概率论总复习知识总结学习教案.pptx

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1、会计学 1概率论总复习(fx)知识总结第一页，共76页。随机(su j)试验可能(knng)结果基本(jbn)事件Ai不含任何eiAi任何组合事件AS不可能必然完备事件组Ai等概完备事件组贝努利试验独立试验 概型只有两个可能结果n次重复等概概型条件：n次试验中 A发生k次B由其中m个事件组成公式（一）概念之间的关系一、随机变量与概率第1页/共75页第二页，共76页。1、运算(yn sun)关系包含(bohn)：A 则 B 相等(xingdng)：A=B和：至少有一个发 生 AUB积：同时发生 ABA、B不相容A、B 对立 记为差：ABB=SA（二）事件的关系第2页/共75页第三页，共76页。除

2、与一般代数式运算(yn sun)相同的法则以外，注意1）对偶(du u)律 2）其他(qt)3）独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求个等式成立。（三）解题方法1、一般概率1）利用两种概型 10 古典20 n重贝努利概型2）利用事件间的运算2、运算法则、运算法则第3页/共75页第四页，共76页。化为事件化为事件(shjin)(shjin)的和的和利用对立(dul)事件A、B相互(xingh)独立分解到完备组中：全概公式利用随机变量及其分布计算。一般情况化为事件的积一般情况是完备组，第4页/共75页第五页，共76页。2）用乘法(chngf)公式1）在缩减(sujin)完备组中计算

3、，方法同 1。3）用贝叶斯公式(gngsh)2、条件概率第5页/共75页第六页，共76页。一实数值(shz)X(ei),（一）随机变量(su j bin lin)的定义对于随机试验(shyn)E的每一个可能结果ei,的变量，则称实数变量X(ei)为一个随机变量，简记为X。注意：1、X 是定义在随机试验结果的集合 ei 上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的.2、在一定的试验下，二、随机变量及其分布都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取 X 所代表的具体意义。3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌，并使用分析的工具。第6页/共75页第七页，共76页。1、离散(ls

4、n)型随机变量随机变量(su j bin lin)X 的取值可以一一列举（有限或无限）定义(dngy)概率分布（分布列）表示法称X 为离散型随机变量。（二）随机变量的分布及性质公式法列表法图示法性质第7页/共75页第八页，共76页。定 义(dngy)对于随机变量(su j bin lin)X，若存在非负函数使对任意(rny)实数则称X为连续型随机变量，的密度.都有p(x)0 x1其图形：(2)归一性(1)非负性密度函数的性质2、连续性随机变量、连续性随机变量第8页/共75页第九页，共76页。3、分布(fnb)函数为X的分布(fnb)函数.记作设 X是一个(y)随机变量，称定义1分布函数的性质

5、1、单调不减性：3、右连续性：对任意实数 x，2、归一 性：若 x1x2,则 F(x1)F(x2);对任意实数x，0 F(x)1，且第9页/共75页第十页，共76页。1）分布(fnb)函数的值表示(biosh)了X落在2）离散(lsn)型：若分布函数的几点说明是一个普通的函数，在 处内的概率。由于是X 取 的诸值的概率之和，故又称 为累积概率函数.图形特点：是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。第10页/共75页第十一页，共76页。3）X为连续性随机变量(su j bin lin)p(x)0 x在p(x)x0第11页/共75页第十二页，共76页。3）把Y的分布(fnb)用表（离散型）或Y的密度（连续性

6、）1、问题(wnt)：若之间的事件(shjin)等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量，表述出来。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法44、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布是 x的函数。研究1）由2）由 之间的事件的关系再求之间的分布3、具体讨论第12页/共75页第十三页，共76页。则当若若XX的分布的分布(fnb)(fnb)列列当则1）离散(lsn)型第13页/共75页第十四页，共76页。其他(qt)及有关(yugun)函数表述出来。求其为等价(dngji)的事件将用利用求出Y的密度函数。22）连续性连续性设 X是一个取值于区间 具有概率密度的连续型随机变量，第14页/共75页

7、第十五页，共76页。性质(xngzh)：（一）二维随机变量（X,Y)的分布(fnb)函数定义(dngy)对于任意实数二元函数称为二维随机变量（X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y 三、二维随机变量及其分布三、二维随机变量及其分布2.且是变量 的不减函数，即第15页/共75页第十六页，共76页。（二）离散(lsn)型的所有(suyu)可能取值为设则和Y的联合(linh)分布列。称为二维随机变量的分布列，或随机变量X（非负性）（归一性）第16页/共75页第十七页，共76页。二维离散型随机变量(su j bin lin)的联合分布列X Y y1 y2 yj p11 p12.P1j.p21

