考点17、数列求和.pdf

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1、温馨提示：高考高库为W)r d版，请 按 住Ct r l,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点1 7 数列求和2009年考题1.(2009海南宁高考)等比数列 “的前n 项和为s“，且 4%,2%，生成等差数列。若。户，则 n=()(A)7(B)8(C)15(D)16【解析】选 C.；4%,2a2,生成等差数列，/.4%+生=4 a,即4%+%/=q2-Aq+A 0,：.q 2,S4=1 5.2.(2009湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：1 3 6 1O图I1 4 9 16图2他们研究过图1 中的1,3,6,10,.由于这些数

2、能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2 中的1,4,9,16这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378【解析】选 C.由图形可得三角形数构成的数列通项a“=g(+l),同理可得正方形数构成的数列通项代=2,则由勾=/(N+)可排除A、D,又 由%=二(+1)知a“必为奇数，故选C.3.(2009江西高考)数列”,的通项%=2(cos2竽 sin?片)，其前项和为S“，则 S30为()A.470 B.490 C.495 D.510【解析】选 A.由于 谒与-sir?予 以 3 为周期，故S.3=（一手+3 2）+

3、（-+6 2）+（-j +3 0 2）=_（3 I 2）2+（31）2+幻2 =分 稣 A=9 x l x-2 5=47 0 故选 A.火=1 2 2=2 24.（2 0 0 9 江西高考）公差不为零的等差数列 七 的前项和为S.若能是。3 与%的等比中项，8 =3 2,则5。等 于（）A.1 8 B.2 4 C.6 0 D.9 0【解析】选 C.由 =a3a7得（q +3 d 了 =（q +2 d）（q +6 d）得 2 q+3 d =0,再由 S g =8 q+型 4=3 29 0得 2at+7 d=8 则 d =2,at=3,所以 S”）=1 0%+J =6 0 .故选 C.5.（2 0

4、 0 9 重庆高考）设%是公差不为0的等差数列，q=2且吗,即成等比数列，则 4 的前大项和 S,=（）n 7 n 5n n 3 n 2A.+B.+C.+D.n +n4 4 3 3 2 4【解析】选 A.设数列 的公差为d,则根据题意得（2 +2 d）2=2 1,令 仇=,+1（=1,2,），若 数 列 出 有连续四项在集合 53,-2 3/9,3 7,8 2 中，贝 口 64=.【解析】4“有连续四项在集合-54,-2 4,1 8,3 6,8 1 ,四项-2 4,3 6,-54,8 1 成等比数列，3公比为 4=一,6 q=-9答案*97.（2 0 0 9 浙江高考）设等差数列 ,的前项和为

5、S,则$4,Ss-S4,Sl 2-Ss,56 -SQ成等差数列.类比以上结论有：设等比数列 2 的前项积为7；,则（，,上成等比数列.工2【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列他的前项积为7；,则 看，今，牛，子成等比数列。,4，8 ，1 2答案DT4 TS8.（20 0 9 广东高考）已知点（1,1）是函数/（x）=a，（a0,且 的 图 象 上 一 点，等比数列%的前n项和为/()一c，数列也 代 0)的首项为c,且前n项和S,满足S,-5 e=厄+瓦(n2).(1)求数列%和 a 的通项公式;(2)若数列 前n项和为7；,问7；幽 的 最 小 正 整 数n是多少?b也;20091(1

6、 vv解 析(1)Q/(l)=-,/./(x)=-2%=/(1)-C =-c,42=2)-4-/(1)-4 =-,%=3)CH 2)C =W.42 -1又数列 4 成等比数列，at=-=-=-=-c ,所 以c=l;%/3 327又公比4=经=),所以=一2(4N ;a 3 3 3 J 3)(“一5,1=(四一师)(疯+卮)=疯+匹(之2)又2 0,后 0,，河卮=1;数列、用 构成一个首相为1公差为1的等差数列，店=1+(一l)xl=,S =n2当“22,bn=Sn-Sn_t=n2-(n-)2=2 n-;当 n=l 时，bi=C 符合 bn=2n-l.;也二2 -1 (N );14-b力用(

