第二章---线性方程组课件.ppt

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1、第二章 线性方程组一.线性方程组二.向量及其线性运算三.向量间的线性关系四.向量组的秩与方程组的解五.R 的标准正交基一.线性方程组(一)历史点滴：v 约于公元前世纪,中国人就发明了不超过5元的正整系数线性方程组的解法 消元法v 我国元朝人朱世杰(A.D.1300年前后)创立了“四元术”多元高次联立方程组与消元法v 1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,17041752)提出了线性方程组的行列式解法“克拉默法则”v 十九世纪初,德国数学家高斯(C.F.Gauss,17771855)将一般线性方程组的解法 消元法系统化一.线性方程组(二)线性方程组 AX=的解法:v 行列式解法 A 是

2、n阶矩阵“克拉默法则”:xj=|Bj|/|A|,(j=1,2,n),其中 Bj 是用替换A的第j列所得的n阶矩阵,j=1,2,n.推论:齐次线性方程组 AX=0有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A|=0v 矩阵初等变换法(高斯)消元法:用矩阵的行初等变换法将线性方程组的增广矩阵化为方程组标准形一.线性方程组(三)线性方程组有解的判定定理 线性方程组AX=有解的充分必要条件是 r(A)=r(B),其中 B=(A,)(四)n元线性方程组 AX=的解的结构定理:v 当 r(A)=r(B)=n时,AX=有唯一解v 当 r(A)=r(B)n时,AX=有无穷多解 推论:当 r(A)=n时,AX=0 有

3、唯一解 当 r(A)n时,AX=0 有无穷多解三.向量间的线性关系(一)向量的线性组合(线性表出)v 零向量是任一向量组的线性组合v 任一n维向量都是n维单位向量组的线性组合v 线性方程组 AX=有解的充分必要条件是 可由A的列向量组来线性表出 三.向量间的线性关系(二)向量的线性相关v 向量组1,2,s 线性相关的充分必要条件是某个i 可由其余的向量来线性表出v 包含零向量的向量组必线性相关v 包含线性相关向量组的向量组必线性相关v N+1 个n维向量必线性相关v n维列向量组的线性关系可通过对其构成的矩阵施行行初等变换求得 三.向量间的线性关系(三)向量的线性无关v 向量组1,2,s 线性

4、无关的充分必要条件是每个i 都不能由其余的向量来线性表出v 单个非零向量是线性无关的v n维单位向量组(标准基)是线性无关的v 线性无关向量组的任一部分向量组也线性无关v 任一线性无关的n维向量组的“延长向量组”必线性无关v 向量组1,2,s 线性无关的充分必要条件是向量被向量组1,2,s线性表出时的表示法是唯一的四.向量组的秩(二)向量组的秩与矩阵的秩的关系v 矩阵的行(列)向量组的秩称为矩阵的行(列)秩v 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩v 矩阵的行秩与列秩相等,且即为矩阵的秩v 用初等变换将矩阵A化为梯形矩阵或等价标准形即可求得其秩五.线性方程组解的结构 线性方程组解的性质与结构定理

5、:vn元齐次线性方程组 AX=0 的所有解构成R 的子空间,其基称为该方程组的基础解系,它所含向量的个数为 n-r(A)vn元非齐次线性方程组 AX=的两个解的和与差不再是其解,但两个解的差是 AX=0 的解v n元非齐次线性方程组 AX=的任一解可表示为=0+k11+k22+knn 其中0是 AX=的一个特解,1,2,n 是AX=0 的一个基础解系,k1,k2,kn 是常数六.R 的标准正交基vR 的基1,2,n 到基1,2,n的过渡矩阵P是可逆矩阵v设P是R 的基1,2,n 到基1,2,n的过渡矩阵,向量在这两组基下分别是X和Y,则有 X=PY六.R 的标准正交基(三)向量的长度v=0当且

6、仅当=v 任一非零向量都可以化为单位向量v 向量的长度具有非负性和可数乘性(绝对值)，并适合“三角不等式”v|(柯布不等式)当且仅当,线性相关时取等号六.R 的标准正交基(四)正交向量组v定义:两两正交的非零向量组v正交向量组必线性无关,但反之不真v施密特(德E.Schmidt,1876-1959)正交化方法v任一线性无关向量组都可经施密特(Schmidt)正交化方法化为正交向量组范例讲解v 对任意mn矩阵A与m维列向量,线性方程组 AAX=A 必有解v 任一线性相关的n维向量组的“缩短向量组”(m维,1mn)必线性相关v 设向量组1,2,s 线性无关,试决定向量组1+2,2+3,s+1 的线性相关性v 设A 为mn矩阵,B为nt矩阵,求证:r(A)+r(B)n r(AB)minr(A),r(B)v 设A为n阶实可逆矩阵，证明:存在n阶正交矩阵Q和n阶上三角正线矩阵R，使得QR