8、p22.P2j.pi1 pi2.Pij.x1 x2xi关于Y的边缘分布关于X的边缘分布第17页/共75页第十八页，共76页。（X,Y)X,Y)的边缘的边缘(binyun)(binyun)分布分布设的分布(fnb)列为:则关于的边缘分布列为关于 的边缘分布列为：分别(fnbi)记第18页/共75页第十九页，共76页。(三）连续型总有 的联合(linh)概率密度。其具有以下(yxi)性质：定义(dngy)4 设二维随机变量的分布函数为，对任意实数为的概率密度，或称为随机变量 和对于非负可积的函数（非负性）（归一性）第19页/共75页第二十页，共76页。为关于(guny)X 和Y 的边缘概率密度。定

9、理(dngl)设 是 的联合密度函数，则分别(fnbi)是边缘概率密度 第20页/共75页第二十一页，共76页。均有两个两个(li(linn)随机变量的独立性随机变量的独立性若二维随机变量(su j bin lin)对任意(rny)的实数成立，则称随机变量与是相互独立的。若记且成立，可见X，Y 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X，Y 相互独立的办法：第21页/共75页第二十二页，共76页。其的概率密度为 的边缘概率密度分别为第22页/共75页第二十三页，共76页。四、随机变量的数字四、随机变量的数字(shz)(shz)特特征征（一）数学(shxu)期望 E X定义(dngy

10、)X为离散型X为连续型若X为离散型X为连续型X为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为第23页/共75页第二十四页，共76页。若（X,Y)有联合(linh)密度第24页/共75页第二十五页，共76页。期望(qwng)的性质其中(qzhng)C 为常数。2.对于(duy)任何常数 及 b.3.若相互独立，则第25页/共75页第二十六页，共76页。定义(dngy)计算公式（二）方差(fn ch)X为离散(lsn)型其分布列为X为连续型其密度函数为X为离散型X为连续型第26页/共75页第二十七页，共76页。其中(qzhng)k 为常数。3.对于(duy)任何常数及 b.相互(xingh)独立，则方差

11、的性质第27页/共75页第二十八页，共76页。均匀分布泊松分布(fnb)二项分布0-1分布(fnb)参数(cnsh)范围方差 均值概率分布名称(四四)常用的六个分布指数分布第28页/共75页第二十九页，共76页。标准(biozhn)正态分布参数(cnsh)范围方差(fn ch)均值概率分布名称(四)常用的六个分布常用的六个分布正态分布任意第29页/共75页第三十页，共76页。称为(chn wi)标准化的随机变量，有2、正态分布随机变量(su j bin lin)函数的标准化.表可查。注意(zh y)第30页/共75页第三十一页，共76页。COV(X,Y)=E(XE X)(YE Y)若随机变量(

12、su j bin lin)X,Y 为离散型.若随机变量(su j bin lin)X,Y 为连续型.协方差协方差相关系数COV(X,Y)E(XY)EXEY一般(ybn)计算公式第31页/共75页第三十二页，共76页。COV(X,Y)E(XY)EXEY可见(kjin)，存在(cnzi)的必要条件为COV(X,Y)0.即定义(dngy)：若可见，若X与Y 独立，称X与Y不相关。D(X士Y)=D X+DY士2COV(X,Y)D(X士Y)=D X+DY 即第32页/共75页第三十三页，共76页。1.COV(X,X)E(X-EX)2=DX；3.COV(aX,bY)ab COV(X,Y),a,b是常数(c

13、hngsh)；4.COV(X1+X2，Y)COV(X1,Y)+COV(X2,Y).二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质(xngzh)(xngzh)2.COV(X,Y)COV(Y,X)；COV(X,Y)=E(XE X)(YE Y)5.第33页/共75页第三十四页，共76页。2）3）4）1）相关系数则称X与Y不相关(xinggun)；四个等价(dngji)命题：第34页/共75页第三十五页，共76页。或（一）切比雪夫不等式五、大数定理与中心(zhngxn)极限定理设对任意(rny)不等式成立(chngl)，则称此式为切比雪夫不等式切比雪夫大数定律独立同分布下的大数定律贝努里大数定律

