高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式2.pdf

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1、难点5求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.木节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的儿种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.难点磁场()一知犬2 C OS T 尸 co s2 x+co sx,求案例探究 例 1 (1)已知函数人)满足/(1 0 8，尸尸一(X-L)(其中a 0,a l d 0),求危)的表达a-1 x式.(2)已知二次函数/(x Faf+bx+c满足贝1)|=|/(1)|=火0)|=1,求 f(x)的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力

2、.属题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“尸的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令 t=l o g(fr(a l,/0;0 a l J l,x 0;0 a l 0)a-1(2)山 1 尸”+人+1 尸。b+c 贝 0)=cc=f(0)并且网)、A 1)、犬0)不能同时等于1 或一1,所以所求函数为：式 x 尸2 x 2 1或八 尸2%2+1 或危尸一/一X+I或y(x)=x 2 x 1 或危尸一f+x+i或人龙尸产+无一i.例 2 设人口为定义在R 上的偶函数，当x

3、W 1 时，)，=/(x)的图象是经过点(一2,0),斜率为1 的射线，又在y=/(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(一1,1)的一段抛物线，试写出函数兀0 的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属题目.知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当 一 1 时,，设 f x)=xj

4、r b.,射线过点(一2,0).：.0=2+b g|J b=2,：.f(x)=x+2.(2)当一 1cxe1 时，设兀0=0?+2.抛物线过点(T,1),；.l=a (-1)2+2,即 a=-1f i.x)=-x2+2.(3)当时，大x尸一 2X+1,-1综上可知：危 尸 时段)等于()A./(x)=(x+3)2 1 户 Q 3)2 1C 危尸Q3)2+1 D 大 尤)=(%I)?一二、填空题3.(*)已知段)+决一尸3天 求 危)的 解 析 式 为.x4.()已知危尸O X?+以+g若40)=0且 於+1月(X)+X+1,则f(X)=.三、解答题5.(*)设二次函数加0满足凡1-2)=汽一工

5、一2),且其图象在丫轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为五，求/X)的解析式.6.(*)设/(x)是在(-8,+8)上以4为周期的函数，且式x)是偶函数，在区间 2,3上时，/(X)=-2(X-3)2+4,求当x e 1,2时段)的解析式.若矩形4 8CC的两个顶点A、B在x轴上，C、D在 词x)(0WxW2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7 .(*)动 点P从边长为1 的正方形A B C D的顶点A B出发顺次经过8、C、。再回到A,设 x表示P点的行程，火 x)表示 出 的 长，g(x)表示 A B P 的面积，求兀r)和 g(x),并作出g(x)的简图.8 .()己知函数y/x)是

6、定义在R上的周期函数，周期 7=5,函数)，=)(一I W x W l)是奇函数，又知)=心)在 0,1 J上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在尸2时，函数取得最小值，最小值为一5.(1)证 明:小 用 =0;(2)试求)m(x)/6 1,4 的解析式；(3)试 求 词 x)在 4,9 上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法)V/(2 c o s x)=c o s 2 x _C O S X=2C O S2X-c o s x 1令 =2 c o s x(l“W 3),贝 II c o s x=2 Hc o s%)c)=2(2 w)2(2 u)l=2 u27H+5(1 W W 3)1

7、)=2 a I)?-7(x l)+5=2,-1 l x+4(2 W x W 4)解法二：(配凑法)j 2C O S X)=2C O S2X-c o s x -1 =2(2 c o s x)27(2 c o s x)+5 孙)=2/-7 工 一 5(W),即於一 l)=2 a l)2 7(L l)+5=2?l b+1 4(2 4 W 4).歼灭难点训练一、1.解析：:/(x 尸：.f L/(x)=4x-3=x，整理比较系数得m=3.“m x c4-34 x-3答案：A2.解析：利用数形结合，/W1时，兀 尸(1+1)2 1的对称轴为R=-1,最小值为一1,又)可0 0 关于尸1 对称，故在工1匕