7、2)7；,=+L仇 打 她 她-1-1 pK 4-1x3 3x5 5x7-(2n-l)x(2/i+l)+K+-212n-ln2 +1n 1000公 1000 口.1000 川口 位由T=五ZT丽得心工,满足T”丽 的 取 小 正 整 数 为 叱9.(2009辽宁高考)等比数列 可 的前n项和为%,已知号，S3,S?成等差数列(1)求 的公比q；(2)若4 -。3=3，求s“【解析】(I)依题意有+(a,+aq)=2(aA+aiq +alq2)由于 q。()，故 2q-+q =(I I)由已知可得由-%(-；)2=34 Q-(-)灯 从而又 q/0,从而4=一；.5 分故 q =4.1 0 分2

8、1 0.(20 0 9 山东高考)等比数列%的前n项和为S“，已知对任意的e N+，点，均在函数y =/+%0且匕W l,b,r均为常数)的图像上.(1)求 r 的值；M 4-1(1 1)当 b=2时，记b,=(n wN+)求数列也,的前项和7；也【解析】因为对任意的e N+,点(,S“)，均在函数y =+%0且 b H l,A r 均为常数)的图像上.所以得S“=b +r,当=1 时,q =S =/?+r,当 2 2 时,二 S“一 S.-=。+r (b T +)=/_ b-=(b-1)bn-,又因为 4 为等比数列，所以=-1,公比为。，所 以%(2)当 b=2 时，%=S-l)b T=2

9、 T,+1 +1 +1b =-=-=-“4 4X2T 2 向2 3 4则 1=2?+2T+F +相减，得2 3 4王+尹+齐2 1几+1n 八+1+西 +7 7 71 1 1 +1丁短如+尹+西-产/N T-3 1 +1 _ 3所以=5牙 一 尸=万 +3c +l1 1.(20 0 9 天津高考)已知等差数列 4 的公差为d (d H O),等比数列 的公比为q(q l)o设,+,Tn=aib1-a2b2+.+(-l )-1 anbn,n e N+(I)若 q=仇=1,d=2,q=3,求 S 3 的值;(I I)若仇=1,证 明(1-q)S2n-(1+q)%=2必1一?”),n e N,；1-

10、4(H I)若正数n满足2 V n q,设占人和是1,2,，n的两个不同的排列,J=ak h+%也 +大 bn,c2=af b+。也+卬 hn 证明 q。c 2。【解析】(I)由题设，可得4=2 1也=3 i,e N*所以，S3=a&+a h+。3、3 =1 x 1 +3 x 3 +5 x 9 =5 5(I I)由 题 设 可 得 则$2=+2(7+%-+.T2n-a a2(H +a3(2 a4Cl+.，式 减 去 式，得 S2n-T2n=2(a2q +a4q3+.a2iiq )式加上式，得 S2n+T2II=2(a,+a.q2+.+a,q2-2)式两边同乘 q,得 7(52n+T2I1)=2

11、aq +a +.+a2n_q2)所 以(1 一4电“(1 +敕2n=(S2-&)-q(S2n+应)=2d(q+/+K+产 i)=2d q Q ,)，N*i-q-(D I)证明：C1 -c2=(a*-a/b+(%-纵 泡 +K +(%-a,)bn=d)曲 +d)3小+(k,l“)d bq T因为d H 0力 产0,所 以 与 鱼=(占/J +-K +曲(1)若k.乜,取i=n(2)若 幻=/“，取i满足A产/，且 勺=3+l /，由，(2汲 题设知，l i 且(占 T)+氏，2)q+K (%-)尸 +(尢T)q id b 当 仁 4 时，得&4 W 1,由q 2 得kj-l j q 1,i =1

12、,2,3 i I即匕一 4 q-,*2 l?)q q(q -V),(附 一 而?/,同 理 可 得 匕-1,因此q/C 2d b综上，G H，21 2.(20 0 9 天津高考)已知等差数列%的公差d不为0,设 S.=%+%4+Tn-a-a-,q H-F (-1)-aqn ,q H 0,n e N”(I )若 q=1,%=1,%=15，求数列 a的通项公式；(n)若 =d，且匹,$2,5 3 成等比数列,求q 的值。(I D)若 q/l,证 明(l q)S 2“_(l +q)T,“二？阳(l-r ),w N*i-q-【解析】(I)由题设，5 3 =%+(8+d)q +(+2dM 2,将 g =

13、Li =15=1 5代入解得d =4,所以4=4 3 EN*(II)当 =d,S=d,S2=d 4-2c l q,S3=d +2d q 4-3c l q2,e.e,5 2,S 3 成等比数列，所以邑？=S1S3,即(d +2 d q)2=d (d +2 d q +3 d q 2),注意到dwO,整理得“=一2(IE)S2n=a2q +a3q2+-a2nq2,t T2fl=-a?q+。3 夕 2-。2/I -得，S2tt T2l t=2(a2q +a4q3 H-F g M?)+得，S2n+%=2(U +。3/+。2 -闯 2)式两边同乘以 q,得夕(5 2+7 2“)=2(心 +。3/+2 一/

