第三章--复变函数的积分课件.ppt

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1、第三章 复变函数的积分 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 3.1复变函数积分的概念复变函数积分的概念3.2柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理3.3复合闭路定理复合闭路定理3.4原函数与不定积分原函数与不定积分3.5柯西积分公式柯西积分公式3.6解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数3.7调和函数调和函数第三章 复变函数的积分 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1 积分的定义积分的定义 定义定义 设函数f(z)定义在区域D内，C为D内起点为A终点为B的一条光滑有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0,z1,z2，,zk1,zk，,zn=B在每个弧段 (k=1，2，n

2、)上任意取一点k(见图3.1)，作和式第三章 复变函数的积分 其中,zk=zkzk1。记sk为弧段 的长度，。当n，且0时，若不论对C的分法及k的取法如何，Sn有唯一极限，则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记作第三章 复变函数的积分 若C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作显然，当C是x轴上的区间axb，而f(z)=u(x)时，此积分定义与一元实变函数的定积分定义相同。第三章 复变函数的积分 图3.1第三章 复变函数的积分 2 积分的计算 （1）若f(z)在区间D内处处连续，令f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数，dz=dx+idy，则容

3、易得到积分计算公式:也就是说，复变函数的积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。(3.1.2)第三章 复变函数的积分（2）设光滑曲线C由如下参数方程给出：z=z(t)=x(t)+iy(t),t(3.1.3)参数t增加的方向为C的正方向，及对应于C的起点A及终点B，并且有当t0，存在一个()0，当|zz0|时，|f(z)f(z0)|。设以z0为中心、R为半径的圆周K|z=z0|=R全部在C的内部，且R1。解解 函数在z=i处不解析，且不解析点在C内。在C内分别以z=i为中心作正向圆周C1，C2(见图3.12)。第三章 复变函数的积分 图3.12第三章 复变函数的积分 f(z)在由C，C1和C

4、2所围成的区域内是解析的。由复合闭路定理，有由高阶导数公式可得第三章 复变函数的积分 同样可得所以第三章 复变函数的积分 3.7 调调 和和 函函 数数定义定义 若二元实变函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯(Laplace)方程(3.7.1)则称j(x,y)为区域D内的调和函数。第三章 复变函数的积分 定理定理 任何在区域D内解析的函数，其实部和虚部都是D内的调和函数。证明证明 设f(z)=u+iy为D内的一个解析函数，则满足柯西-黎曼方程从而有第三章 复变函数的积分 由高阶导数定理知，u与v具有任意阶的连续偏导数，故有所以有同理有因此u与v都是调和函数。第三章 复变函数的积分 例例1 证明u(x,y)=x2y2为调和函数，并求一解析函数f(z)=u+iv，使得f(0)=1。解解 所以,故u(x,y)为调和函数。第三章 复变函数的积分 由 ，得从而有 由 ，得2y+g(x)=2y第三章 复变函数的积分 故g(x)=0，g(x)=c。因此v(x,y)=2xy+c，从而得到一个解析函数f(z)=u+iv=x2y2+i(2xy+c)也可以写成 f(z)=z2+ic由f(0)=1，得c=i，所以所求的解析函数为f(z)=z2+1