概率论全概率公式学习教案.pptx

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1、会计学 1概率(gil)论全概率(gil)公式第一页，共86页。2 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号(y ho)门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号吗？一个教授都容易回答错误的概率(gil)问题第 1页/共 85页第二页，共86页。31.4 1.4 条件概率条件概率(gil(gil)与事件的独立性与事件的独立性一、条件(tiojin

2、)概率1问题 E产品(chnpn)(N个产品(chnpn)中含M个次品)随机抽样。Ai=第 i 次抽到次品,i=1,2，放回抽样时，不放回抽样时，P(A2)P(Ai)P(A2)第 2页/共 85页第三页，共86页。42 2定义 定义(dngy)(dngy)为 在 B发 生 的 条 件(tiojin)下，A发生的条件(tiojin)概率。注2条件概率(gil)满足三条公理及概率(gil)的其它性质。注1P(A/B)是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB后计算概率，P(A/B)本质上是一个无条件概率；ABAB设A、B为两随机事件，且P(B)0，则称第 3页/共 85页第四页，共86页。5 例1

3、设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经(y jing)30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解 记A=30年内无特大洪水(hngshu)，B=未来10年内有特大洪水(hngshu)，则二、乘法(chngf)公式A=40年内无特大洪水第 4页/共 85页第五页，共86页。6例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人(mu rn)从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若经M次交换后，A中恰有M个白球则此

4、人可获奖。问此人获奖的概率是多少？解 设第 5页/共 85页第六页，共86页。7 例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时(tngsh)放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(A2)。解问题(wnt)：A3由哪几个原因引起？第 6页/共 85页第七页，共86页。8三、全概率 三、全概率(gil(gil)公式 公式 B则对任何(rnh)事件B有证A1 A2 AnBA1BA2BAi.BAn 设A1,A2,An 是对的一个划分：注意(zh y)：解题时先画因果关系图(多因一果)。A1 Ai AnP(B/Ai)BP(Ai)例1.17(P10：矿工逃生问题)。

5、BA1第 7页/共 85页第八页，共86页。9 例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求两张牌点数相同(xin tn)的概率。第 8页/共 85页第九页，共86页。10 例 从一副不含有大小(dxio)王的扑克牌中不放回的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。第 9页/共 85页第十页，共86页。1 1例 2005从数1,2,3,4中任取一个(y),记为X,再从1,X中任取一个(y),记为Y,则.解:试验分为两个阶段(jidun),Y=2是第2阶段(jidun)的结果,第1阶段(jidun)的所有结果是Y=2发生的一组前提条件.第 10页/共 85页第十一页，共86页。12例

6、某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意(su y)放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段(jidun)第一阶段(jidun)是字母脱落,第2阶段(jidun)是捡起放回,放回仍为“MAXAM”是第2阶段(jidun)的结果,设为A,它与第1阶段(jidun)脱落的情况有关.则 代入即得 用B表示脱落的两个(lin)字母相同.第 1 1页/共 85页第十二页，共86页。13赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1 元钱,每局甲赢的概率为p,开始(kish)时甲乙二人各有m,n 元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率.第 12页/共 85页第十三页，共8

7、6页。14可以(ky)解得第 13页/共 85页第十四页，共86页。15四、四、Bayes Bayes公式 公式(gngsh)(gngsh)P(Ai)P(Ai/B)A1 A2 AnP(B/Ai)B 设 A1,A2,An是对 的一个划分，则P(Ai)先验概率 P(Ai/B)后验概率(gil)B B证明(zhngmng)第 14页/共 85页第十五页，共86页。16 例4 一台机床(jchung)正常时，产品的合格率为90%，非正常时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床(jchung)时，机床(jchung)正常的概率为75%。检验人员为检验机床(jchung)是否正常，开动机床(jchung

8、)生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床(jchung)处于正常状态的概率是多少？解 记 A=机 器 处 于 正 常 状 态(zhungti)B=生产出的一件产品为不合格品AB0.750.250.10.7此时机器处于不正常状态的概率(gil)为0.7，应检修。第 15页/共 85页第十六页，共86页。17注.已知某事件已发生(fshng)，求另一事件的概率则为求条件概率。.已知每种原因出现的概率(gil)及每种原因导致某结果出现的条件概率(gil)，则由全概率(gil)公式，可求得某结果出现的概率(gil)P(B)(非条件概率(gil)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因