14、-2)所以(1 一q)S,“一(1 +=2 d(2,Q =Sn ST=kn2 4-n k(n I)2 4-(n-1)=2kn-A:+1 (*)经验，n=l,(*)式成立，.%=2A一攵+1(I I)am,o2in,c tm 成等比数列,a2m=。加,。4皿，即(4km-左+=(2km-k+Y)(8 km-k.+1),整理得：机-k 1)=0,对任意的ae N*成立，/.k-0或A:=114.(2009安徽高考)已知数列 4 的前n项和5,=22+2,数列 或 的前n项和7；=2 2(I)求数列 勺 与%的通项公式;(I I)设c“=a；,证明：当且仅当吃3时，cn+1 c【解析】(I)由于q

15、=M =4当“2 2 时，an=5n=(2/72+2 n)-2(/?-I)2+2(n-l)J=4 n,;.a“=4n(n e N)将 n=l 代入 Tn=2-bn 得也=2肛,故 T,=b!=l 对于 Q 2,由 n-=2-bn.l,Tn=2-bn得 bn=TirTn-l=-(bn-bn-l),即 bTbn-i数 列 也 是等比数列，其首项为1,公比为g ：.bn=(1 r 1c 16(n+1)2(；)(I I)由(I)知 C,=a；-bn=162 .()T,.请L=-2=2 C,16/22 2当且仅当n 2 3时，l+-n 3即 g+l 0 ,由题设得 l +2 d +3 g 2 =1 7-

16、3 q 2+3 q +3-(3 +3)=1 2 解得 q=2,d=2q 0an=+2(n-1)=2n l,bn=1 1 2B-1=2l o1 7.(2 009全国II)设数列 为 的前”项和为S“，已知q =1,S的=4 a“+2(I)设a=%-况,证明数列也,是等比数列(I D求数列 七 的通项公式。【解析】由%=1,及S“+|=4 a“+2 ,有%+4=4%+2,%=3 q+2 =5,.4=出 一26=3由S“+|=4。.+2 知当22时，有S“=4 a“_ 1+2.得a.+i =4%an+l-2an=2(4 -2%)又.也=,.+i-2a,/.b=2 bz.也 是首项4=3 ,公比为2的

17、等比数列(II)由 可得a=见川一2%=321,.4-勺=、，中、，77“+n,2+i 2 4 数列 祟 是首项为I,公差为I的等差数列.祟=；+(_i)(f =(3 n-l)-2-21 8.(2 009北京高考)设数列 g的通项公式为a,=”+4 5 e N*,P 0).数列 定义如下：对于正整数m,“是使得不等式an m成立的所有n中的最小值.3成立的所有n中的最小整数为7,即4 =7 .(II)由题意，得 勺=2-1,m+1对于正整数，由 凡2根，得2亍.根据超的定义可知当?=2攵-1 时，=k(k N );当m=2攵时，b“,=k+l(ke N).二优+%+%”=(仇 +4 +%“-1

18、)+(%+U )=(l +2 +3 +-+m)+2 +3 +4 +-+(m +l)=二-+=-=m2+2 m.2 2(皿)假设存在P和g满足条件，由不等式。+42，”及。0得 二 幺.PV bm=3 m+2(m e N*),根据0的定义可知,对于任意的正整数m都有3 m+1 -3 m +2,即一2 p-q W(3 p 1)m 0(或3一1 0)时，得 m 一 牢工(或加一 字 士 这 与 上 述 结 论 矛 盾！3/7-1 3p-l1?1 2 1当 3 p l =0,即 p =时，得一I-q W O v-g _ q,解得?1:.存 在P和 心 使 得=3?+2(?e N*);。和g的取值范围分

19、别是，=,19.(2 009北京高考)已知数集4 =q,。2 一凡(1 6。234，2 2)具有性质产；对任意的j n),6%与&两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质P,并说明理由；(II)证明：q =I,且 一f丁+婷-+-+-短 =an X(DI)证明：当=5时，,。2，。3，4，。5成等比数列.【解析】(I)由于3 x 4 与 g均不属于数集1,3,4 ,.该数集不具有性质P.由于1x 2,1x 3,1x 6,2 x 3,空 二,套,?都 属 于 数 集 1,2,3,6 ,.该数集具有性质P.2 3 1 2 3 6(II)?!=%,名,

