第二章二体问题资料课件.ppt

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1、第二章第二章二体问题二体问题本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述，以及二体问题的运动方程和方程的解。重点：重点：1.二体问题的定义；2.卫星运动的轨道参数；3.二体问题基本运动方程；4.二体问题基本运动方程的解。难点：难点：1怎样理解二体问题基本运动方程；2怎样得到二体问题基本运动方程的解。主要内容主要内容2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律2.3 2.3 二体问题的运动方程二体问题的运动方程2.4 2.4 轨道根数轨道根数2.5 2.5 人卫轨道摄动因素简介人卫轨道摄动因素简介2.2.引言引言一、人卫轨道理论概述一、人卫轨道理论概述v 内容：

2、研究人造地球卫星的运动规律内容：研究人造地球卫星的运动规律v 特点特点:需要考虑地球引力的高阶项的影响需要考虑地球引力的高阶项的影响 （即不能把地球当作质点，也不能把地（即不能把地球当作质点，也不能把地 球当作均质圆球）需要同时考虑保守力球当作均质圆球）需要同时考虑保守力 和非保守力（耗和非保守力（耗 散力）的作用散力）的作用 卫星在空间运行的轨迹称为卫星在空间运行的轨迹称为轨道轨道，描述卫星轨道位，描述卫星轨道位置和状态的参数称为置和状态的参数称为轨道参数轨道参数。需要采用不同于研究自然天体的新理论、新需要采用不同于研究自然天体的新理论、新方法（天体力学中的原有公式由于收敛性和精度方法（天体

3、力学中的原有公式由于收敛性和精度的原因而不适用于人卫轨道的研究）的原因而不适用于人卫轨道的研究）研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星回收等问题回收等问题 卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂，汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂，难以用简单而精确的数学模型加以描述。难以用简单而精确的数学模型加以描述。为了研

4、究工作和实际应用的方便，通常把作用于为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是一类是假设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中假设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心），称为中心力心），称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和，决定着卫星运动的基本规律和特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实际轨道的基础。分析卫星实际轨道的基础。另一类是摄动力或非中另一类是摄动力或非中心力心力，包括地球非球形对称的作用力、日月引力、，包括地球非球形对称的作用力、日月

5、引力、大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小也随时间而改变。道，同时偏离量的大小也随时间而改变。在摄动力的作用下的卫星运动称为在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动受摄运动，相应的卫星轨道称为相应的卫星轨道称为受摄轨道受摄轨道。二、作用在卫星上的外力二、作用在卫星上的外力v 地球引力地球引力地球引力地球引力(1)(1)地球的球形引力或称地球中心力地球的球形引力或称地球中心力地球引力地球引力(2)(2)地球的非球形引力或称地球形状地球的非球

6、形引力或称地球形状摄动力摄动力v 日、月及其它天体的引力v 大气阻力v 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）v 太阳光压 在各种作用力对卫星运行轨道的影响在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，地球引力场的影响为主，其它作用力中，地球引力场的影响为主，其它作用力的影响相对要小的多。若假设地球引力场的影响相对要小的多。若假设地球引力场的影响为的影响为1，其它引力场的影响均小于，其它引力场的影响均小于10-5。三、二体问题与人卫正常轨道三、二体问题与人卫正常轨道v 二体问题二体问题 研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问题题v 摄动力摄动力 除地球引力除地球

7、引力(1)(1)外，其它作用在卫星上的力外，其它作用在卫星上的力v 人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道:地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用v 人卫正常轨道的特点:运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置四、轨道摄动四、轨道摄动v 人卫真实轨道 除了地球引力(1)外，卫星还受到地球引力(2)以及其它摄动力的作用。卫星在所有这些力 的作用下的轨道，称为人卫真实轨道。v轨道摄动 卫星的真实轨道与正常轨道之间的差异，称 为轨道摄动。五、轨道理论的分类五、轨道理论的分类v 人卫正常轨道理论确定人造卫星正常

8、轨道的形状、大小与空间定向以及卫星在轨道上的位置的一整套方法及相关理论，称为人卫正常轨道理论。v 人卫摄动轨道理论解决人造卫星轨道摄动问题的一整套方法和相应的理论，称为人卫摄动轨道理论。v 人卫正常轨道与人卫真实轨道之间的关系综述综述2.2 2.2 开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律开普勒（Johannes Kepler）国籍:德国生卒日期:1571.12.27 1630.11.15主要成就:发现了行星运动三定律一一.卫星运动的开普勒定律卫星运动的开普勒定律（1）开普勒第一定律）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦

9、点与地球质心重合。此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星的为卫星的地心距离，地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心率；为开普勒椭圆的偏心率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。置，是时间的函数。abMm近地点远地点f（2）开普勒第二定律：）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位卫星的地心向径在单位时间

10、内所扫过的面积相等。时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆轨表明卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处速道上的运行速度是不断变化的，在近地点处速度最大，在远地点处速度最小。度最大，在远地点处速度最小。近地点地心远地点（3）开普勒第三定律：）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为一常量，椭圆长半径的立方之比为一常量，等于等于GM的倒的倒数。数。假设卫星运动的平均角速度为假设卫星运动的平均角速度为n，则，则n=2/T，可得，可得当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也随之确定，且保持不

11、变。速度也随之确定，且保持不变。2.2.二体问题的运动方程二体问题的运动方程 在图在图3-13-1中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知，中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知，地球地球O O作用于卫星作用于卫星S S上的引力上的引力F F为：为：式中：G万有引力常数，G=(66724.1)10-14 Nm2/kg2；，m地球和卫星的质量；r卫星的在轨位置矢量。由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运动方程：动方程：二体问题的运动方程二体问题的运动方程设设 为卫星为卫星S S相对于相对于O O的加速度，则的加速度，则:由于由于M M远大于远大于m m，通常不考虑

12、，通常不考虑m m的影响，则有：的影响，则有：取地球引力常数取地球引力常数=GM=1=GM=1，此时（，此时（3-43-4）式可写）式可写成为：成为：二体问题的运动方程二体问题的运动方程 设以设以O O为原点的直角坐标系为为原点的直角坐标系为O-XYZO-XYZ，S S点的坐标点的坐标为（为（X X，Y Y，Z Z），则卫星），则卫星S S的地心向径的地心向径r=r=（X X，Y Y，Z Z），加速度），加速度 ，代入（，代入（3-43-4）得）得二体问题的运动方程：二体问题的运动方程：左边左边(3-6)(3-6)方程解的一般形式为：方程解的一般形式为：二体问题微分方程的解二体问题微分方程的解

13、vv 卫星运动的轨道平面方程卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（直接由微分方程（3-63-6）求积分，可得卫星运动）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：的轨道平面方程：式中，式中，X,Y,ZX,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标是卫星在地心天球坐标系中的坐标vv 卫星运动的轨道方程卫星运动的轨道方程 卫星运动的轨道方程为：卫星运动的轨道方程为：由于由于 ，所以（，所以（3-103-10）式可以真）式可以真 近点角近点角V V表示：表示：另外由二体运动的微分方程可求出常用的表另外由二体运动的微分方程可求出常用的表 示卫星运动速度示卫星运动速度U U的活力积分：的活力积分：vv 用偏近点角

14、用偏近点角E E代替真近点角代替真近点角V V 从表示偏近点角从表示偏近点角E E与真近点角与真近点角V V的关系的图的关系的图3-3-2 2，不难证明，不难证明:另外还可导出另外还可导出V V和和E E的关系：的关系：vv 开普勒方程开普勒方程 设卫星的运动周期为设卫星的运动周期为T T，则卫星平均角速，则卫星平均角速 度为：度为：由此得到开普勒第三定律的数学表达式：由此得到开普勒第三定律的数学表达式：建立轨道坐标系：坐标原点建立轨道坐标系：坐标原点O O在地心，在地心，X X轴轴指向椭圆轨道近地点指向椭圆轨道近地点P P，Y Y轴为轨道椭圆的短轴，轴为轨道椭圆的短轴，Z Z轴为轨道椭圆的法

15、向。在此坐标系下可以得出轴为轨道椭圆的法向。在此坐标系下可以得出著名的开普勒轨道方程：著名的开普勒轨道方程：2.4 2.4 轨道根数轨道根数什么是轨道根数什么是轨道根数 所谓轨道根数即轨道参数，是在人卫轨道理所谓轨道根数即轨道参数，是在人卫轨道理论中用来描述卫星椭圆轨道的形状、大小及其在论中用来描述卫星椭圆轨道的形状、大小及其在空间的指向，及确定任一时刻空间的指向，及确定任一时刻t0t0卫星在轨道上的卫星在轨道上的位置的一组参数。通常采用的是所谓的位置的一组参数。通常采用的是所谓的6 6个开普个开普勒轨道根数。勒轨道根数。即：即：长半径长半径a偏心率偏心率e这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大

16、小。升交点赤经升交点赤经:即地球赤道面上升交点与春分点之间的地心夹角。轨道倾角轨道倾角I:I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定向。近地点角距近地点角距:即在轨道平面上，升交点与近地点之间的地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻t0t0：确定卫星在轨道上的瞬时位置。（该参数可用f代替。f为卫星的真近点角）f f为卫星的真近点角：为卫星的真近点角：为卫星的真近点角：为卫星的真近点角：即轨道平面上卫星与近地点之间的地即轨道平面上卫星与近地点之间的地即轨道平面上卫星与近地点之间的地即轨道平面上卫星与