9、引起的(后验,条件)概率(gil)。.应用全概率公式(gngsh)和Bayes公式(gngsh)时要注意其条件(原因两两不相容)。第 16页/共 85页第十七页，共86页。18第 17页/共 85页第十八页，共86页。19关于条件概率(gil)的问题第 18页/共 85页第十九页，共86页。20例 从混有5张假钞的20张百元钞票(chopio)中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2 张都是假钞的概率.解 令 A 表示(biosh)“从两张中任抽一张，结果是假钞”.例2C 表示(biosh)“2 张至少有一张是假钞”第 19页/共 85页第二十页，共86页。21第 20页/共

10、 85页第二十一页，共86页。22女孩问题:设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇,假定(jidng)有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步,若这个孩子是女孩,问她的两个孩子都是女孩的概率是多少?.第 21页/共 85页第二十二页，共86页。23第 22页/共 85页第二十三页，共86页。24第 23页/共 85页第二十四页，共86页。25一个一个(y(y)教授都容易回答错误的问题的解答教授都容易回答错误的问题的解答第 24页/共 85页第二十五页，共86页。26一、什么(shn me)是贝叶斯推断第 25页/共 85页第二十六页，共86页。27第 26页/共 85页第二十七页，共86页。28第

11、27页/共 85页第二十八页，共86页。29第 28页/共 85页第二十九页，共86页。30第 29页/共 85页第三十页，共86页。31第 30页/共 85页第三十一页，共86页。32第 31页/共 85页第三十二页，共86页。33什么(shn me)是贝叶斯过滤器？第 32页/共 85页第三十三页，共86页。34第 33页/共 85页第三十四页，共86页。35第 34页/共 85页第三十五页，共86页。36第 35页/共 85页第三十六页，共86页。37第 36页/共 85页第三十七页，共86页。38第 37页/共 85页第三十八页，共86页。39五、事件 五、事件(shjin)(shji

12、n)的独立性 的独立性引例(yn l)E传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A=前99位查没病，B=第100位有病定义1 若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观意义(yy)判断独立性，再反用定义)第 38页/共 85页第三十九页，共86页。40定理 定理 下面四个等式 下面四个等式(dngsh)(dngsh)是等价的：是等价的：证明(zhngmng)(1)(2)类似(li s)地可证:(2)(3)，(3)(4)，(4)(1)，第 39页/共 85页第四十页，共86页。41解=定义 定义2 2 称 称A A、B B、C C相互独立 相互独立(dl)(d

13、l)，是指下面等式成立：，是指下面等式成立：例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色(bis)，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A=抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片上出现白色(bis)，C=抽出的卡片上出现黑色，试分析A、B、C的独立性。A=，B=，C=但即A、B、C两两独立(dl)，但A、B、C不相互独立(dl)的。对比乘法公式看其意义第 40页/共 85页第四十一页，共86页。42一般 一般(ybn)(ybn)称 称A1,A2,An A1,A2,An相互独立，是指下面等式成立：相互独立，是指下面等式成立：P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1)P(A

14、i2)P(Aik)，1i1 i2 ikn，2kn例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率(gil)是p=0.004，求他独立地射击n次能命中目标(至少一次)的概率(gil)解记Ai=第i次命中(mngzhng)目标，i=1,2,n，A=射击n次能命中目标至少一次，则独立地说明 小概率事件也不能忽略第 41页/共 85页第四十二页，共86页。43注：互不相容与相互独立是两个不同(b tn)的概念相互(xingh)独立：互不相容(xin rn)：(一般二者不同时成立)相互独立的性质：若n个事件相互独立，则其中任意m个事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件以后，所得的n个事件也相互

15、独立。练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。是非题1 若P(A)=0，则A=；若P(A)=1，则A=。(如几何概型中任一基本事件概率为0)第 42页/共 85页第四十三页，共86页。44练习2 讨论互不相容与相互(xingh)独立的关系。解(1)若P(A)P(B)0,则二者不可能(knng)同时成立.因为(a)若A、B互不相容(xin rn)

16、，即AB=，则0=P(AB)P(A)P(B)，即A、B 不相互独立；(b)若A、B 相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)0，则AB，即A、B相容。(2)若P(A)P(B)=0,则二者有可能同时成立.因为A、B互不相容，即AB=，则二者可同时成立此时P(AB)=P(A)P(B)=0AB=，除非已知即A、B必相互独立，但第 43页/共 85页第四十四页，共86页。45练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有(zhyu)长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都

17、是0.3。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可)解 记Bi为长机与i架僚机到达目标(mbio)上空，i=0,1,2，A为目标(mbio)被炸毁。则P(B02=0.032P(B1)=2*0.82*0.2=0.256,P(B2)=0.83=0.512故=0.4765B0 B1 B2P(A/Bi)AP(Bi)P(A/B0)=0.3或P(A/B2)=10.73=0.657P(A/B1)=10.72=0.51第 44页/共 85页第四十五页，共86页。46随机事件第一章小结 第一章小结(xi(xi oji)oji)随机(su j)试验样 本 空 间=所 有(suyu)关系：，运算：，AB，A-B=A-A