20、为 具有性质P,与冬中至少有一个属于A,由于 i W q /an,故 a/A.从而 1 =w A ,4 =1.册V1=a1 a2-an,故%a “任 A(k =2,3,由 A具有性质P可 知%e A仅=1,2,3 一,).akp.a 。an an.an_ an _ an _ an _4 an-a2 a an%a2%从而 H H-h a2-Fan_x+an,an%a2%.弓+的+a Ti II ZT _ un ,6 Z +G+(JU)由(II)知，当=5 时，有&=2，幺=。3，即。5=。2。4=。；，%。3 1 。2 2。4 =5，,。3 04 走 A ，由 A具有性质P可 知 幺 A.3由

21、4 2 a 4 =；，E A,5.1 0由 a2+a7=16.得 24+7d=16 由生=5 5,得(+2d)(%+5 d)=5 5 由得 2q=16 -7d 将其代入得(16 -3d)(16 +3d)=220。即 25 6 -9d?=220d2=4,又d 0,/.d=2,代 入得a1=1/=1 +(n 1)-2 2/1 1b(2)令c“=才，则有4 =。+。2+%，4+|=。+R+c“+i两式相减得4+1 一%=4+1，由得 q=1,%+|=2.%=2,%=2(22),即当22时，1=2同,又当n=l时,仇=2%=2,2,(=1)bn=2)于是 S“=优+%+%+2 =2+23+24+.+2

22、*I=2+22+23+24+.+2n+l-4=2(j ；)-4=2,+2-6,即 S“=2,+2-621.(2009湖南高考)对于数列/,若存在常数M 0,对任意的C N*,恒有|+1 -|+k,-I +.+|w2-M,I M ,则称数列 与 为 B-数列(1)首项为1,公比为例|可2因此 I an+-an|+|an-an_ +.+|a2-aA 1 =|q l(l+|q|+b+.+卜尸).因为同 1,所以1 +q+q f+.+同 向=冲 占,即1囿故首项为1,公比为q(H 1)的等比数列是B-数列。(2)命 题1:若数列 七 是B-数列，则数列 S,J是B数列，此命题为假命题。事实上，设x“=

23、l,n&N*,易知数列/是B-数列，但S“=|5+1-sj+|s”一S“T I +.+国 一S j I =由的任意性知，数列 s,是B-数列，此命题为假命题。命题2:若数列 S,是B-数列，则数列 4是B-数列，此命题为真命题事实上，因为数列 S,是B-数列，所以存在正数M,对任意的*有|5向-5“|+|5-5/+.+,即|x”+i|+|x j +卜|于是k+i-x“l+k”-x,i l+,2一小引玉+|+2同+2氏/+.+2同+|罚归2 M +|x j所以数列%是B-数列。(I I I)若数列 4,是B-数列，则存在正数1,加2,对任意的及e N，有|“+1-4|+an an-|+|2-|-

24、11%-41 +1a -|W-仇 I w%注意到|=|-4 I +an_ -an_2+%-|4I。一%+|。-1 一%-2 1 +|。2-1|+|%|同理：同 弧+间记K|=M+W|,则 有 勺=必+|仇|，+色+1 一。/“卜 an+bn+i-anbn+1+ai tbn+i-anbn 1%11+anbn+l-bn K2an+l-an+kt bn+l-bn因此K A+I-a也 I+也 +%|+122-。闵-4 2(|。+1 -%|+an%T|+|4 一4|+占 W+I 一4|+bn -bn-i+b2-bi)0,对任意的 e N*,恒 有K+1-w|+-1|+M-区”，则称数列 叫 为3-数列.

25、(I )首项为1,公比为-，的等比数列是否为B-数列？请说明理由；2(n)设S“是数列 X 的前n项和.给出下列两组判断：A组：数 列 是B-数列，数列*“不 是B-数列；B组：数列 S“是B-数列，数列 S“不 是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(I U)若数列 )是B-数列，证明：数列 端 也是B-数列。【解析】(I)设满足题设的等比数列为 4,则4=(-；尸.于是问 一%|=T严 一(-夕-2=|x g)/N 2.1 an+l-an l+la -I+I%一%=-x l +-+(-)2+-+(-)n =3x