8、 兀 x)的对称轴为A3且最小值为-1.答案：B二、3.解析：由於)+贺！尸3 x 知人工)+加0=3.由上面两式联立消去人工)可得於尸22答案：f(x)=x4.解析：:於尸/+/;/6/(0)=0,可知 c=0.又/(x+1 )=y(R)+x+1,；a(x+1 )2+/?(x+1 )+0=2+0 x+x+1,即(2a+b)x+a+/?=Z?x+x+1.故 2a+b=b+1 且 a+b=，解得 a=；,b=；,A-Y)=/+x-答案：-x2+x2 2三、5.解：利用待定系数法，设 段)=/+瓜+c,然后找关于a、b.c的方程组求解，段)=三+-X +1.7 76 .解：设 x G 1,2 ,则

9、 4 x G 2,3 ,；於)是偶函数，.1 月(一x),又因为4是加)的周期，AA-)=A-X)=/(4-X)=-2(X-1 )2+4.(2)设 x G 0,1 ,则 2 W 2 W 3 g)=/(x+2)=2(x 1 尸+4,又由(1)可知 x W 0,2 时,危尸一2。一 iy+4,设 A、B 坐标分别为(1 r,0),(l+r,0)(0 ；.=2*(2 F).(2?)(+；+、)3=-,当且仅当2 产=2 一/,即片四时取等号.52 W 空 空 即 SW竺 巫，.5m ax=Y G.32 7 9 97 .解：(1)如原题图，当P在 A8上运动n 寸，以=苍当尸点在B C上运动时，由R

10、t Z A B。可得M=7 1 +U-l)2；当P点在C D上运动时，由R t A A D P 易得P 4=J 1 +(3-X)2 ;当P点在04上运动时，布=4 x,故/(x)的表达式为：卜(0%1)yl x2-2x+2(1 x 2)大 x 尸/-VX2-6X+1 0 (2 X3)4-x(3 x 4)(2)山于P点在折线A B C D上不同位置时，A 8 P 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.如原题图，当 P在线段A8上时，力8P的面积5=0；当 P在 B C上时，即 1 XW 2时.，S&ABI-A B BP=-(A-1)；当 P 在 C

11、O 上时，即 2 x W 3 时，1 1=-;2 2 2 2当 P在 D4上时，即 3 x W 4 时，SA产;(4-X).(0 x l)(1 x 2)(2 x 4 3)(3 x 4)0故g(x尸,21(4-x)8.(1)证明：y=/(x)是以 5 为周期的周期函数，./(4)=/(45)=/(1),又 y=/(x)(IWxW1)是奇函数，.M l尸一八一 1尸一型),./用=o.(2)解：当xd 1,4 时，由题意，可设式x)=a(x2尸一5(aW0),由 川)/4)=0得。(1一2)2-5+a(4-2)2-5=0,解得 a=2,.7/W=2(x-2)2-5(l WxW4).解：y=/(x)

12、(1 WxW 1)是奇函数，.；穴 0尸一 八一0),；.,0)=0,又 y=/(x)(OWxW 1)是一次函数，可设於尸阳0 Wx W 1),VA 1 尸2(1 2)25=-3,又无 1 )=&I%.4 一 3.当 0 WxW1 时，f(x)=3x,当一 1W/V0 时，/(x)=3x,当 4WxW6 时，-1 Wx5W l,/(R)d x 5尸-3(x-5)=-3 x+1 5,当 6VxW9 时，1V/5W45Ax)=/(冗 一 5)=2 (工 一 5)2 2-5=2(%-7)2-3x4-152(X-7)2-5(4 x 6)(6 xb0)的左右焦点分别为F1,F 2，点 P 为椭圆上任意一

13、点a hH P*=y,则椭圆的焦点角形的面积为S*pF,=b,t a n.2 28 .椭圆=+=1 (a b 0)的焦半径公式：a b MFx=a +e xo,MF2 a-e xo(Fl(-c,O),F2(c,0)M(x0,y0).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结A P和A Q分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点，则 M FL N F.1 0 .过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A2 为椭圆长轴上的顶点，A|P 和A?Q 交于点M,A 2 P 和 A|Q 交于点N,则 M FL N F.V2 V21 1 .A B是椭圆一 +=

14、1 的不平行于对称轴的弦，M(Xo，y o)为 A B的中点，则a b1 2 .若Pn(x0,y0)在 椭 圆 5 +斗=1内，则 被 Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a bv.yoy _,方-T -十-2 b2 a2 b2 v.2 21 3.若(%,光)在 椭 圆=+4 =1内，则 过 PO的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a b2 2x-yoy双曲线1 .点 P处的切线P T 平分 P FF2 在点P处的内角.2 .P T 平分 P FF2 在点P处的内角，则焦点在直线P T 上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准