14、第35页/共75页第三十六页，共76页。之和总可以(ky)近似服从正态分布.（二）独立同分布（二）独立同分布(fnb)(fnb)下的中心极限定理下的中心极限定理设X1,X2,Xn,相互(xingh)独立，且服从同一分布，具有相同的期望和方差则此定理表明，无论原来服从什么分布，当n 充分大时，即第36页/共75页第三十七页，共76页。（三）棣莫佛拉普拉斯中心(zhngxn)极限定理设随机变量(su j bin lin)则对任意的，有此定理的常用(chn yn)公式有：第37页/共75页第三十八页，共76页。统计(tngj)部分第六章1.卡方分布、t分布、F分布的定义(dngy)及性质；2.抽样分

15、布(fnb)定理：第38页/共75页第三十九页，共76页。1.点估计量的求解方法(fngf)2.（1）矩法；（2）极大似然法；3.2.无偏性 3.置信区间 则关于参数 的置信度为0.95的置信区间：或则关于参数 的置信度为0.95的置信区间：统计(tngj)部分第七章第39页/共75页第四十页，共76页。1.假设检验的思想2.（1）原假设与备选(bi xun)假设；（2）的意义；2.假设检验 统计(tngj)部分第八章1）U检验法；2）t 检验法；3）卡方检验法第40页/共75页第四十一页，共76页。概率部分(b fen)第一章 典型题目例 已知则第41页/共75页第四十二页，共76页。第二章

16、9/161/8第42页/共75页第四十三页，共76页。例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差(ch chi)的概率 为80%，若甲出差(ch chi)，则乙出差(ch chi)的概率为20%；若甲不出差(ch chi)，则乙出差(ch chi)的概率为90%。(1)求近期乙出差(ch chi)的概率；(2)若已知乙近期出差(ch chi)在外，求甲出差(ch chi)的概率。44Bayes公式(gngsh)全概率(gil)公式解：设A=甲出差，B=乙出差第43页/共75页第四十四页，共76页。45 例 例3 3：设：设X X的概率密度为 的概率密度为(1)(1)求常数 求常数(chngsh)c

17、(chngsh)c的值；的值；(2)(2)写出 写出X X的概率分布函数；的概率分布函数；(3)(3)要使 要使 求 求k k的值。的值。解：解：第44页/共75页第四十五页，共76页。第二章0.0511/2第45页/共75页第四十六页，共76页。第二章第46页/共75页第四十七页，共76页。48例：例：解：例：解：第47页/共75页第四十八页，共76页。例 设随机变量(su j bin lin)的概率密度为（1）确定(qudng)常数；（2）求；（3）求；（4）求第48页/共75页第四十九页，共76页。解：（1）由 得 所以：（2）第49页/共75页第五十页，共76页。（3）（4）在 的区域

18、：上作直线，并记则第50页/共75页第五十一页，共76页。例3思路(sl)第51页/共75页第五十二页，共76页。解第52页/共75页第五十三页，共76页。第53页/共75页第五十四页，共76页。第54页/共75页第五十五页，共76页。从而(cng r)第55页/共75页第五十六页，共76页。例4第56页/共75页第五十七页，共76页。解第57页/共75页第五十八页，共76页。第58页/共75页第五十九页，共76页。第59页/共75页第六十页，共76页。第60页/共75页第六十一页，共76页。从而(cng r)有第61页/共75页第六十二页，共76页。第62页/共75页第六十三页，共76页。故

19、得从而(cng r)有:第63页/共75页第六十四页，共76页。因此(ync)第64页/共75页第六十五页，共76页。第65页/共75页第六十六页，共76页。解 例5第66页/共75页第六十七页，共76页。第67页/共75页第六十八页，共76页。解根据(gnj)矩估计法,补充补充(bchng)2(bchng)2第68页/共75页第六十九页，共76页。解补充(bchng)3第69页/共75页第七十页，共76页。解补充(bchng)4 第70页/共75页第七十一页，共76页。这一估计量与矩估计量是相同(xin tn)的.第71页/共75页第七十二页，共76页。解例2第72页/共75页第七十三页，共76页。二、典型(dinxng)例题解是否可以认为(rnwi)这次考试全体考生的平均成绩为70需检验(jinyn)假设:例4设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,分?并给出检验过程.第73页/共75页第七十四页，共76页。查表8.6例5的 检验计算表，知拒绝域为第74页/共75页第七十五页，共76页。感谢您的观看(gunkn)。第75页/共75页第七十六页，共76页。