26、 l-(-)n 3.2 L 2 2 2 J L 2所以首项为1,公比为-g的等比数列是B-数列.(n)命 题1:若数列 x“是B-数列，则数列 S“是B啜列.此命题为假命题.事实上设=1,e N*,易知数列x是B-数列，但S=n,I5+1-S J +IS-S.1I+-+IS2-51=n.由n的任意性知，数列 S“不 是B-数列。命题2:若数列 S,是B-数列，则数列*“是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列 S,是 B-数列，所以存在正数M,对任意的,有电+S“l+电 S,i l+区 7 加，BPIX+I l+l x I+-+）X2IM.于是|加-9|+卜“一%/+一.+,2-引 k+J

27、 +2 k|+2 1/+2 卜|+闻 。)，则在定义域上有又&1 ,-,a 11 +。f(x)g(a)=-g,a=故对 n e N 1 ,bn+i g(a)恒成立.a 八 .-,0 a l1 +a注意到0 g(a)g,解上式得_ _ _ _ _ _ _()_ _ _ _ _ _ _ _=l-g -J i-2 g q l-g(a)+Jl-2g(a)l-g(a)+Jl-2g(a)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ g(a)一 一 g(a)l-g(a)+Jl-2g(a)1取 =-r-，即 有 a ke N*,.p =3se N.1 3 分P取 k=3s+2,4m =32J+2-2X3-3 =（4

28、-1）2S+2-2 x（4-l）J-3 0,1 5 分由二项展开式可得正整数Mi、M 2,使 得（4-1）2S+2=4MI+1,2 x（4-l）s=8M2+（-1）J2,4?=4（M-2M 2）-（T V+1）2,A存在整数加满足要求.故当且仅当P=31 se N时，命题成立.2 7.（2 0 0 9 上海高考）已知 4,是公差为d的等差数列，/“是公比为q的等比数列若an=3n+,是否存在o,w N*,有/,+%+=4?请说明理由；（2）若b.=aq（a、q为常数，且 a q H O）对任意m存 在 k,2K）=2 2（C +C j,22+-+C；-2/,-2）+/?由3山（3。-1）=4&

29、+2,得3 叫 2（C+C j22+段2 2）+0 =2%+1当p为奇数时，一定有，和k 使上式一定成立。当P 为奇数时，命题成立。2 8.（2 0 0 9 四川高考）设数列”“的前项和为S,对任意的正整数“，都有4 =5 S“+1 成立，记（I）求数列也,的通项公式；3（II）记仇,i（e N），设数列%的 前 项 和 为 求 证：对任意正整数都有北2；(i n)设数例 ,的前项和为4。值。【解析】(I)当=1时，q=5 qT又 Q a“=5 S”+l,a“+1=5S.+I+l.数列 为 成等比数列，其首项6=4+(-J)”,.,=:.1-3(n)由(I)知 仇=4+(-4)-17 7 5

30、5%，T=42”_+42 T+12 5x1 6 2 5x1 6=-n-(1 6n)2+3xl 6,-4 (1 6n)2已知正实数4 满足：对任意正整数，4W 2 恒成立，求 力的最小,1F 1,.*.C l i =-1 4an+a=54+1，即。“+1V，公比是4=-；.,%=（-/.3 分:2 5x1 6-（1 6 -1）（1 6+4）_ 2 5p,c,13 4又&=3也=.q=-3当=1 时，7 -2当 2 2时，T 4 n-l即(/I 4)1对一切大于1的奇数n恒成立./IN4,否 则，(1-4)一1只对满足一 二 的 正 奇 数n成立，矛盾。4-2另一方面，当 =4时，对一切的正整数n

31、都有R“W4事实上，对任意的正整数k,有凤，1+%,=8+o 5 20 15X16A-40。,(1 6/-1(16)*+4(16*-1)(16+4).当n为偶数时，设=2m(?eN*)则%=(仇 +。)+S3+匕4)+K+(%“.1+%”)v 8m=4n当n为奇数时，设=2?一1(me N*)则%=(4+%)+(%+4)+K+(b2m_3+b2m-2)+%”-i v 8(机 一 1)+4=8 z -4=4”对一切的正整数n,都有R,4综上所述，正实数4的最小值为4.14分29.(2009重庆高考)设/个不全相等的正数4,%(机2 7)依次围成一个圆圈.(I)若，=2 0 0 9,且4，出,吗0

