次微分方程组线性非齐次微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解，这里的解，这里解：解：矩阵矩阵 的特征值分解为的特征值分解为 ，这里这里因此因

45、此因此所求微分方程组的解为因此所求微分方程组的解为%ex607.m A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;syms t%声明符号变量t S=expm(A*t)；S=simple(S)%简化矩阵函数的结果 x0=1 1 3;xh=S*x0 xh=simple(xh)xh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t)%ex607.m(续续)syms sf=exp(t);exp(t);exp(4*t)%自由项fg=exp(s);exp(s);exp(4*s)T=simple(expm(-A*s);%e(-As)h=simple(T*g)%e(-A

46、s)f(s)xp0=int(h,0,t)%从0到t求e(-As)f(s)的积分xp=S*int(h,0,t);%非齐次的特解xpxp=simple(xp)x=xh+xp;%非齐次的通解xx=simple(x)h=s+1 2*s+1 exp(2*s)sxp=-(t*exp(t)*(t-2)/2 -t*exp(t)*(t-1)(exp(t)*(exp(3*t)-exp(t)+t2)/2x=-(exp(t)*(t2-2)/2 -exp(t)*(t2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t2)/2%ex607.m（续）（续）用用dsolve求解符号微分方程组求解符号微

47、分方程组syms t x1 x2 x3%声明符号变量x1,x2,x3=dsolve(Dx1=-1*x1+x2,Dx2=-4*x1+3*x2,.Dx3=x1+2*x3,x1(0)=1,x2(0)=1,x3(0)=3)%.是续行符xh=x1;x2;x3%齐次的通解xhxh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t)%ex607.m（续）（续）用用dsolve求解符号微分方程组求解符号微分方程组syms t x1 x2 x3%声明符号变量x1,x2,x3=dsolve(Dx1=-1*x1+x2+exp(t),.Dx2=-4*x1+3*x2+exp(t

48、),.Dx3=x1+2*x3+exp(4*t),.x1(0)=1,x2(0)=1,x3(0)=3)%.是续行符x=x1;x2;x3%非齐次的通解xx=-(exp(t)*(t2-2)/2 -exp(t)*(t2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t2)/2线性定常连续系统线性定常连续系统的的状态方程状态方程为为其通解为其通解为三、应用：三、应用：线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵这里第一项这里第一项(零输入响应零输入响应)是是由初始状态引起的由初始状态引起的系统自由运动系统自由运动，第二项，第二项(零状态响应零状态响应)是是由控制由控制输入输

49、入 所产生的受控运动所产生的受控运动。由于变换矩阵由于变换矩阵 起着一种起着一种状态转移的作用，称为状态转移的作用，称为状态转移矩阵状态转移矩阵。显然它显然它表征了从初始状态表征了从初始状态 到当前状态到当前状态 的的转移关系。而且从本质上看，无论是初始状态转移关系。而且从本质上看，无论是初始状态引起的运动（引起的运动（第一项第一项），还是由输入引起的运），还是由输入引起的运动（动（第二项第二项），都是一种状态转移，都可用状），都是一种状态转移，都可用状态转移矩阵来表示。实际上态转移矩阵来表示。实际上根据定义可以证明，状态转移矩阵满足根据定义可以证明，状态转移矩阵满足以及以及这与下列关系显然吻

50、合：这与下列关系显然吻合：四、矩阵微分方程四、矩阵微分方程很容易验证，很容易验证，矩阵微分方程矩阵微分方程的解为的解为这里这里 是未知函数矩阵。是未知函数矩阵。而且，可以成立而且，可以成立Jacobi恒等式恒等式：因此，当因此，当 为非奇异矩阵为非奇异矩阵时，方程时，方程 的的解都是非奇异的。解都是非奇异的。特别地，当特别地，当 时，方程时，方程 的解的解 称为称为 的的基本解矩阵基本解矩阵。Jacobi恒等式恒等式的证明：的证明：注意到注意到这说明方程这说明方程 的解的解 都可以用基本解矩都可以用基本解矩阵阵 来表示，即来表示，即令令 ，则，则那么基本解矩阵那么基本解矩阵 又如何表示呢？又如