18、B独立 P(AB)=P(A)P(B)公式 P(AB)=P(A)P(B/A)P(A/B)=P(A)公理化定义1.P(A)02.3.条件概率全概率公式P(B)=i=1nP(Ai)P(B/Ai)Bayes公式统计古典几何概率第 45页/共 85页第四十六页，共86页。47概率论与数理统计(sh l tn j)作业(zuy)交两面内容全学的页码第 46页/共 85页第四十七页，共86页。48 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选

19、择了一扇门，假设是一号(y ho)门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号吗？一个教授都容易回答错误(cuw)的概率问题第 47页/共 85页第四十八页，共86页。491.4 1.4 条件概率条件概率(gil(gil)与事件的独立性与事件的独立性一、条件一、条件(tiojin)(tiojin)概率概率1问题(wnt)E产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。Ai=第 i 次抽到次品,i=1,2，放回抽样时，不放回抽样时，P(A2)P(Ai)P(A2)第 48页/共 85页第四十九页，共86页。502 2定义 定义(dngy)(dngy)

20、为 在 B发 生 的 条 件(tiojin)下，A发生的条件(tiojin)概率。注2条件(tiojin)概率满足三条公理及概率的其它性质。注1P(A/B)是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB后计算概率，P(A/B)本质上是一个无条件概率；ABAB设A、B为两随机事件，且P(B)0，则称第 49页/共 85页第五十页，共86页。51 例1 设某地区(dq)历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区(dq)已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解 记A=30年内无特大洪水(hngshu)，

21、B=未来10年内有特大洪水(hngshu)，则二、乘法(chngf)公式A=40年内无特大洪水第 50页/共 85页第五十一页，共86页。52例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换(jiohun)。若经M次交换(jiohun)后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？解 设第 51页/共 85页第五十二页，共86页。53 例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时(tngsh)放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(

22、A2)。解问题：A3由哪几个原因(yunyn)引起？第 52页/共 85页第五十三页，共86页。54三、全概率 三、全概率(gil(gil)公式 公式 B则对任何(rnh)事件B有证A1 A2 AnBA1BA2BAi.BAn 设A1,A2,An 是对的一个划分：注意(zh y)：解题时先画因果关系图(多因一果)。A1 Ai AnP(B/Ai)BP(Ai)例1.17(P10：矿工逃生问题)。BA1第 53页/共 85页第五十四页，共86页。55 例 从一副不含有大小(dxio)王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。第 54页/共 85页第五十五页，共86页。56 例 从一副不含有

23、大小王的扑克牌中不妨会的抽取(chu q)两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。第 55页/共 85页第五十六页，共86页。57例 2005从数1,2,3,4中任取一个(y),记为X,再从1,X中任取一个(y),记为Y,则.解:试验分为(fn wi)两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件.第 56页/共 85页第五十七页，共86页。58例 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个(lin)脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验(shyn)分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回,放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设

24、为A,它与第1阶段脱落的情况有关.则 代入即得 用B表示(biosh)脱落的两个字母相同.第 57页/共 85页第五十八页，共86页。59赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢(sh yn)1 元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n 元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率.第 58页/共 85页第五十九页，共86页。60可以(ky)解得第 59页/共 85页第六十页，共86页。61四、四、Bayes Bayes公式 公式(gngsh)(gngsh)P(Ai)P(Ai/B)A1 A2 AnP(B/Ai)B 设 A1,A2,An是对 的一个划分，则P(Ai)先验概率 P(Ai/B

25、)后验概率(gil)BB证明(zhngmng)第 60页/共 85页第六十一页，共86页。62 例4 一台机床正常(zhngchng)时，产品的合格率为90%，非正常(zhngchng)时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正常(zhngchng)的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常(zhngchng)，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常(zhngchng)状态的概率是多少？解 记A=机器处于正常状态B=生产(shngchn)出的一件产品为不合格品AB0.750.250.1 0.7此时机器处于不正常(zhngchng)状态的概率为0.7，应

26、检修。第 61页/共 85页第六十二页，共86页。63一个一个(y(y)教授都容易回答错误的问题的解答教授都容易回答错误的问题的解答第 62页/共 85页第六十三页，共86页。64一、什么(shn me)是贝叶斯推断第 63页/共 85页第六十四页，共86页。65第 64页/共 85页第六十五页，共86页。66第 65页/共 85页第六十六页，共86页。67第 66页/共 85页第六十七页，共86页。68第 67页/共 85页第六十八页，共86页。69第 68页/共 85页第六十九页，共86页。70第 69页/共 85页第七十页，共86页。71什么(shn me)是贝叶斯过滤器？第 70页/共