32、05是公差为1的等差数列，而41，。2009，“2008,，41006是公比为4=的等比数列；数列q,出,4”的前项和S(”m)满足：S3=15,S2009=S2007+12Q,求通项an(；【解析】因,电009，。2008,，4006是公比为d 的等比数列，从而4009=出颂=”/由52009=S2OO7+12q得出008+出009=1 2%,故解得 d=3 或 d=-4(舍去)。因此 d=3又3=3%+3d=15。解得q =2从而当 n 1005 时，an=at+(-l)d =2+3(-1)=3n-1当1006 W W 2009时，由q,出()。9，出颊，是公比为d的等比数列得an=a/2

33、ow-(T)=fliJ20l0-(1006 n 2009)J3/I-1,H1005因此 一 j 2 323-/006 V n W 2009(II)由题意 a；=na；,a；=得“?)，a,n=,-11 q=ama2 由得%=幺,4 4 =5 a3 a a2 a2由，得 的2%=3%)2，故囚。2勺=L 又+3=2.=L.=-L(ir/n_ 3),故 有%+6=-=a,(lW r机 6).-r+i%册 ar+3下面反证法证明：?=6k若不然，设?=6A+p,其中lpW 5若取p =l即，=6 k +l,则由得4“=4八|=q ,而 由 得=马 ，故 =4得a2=1,由得am_t=%，从而&=a6

34、 k=，而%&=幺,故%=。2=1,由及可推得%=1 (l n m)与题设矛盾a2同理若P=2,3,4,5均可得4=1 (l /?6又m =6 k,由和得a；+K +a；=(a；+K +q；)+K +ak_5+K +。2)=(k-1)(a；+K +a；)=(k_l)(a；d H +a；4 7)2 6 (k-l)a2 6因此由得 +%+4+K +4+K +a；6 +6伏-1)=6 k=m =maxa2a3 K am3 0.(2 0 0 9重庆高考)已知q =l,a2=4,an+2=4 an+14-an,bn=-,n e N .a(I )求仇也也的值;(I I)设也x，S 为数列%的前项和，求证：

35、Sn17n；(I I I)求证：以 一 切 4于是q =4,4=1 7,%=也川=4 2+1 1 7 (2 2)所以S“=q +c a+%217n|7(i n)当=i时，结论区-仇|=:7 7成立4 64当2 2时，有h _。|=|4+工 一4一-匚|，噎忘,也 一|现%b“b“T 17w j l b,i-b“_2 忘 也 一*看(2 2)所以“_ 么 I W 1%-4 I +1%2-4+11 +中 一。2-111=()，-1+()d-F ()4 17 17 172n-241 (AL 1 1 -;7(几 /V).4.1 64 17-21-172008年考题1、（2008广东高考）设p,q为实数

36、，0,是 方 程-px+q=。的两个实根，数列%满足斗=p,X2=P，-q，X =px,i qxit_2（n=3,4,）.（1）证明：a +/3=p,a/3=q；（2）求数列 x“的通项公式;(3)若 p=l,q=；,求 x“的前项和 S”.【解析】由求根公式，不妨设a 尸，得a/*3，0=P+d p 4 q,a+=&乜+P+4R=P,的=7；+可 一 旬(2)设4 S XT=t(xn_-sxn_2),则X”=(s+t)xn_y-stxn_2，由 乙=P&_qxn_2得 即q (%+4d)=(q+d)(q+3 d).化简得3 d 2=0,因为d#),所以也不能删去；若删去,则有q%=%即 3，

37、即 卬 鼬+4d)=(q +d 为Q +2 d).故得1 2.当 n 次 时，不存在这样的等差数列.事实上，在数列4,%,%an-2，a,i，an中，由于不能删去首项或末项，若删去4,则必有q%=%an-2 这与期。矛盾；同样若删去a“_2也有q%=4 an-2 这与琼0 矛盾；若删去。3，an-2中任意一个，则必有力。=。2，这与琼0 矛盾.综上所述，nG 41 5.3、(2008 江西高考)等差数列 4 的各项均为正数，q=3,前项和为S“，也,为等比数列，4=1,且打2=64,由 邑=9 60.求 知 与,；(2)求和：+.Si S2 Sn”-1【解析】(1)设 a,J的公差为d,2 的

38、公比为q,则 d为正整数，a“=3 +(-l)d,b“=q依题意有S 30 =(9 +3 d)/=9 60 S2h2=(6+d)q =64d =2解得q =8 或d =展(舍去)q=x故。“=3+2(-1)=2 +1也=8 1(2)S“=3 +5+(2 +1)=(+2).1 1 1 1 1 1.-1-F d-1-1-S S2Sn 1x 3 2 x 4 3x 51+-(7 2+2)1111 2435 n+2=-(l-+2 31 1)1 1=-(1+-2 2 鹿+1+2、)=-3-2-+-3-4 2(+1)(+2)b4、(2008辽宁高考)数列，2是各项均为正数的等比数列，设%=(e N*).an