17、近地点之间的地心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时位置。位置。位置。位置。真近点角真近点角真近点角真近点角f f的计算的计算的计算的计算 在描述卫星无摄运动的在描述卫星无摄运动的在描述卫星无摄运动的在描述卫星无摄运动的6 6个开普勒轨道参数中，只有真近个开普勒轨道参数中，只有真近个开普勒轨道参数中，只有真近个开普勒轨道参数中，只有真近点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算，点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置

18、的计算，点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算，点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算，关键在于计算真近点角。关键在于计算真近点角。关键在于计算真近点角。关键在于计算真近点角。abarmfEa e近地点为了计算真近点角，引入两个辅助参数为了计算真近点角，引入两个辅助参数为了计算真近点角，引入两个辅助参数为了计算真近点角，引入两个辅助参数 EE偏近点角和偏近点角和偏近点角和偏近点角和MM平近点角。平近点角。平近点角。平近点角。MM是一个假设是一个假设是一个假设是一个假设量，当卫星运动的平均角速度为量，当卫星运动的平均角速度为量，当卫星运动的平均角速度为量，当卫星运动的

19、平均角速度为n n，则则则则 M=n(t M=n(t-t-t0 0)，t t0 0为为为为卫星过近地点的时刻，卫星过近地点的时刻，卫星过近地点的时刻，卫星过近地点的时刻，t t为为为为观测卫星观测卫星观测卫星观测卫星时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系：时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系：时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系：时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系：E=E=M+e M+e sinEsinE。由此可得真近点角。由此可得真近点角。由此可得真近点角。由此可得真近点角轨道平面上的特殊点轨道平面上的特殊点近地点与远地点近地点与远地点升交点与降交点升交点与降交点通常，卫星轨道与赤通

20、常，卫星轨道与赤道平面有道平面有2 2个交点。当个交点。当卫星从赤道平面以下卫星从赤道平面以下（南半球）穿过赤道（南半球）穿过赤道平面进入北半球的交平面进入北半球的交点，称为升交点。反点，称为升交点。反之，则称为降交点。之，则称为降交点。开普勒轨道根数开普勒轨道根数(1)(1)升交点赤经升交点赤经定义：升交点的赤定义：升交点的赤经经轨道倾角轨道倾角i定义：在升交点处定义：在升交点处轨道正方向（卫星轨道正方向（卫星运动方向）与赤道运动方向）与赤道正方向（赤经增加正方向（赤经增加方向）之间的夹角方向）之间的夹角。长半径长半径a定义：轨道长轴的定义：轨道长轴的一半，也称作长半一半，也称作长半轴或半长

21、轴轴或半长轴偏心率偏心率e定义：定义：近地点角距近地点角距定义：从升交点的定义：从升交点的地心矢径起算，逆地心矢径起算，逆时针方向（从时针方向（从 正正方向看）旋转至近方向看）旋转至近地点的地心矢径所地点的地心矢径所经过的角度。经过的角度。卫星过近地点的卫星过近地点的时刻时刻t0开普勒轨道根数开普勒轨道根数(2)(2)决定轨道形状的参数决定轨道形状的参数决定轨道形状的参数决定轨道形状的参数长半径长半径长半径长半径a a a a偏心率偏心率偏心率偏心率e e e e决定轨道方向的参数决定轨道方向的参数决定轨道方向的参数决定轨道方向的参数升交点赤经升交点赤经升交点赤经升交点赤经轨道倾角轨道倾角轨道

22、倾角轨道倾角i i i i近地点角距近地点角距近地点角距近地点角距决定卫星位置的参数决定卫星位置的参数决定卫星位置的参数决定卫星位置的参数卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻卫星过近地点的时刻t0t0t0t02.5 2.5 人卫轨道摄动因素简介人卫轨道摄动因素简介J2为地球引力场系数为地球引力场系数的二阶带谐系数，的二阶带谐系数，也称动力扁率。也称动力扁率。主要摄动因素主要摄动因素地球形状摄动地球形状摄动日、月引力日、月引力大气阻力摄动大气阻力摄动光压摄动光压摄动潮汐摄动潮汐摄动坐标附加摄动坐标附加摄动.摄动的量级摄动的量级设地球正球引力为设地球正球引力为1 1，则其它摄动的量级约为，则其它摄动的量级约为1 1 10-310-3，其中以，其中以 J2 J2 的影响最大。的影响最大。