27、 85页第七十一页，共86页。72第 71页/共 85页第七十二页，共86页。73第 72页/共 85页第七十三页，共86页。74第 73页/共 85页第七十四页，共86页。75第 74页/共 85页第七十五页，共86页。76第 75页/共 85页第七十六页，共86页。77注.已知某事件已发生(fshng)，求另一事件的概率则为求条件概率。.已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件(tiojin)概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率P(B)(非条件(tiojin)概率)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因引起的(后验,条件(tiojin)概率。.应用(yngyng)全

28、概率公式和Bayes公式时要注意其条件(原因两两不相容)。第 76页/共 85页第七十七页，共86页。78五、事件 五、事件(shjin)(shjin)的独立性 的独立性引例(yn l)E传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A=前99位查没病，B=第100位有病定义1 若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观(zhgun)意义判断独立性，再反用定义)第 77页/共 85页第七十八页，共86页。79定理 定理(dngl(dngl)下面四个等式是等价的：下面四个等式是等价的：证明(zhngmng)(1)(2)类似(li s)地可证:(2)(3)，(3)(4

29、)，(4)(1)，第 78页/共 85页第七十九页，共86页。80解=定义 定义2 2 称 称A A、B B、C C相互独立，是指下面等式 相互独立，是指下面等式(dngsh)(dngsh)成立：成立：例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A=抽出的卡片上出现(chxin)红色，B=抽出的卡片上出现(chxin)白色，C=抽出的卡片上出现(chxin)黑色，试分析A、B、C的独立性。A=，B=，C=但即A、B、C两两独立(dl)，但A、B、C不相互独立(dl)的。对比乘法公式看其意义第 79页/共 85页第八十页，共86页。

30、81一般称 一般称A1,A2,An A1,A2,An相互独立 相互独立(dl)(dl)，是指下面等式成立：，是指下面等式成立：P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)，1i1 i2 ikn，2kn例6 设某人玩电子(dinz)射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004，求他独立地射击n次能命中目标(至少一次)的概率解 记Ai=第i次命中(mngzhng)目标，i=1,2,n，A=射击n次能命中目标至少一次，则独立地说明 小概率事件也不能忽略第 80页/共 85页第八十一页，共86页。82注：互不相容(xin rn)与相互独立是两个不同的概念相互(xingh)独立

31、：互不相容(xin rn)：(一般二者不同时成立)相互独立的性质：若n个事件相互独立，则其中任意m个事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件以后，所得的n个事件也相互独立。练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。是非题1 若P(A)=0，则A=；若P(A)=1，则A=。(如几何概型中任一基本事件概率为0)第 81页/共 85页第八十二页，

32、共86页。83练习2 讨论互不相容与相互独立(dl)的关系。解(1)若P(A)P(B)0,则二者不可能同时成立(chngl).因为(a)若A、B互不相容(xin rn)，即AB=，则0=P(AB)P(A)P(B)，即A、B 不相互独立；(b)若A、B 相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)0，则AB，即A、B相容。(2)若P(A)P(B)=0,则二者有可能同时成立.因为A、B互不相容，即AB=，则二者可同时成立此时P(AB)=P(A)P(B)=0AB=，除非已知 即A、B必相互独立，但第 82页/共 85页第八十三页，共86页。84练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只

33、有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机(fij)被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机(fij)将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可)解 记Bi为长机与i架僚机到达(dod)目标上空，i=0,1,2，A为目标被炸毁。则P(B02=0.032P(B1)=2*0.82*0.2=0.256,P(B2)=0.83=0.512故=0.4765B0 B1 B2P(A/Bi)AP(Bi)P(A/B0)=0.3或P(A/B2)=10.73=0.657P(A/B1)=10.72=0.51第 83页/共 85页第八十四页，共86页。85随机事件第一章小结 第一章小结(xi(xi oji)oji)随机(su j)试验样 本 空 间=所 有(suyu)关系：，运算：，AB，A-B=A-AB独立 P(AB)=P(A)P(B)公式 P(AB)=P(A)P(B/A)P(A/B)=P(A)公理化定义1.P(A)02.3.条件概率全概率公式P(B)=i=1nP(Ai)P(B/Ai)Bayes公式统计古典几何概率第 84页/共 85页第八十五页，共86页。86感谢您的观看(gunkn)。第 85页/共 85页第八十六页，共86页。