39、(I )数列q,是否为等比数列？证明你的结论；(I I)设数列I n a,I n d的前项和分别为S“，7；.若q =2,&=一，求数列1%I的前项和.1 1 H H I I 1 r r r 1 Tn 2 +1【解析】(I)c“是等比数列.证明：设 的 公 比 为 彷(0),2的公比为(%0),则411=如3 =%2 _ =/0,故q,为等比数列.%+1 bn bn an+i 1(I I)数列I n a“和I n bn分别是公差为I n /和I n%的等差数列.1 -1)H l n a 4-I n /由条件得-3n.n(n-l).n l n b 4下I n%n2 +1即翳花翳2,(2I n q

40、1-l n 2)n2 4-(41110,-I n qx-21n/?,4-I n%)+(21n 一I n q，=0.2 I n%-I n q2=0,于是 141n ax-In-2 I n /?)+I n q2=0,2 I n q -I n q、=0.o 16-i将q =2代入得%=4,%=1 6,4=8.从 而 有%=万/=4.所以数列上|的前项和为4+4-+4=(4 1).5、(2008 全国 I )在数列 6,中，q =1,an+=2an+2.(I )设”=白.证 明：数 列 也 是等差数列；(I I)求数列 q的前项和S“.【解析】=2%+2 ,$=券+1,m,则/为等差数列，A=l,bn

41、=n,an=n 2n-.(2)S=1 2+2 2 +-+(H-1)2-2+n 2-2 s“=1 2 +2 22+-+(n-l)2-,+n 2 两式相减，得 S“=2 -1 2 -2 一2T=2 -2 +1.6、(2 008全国II)等差数列 4中，&=1 且。3,4,。成等比数列，求数列 4前2 0项的和$2 0.【解析】设数列 4的公差为，/,则a3=a4 d=10 d,a6=+2 t/=1 04-2 J ,%+6 d =1 0+6 d .由，&，O成等比数列得。必0=,，即(1 0-/)(1 0+6 d)=(1 0+2 d)2 ,整理得 1 0/-1 01=0,解得 d=0 或d=1.当

42、d=o 时，S2 0=2 0a4=2 00.当 d=l 时，-3 d =1 0-3 x 1 =7 ,2 0 x 1 9于是 5 2 0=2 0%+2 d=2 0 x 7 +1 90=3 3 0.7、(2 008浙江高考)已知数列 x“的首项%=3,通项x“=2 p+q (N*,p,q为常数)，且玉,犬4，苫5成等差数列，求：(I)p,q 的值；(II)数列%的前项的和S“的公式。【解析】(I)由 占=3,得2 p+q =3,又 X 4=2“p+4 q,x5=25 p +5q ,且 占+.=？,得 3 +2、p+5 q =2,p+8 q ,解得 P=1,q =i.(II)解：S“=(2 +2 2

43、+2 )+(1 +2 +”)=2 e -2+返.28、(2 008陕西高考)已知数列 ,的首项q =,an+=“=1,2,3,.3 +1(I)证明：数歹!)1-1 是等比数列；ann(II)数列 一 的前项和s“.【解析】（I）.an+i=1 -_ a-ri+-_ 1-I 1-1%+1=-1-an+2 a“2 2 an数列-1-1 是 以 为!首 项，工为公比的等比数列.4 2 2(II)由(I)知-1 =-r=-,即=-F1 ,=-F n .a 2 2-2 an 2 an 2n_ 1 2 3 n .设T“=5+中+尹+初，1 1 2 n n 则 不 =歹+至+诃，由得2 2 22 T 2n+

44、1 1 1 2向 2“2n+,1 2 2).3 3 3a=(n 2).3 验证=1时也满足上式，a,=(e N*).(II)bn=1-3 ,S=l-3 +2-32+3-33+.n-3 ,3 5,=1-32+2-33+3-34+./?-3n+l两式相减得-2 S=3 +3 2 +3 +3 -3n+,-2 S 一n-3,+1,1-31 7 1 3所以5“=2-3 的_3 的+2.(2 007 广东高考)已知函数/(幻=/+.1,a,夕是方程Ax 尸0 的两个根(a 4)，/(x)是/(x)的导数；设q =1,a“+i =a 一(n=l,2,.)f()(1)求 a.的值；(2)证明：对任意的正整数n

45、,都有a,a；(3)记 =加 4二2 (n=l,2,)，求数列，的前n项和S”.an a【解析】(1)V f(x)=x2+x-l,a,4是方程/(x)=0的两个根(。万)，-1 +V 5 a-1-石:.a-(2)f(x)=2x+,an+i=an2 a,+1:a”(2 a“+l)+：(2 a“+1)-；-丁 号-土2 a“+15=:(2%+1)+壮=：，.飞=1,.有基本不等式可知电2 与()(当且仅当q =与时取等号),4 2an+1 2 2 2二%。同样%,.,=a(n=l,2.),(3)。,+广夕丁)(0+1 +a),而 a+=-l ,即a+l=-42%+1 2。“+1o 闩工田(。一。)

46、(3 3+亚 3 +7 5%+夕=同理”-a=7T b又4/H/二2 1 n 丁所以 S.=2(2 -l)l n 之f.3.(2 007 广东高考)已知函数/0 0 =/+1,a、是方程/(x)=0 的两个根(a ),/(x)是的导数设=1,al l+l a -,(=1,2,)./(怎)求 a、的值；已知对任意的正整数有4 a,记a=In%二2,(=1,2,).求数列 瓦 的前项和Sn.【解析】由x2+x-l=0得=-1V 5-2-1 +5 0 1 V5P-2-2(2)/(x)=2x+l an+y=an+4,T _；+1a：+1 1 +亚a“+i _ B=2a“+1 2a“+i-a a：+1

47、+1-百22 4+1 2 a,+l,1+7 5?+21-V5+2，4 6 T.、a/3,3+5.1 +/5 =2/，X V l n -=l n=41n 数列 2 是一个首项为41nL等,公 比 为2的等比数列,s =4 1 n y (l-2n)1-24(2-l)ln 匕 立4.(2007 全国 1)已知数列 a“中 q =2,an+l=(/2-l)(an+2),n=1,2,3,.(I)求 4 的通项公式;(I I)若 数 列 也 中a=2,%=31+4,=1,2,3,，证明：y/2 U*+1 2%+3 2%+3 2%+3又一 一=3-2行沟+3 2V2+3所以故=（3-2、）（一 万 （3 _

48、 2 0）2依 一 血）W（V2-1）4（4,.3-V 2）=4t+I-V2.2%+3也就是说，当=k+l时，结论成立.根 据（i）和（近）知0 W为 _3,=123,.5.（2007全 国1）设%是等差数列，也是各项都为正数的等比数列，且=4=1,生+85=21,a5+Z?3=13(I)求%，2 的通项公式;（U）求数列，%的前项和s”.1A.1 +21+/=21,l+4d+q2=13,【解析】（I）设%的公差为d,的公比为4,则依题意有40且 解得4=2,q=2.所 以 凡=1+(-1)=2-1,2=/T=2 T.(II)2 =3 1.b.2T i 3 5 2/z 3 2 -1 与 21

49、22 2-2 2 Tcc c c 5 2n-3 2n-2s =2+3+-,2 2 T 2n2c c c 2 2 2 2 -1=2+2+-+-产,c c 1 1 1、2n-l=2+2x!+-+7-(2 22 2n-2 J 2Ti!=2+2xT耳=6-注.1 2-2i1-23-a6.(2007全国 2)设数列 a“的首项q (0,1),an=不2，=2,3,4,.(1)求%的通项公式;(2)设，=%力3-2 6,证 明 出，其中为正整数.3-ci【解析】(1)由=2,3,4,，整 理 得1一%=一；(1一。1).又1一卬。0,所以 1一。“是首项为1一卬，公比为一;的等比数列，得(2)方法一：3由

50、(1)可知0。“0.那么，%-汇=。(3-2矶)-端(3-2%)=(左)1 3-2X 学卜;(3-2%)=等七-1)2.又由 知4 0且。,尸1 ,故%一片0,因此瓦%,为正整数.方法二：由(1)可知0 4 g,a l,因为。加=上 为，所以 b向=+I y/3-2an+l=0二？瓦.由可得。,(3-2%)丁J,即 4：(3-2a“)(%)两边开平方得a“j3-2a“与 外 弧.即 仇 +1，为正整数.7.(2007全 国2)设等比数列 怎 的公比q l,前项和为S,.已知的=2,S4=552,求 4 的通项公式.【解析】由 题 设 知。S.二叫 T)qa、q-=2,2则，=5 x 以.-L