15、线相交.4 .以焦点半径P F|为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)5 .若 兄(%,%)在 双 曲 线 二 一 与=1(a 0,b0)上，则过兄的双曲线的切线方a b 6 .若 不,打)在双曲线3 七=1 (a 0,b0)外，则过P o作双曲线的两条切线切点为P i、P 2,则切点弦P 1 P 2的直线方程是誓-萼=La2 h7.双曲线2r=1 (a 0,bo)的左右焦点分别为F”F2，点P为双曲线上任意一点N片尸鸟=/,则双曲线的焦点角形的面积为工“八=/co t .2 28.双 曲 线 工 一 与=1 (a 0,bo)的焦半径公式：(”(c,0),工(c

16、,0)a b当M a，%)在右支上时，也耳|=eXo+a,|M F2 l=ex()-a.当 A/(%,%)在左支上时，|M E|=ex。+a,|A/%=-ex0-a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结A P和A Q分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则M FL N F.1 0 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A|、A2为双曲线实轴上的顶点，A F和A?Q交于点M,A2 P和A Q交于点N,则M FL N F.X2 y2 _1 1 .A B是双曲线-y-彳=1 (a 0,b0)的不平行于对称轴的弦，乂岛,打)为a hxXA B

17、的中点，则K“-K =1，即1。ay0 a yQ1 2.若兄(%,打)在双曲线x与2 4v2=1 (a 0,b0)内，则被P。所平分的中点弦的1 3.若(入0，/0)在双曲线一j一(a 0,b0)内，则过P o的弦中点的轨迹方椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)高三数学备课组椭 圆2 21.椭圆三+2r=1(a bo)的两个顶点为4(a,0),A,(a,0),与y轴平行的a br2 v2直线交椭圆于P I、P 2时A R与A2 P 2交点的轨迹方程是2T=1.a b2 22 .过 椭 圆 二+二=1 (a 0,b0)上任一点A。,凡)任意作两条倾斜角互补的直a bb 2 x线交椭圆于B

18、,C两点，则直线B C有定向且册 =二2(常数).4 -x2 y 23.若P为椭圆r+=l(a b0)上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,a bZ P FtF2=a,P F,F=/3,则 =tanqcot.a +c 2 22 24 .设 椭 圆 三+2=1(a b0)的两个焦点为F|、F2,P (异于长轴端点)为椭圆a h上任意一点，在P FF2中，记/月 尸2=。，Z P FF2=J3,ZFF2P =/,则有sin a c-:=_ =e.sin/?+sin/ar2 25 .若 椭 圆 三+=1(a b0)的左、右焦点分别为F、F2,左准线为L,则当a b0 拒-1时，可在椭圆上求一点

19、P,使 得P F1是P到对应准线距离d与P F2的比例中项.x2 y26 .P为椭圆=+=1 (a b0)上任一点,F*2为二焦点，A为椭圆内一定点，a b 则2 a-A F21|P A +P F,(4/+By0+C)2.x2 y2 _8.已知椭圆一7H r-=1 (a b0),O为坐标原点，P Q为椭圆上两动点，且a b“。尸“能+看T+J宙+Q Q 的 最 大 值 为 篝;a 2b 2(3)SAOP。的最小值是fr.a+bX2 y29,过椭圆=+=1 (a b0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦a h,I P F I eMN的垂直平分线交x轴于P,则-二一.MN 2x2 v21

20、 0 .已知椭圆=+2T=1 (a b0),A、B、是椭圆上的两点，线 段A B的垂直a ba2 h2 a2 A2平分线与x轴相交于点P(%,0),则一a a/v21 1 .设P点是椭圆=+=1 (a b 0)上异于长轴端点的任一点,Fi、F2为其焦a b 点记“附3则 飞 冲 小 ws-3呜.12.x2 y2设 A、B 是椭圆-y +R =l (a b 0)N P A B =a,A P B A=p,Z B P A =/,c、的长轴两端点，P是椭圆上的一点，e分别是椭圆的半焦距离心率，则有，2a b2 I c o s a I _ ,2 0 2a2b2小/近 t a n a t a n l -e

21、-.13.已知椭圆+=1 (a b 0)的右准线/与x轴相交于点E,过椭圆右焦点a b 产的直线与椭圆相交于A、B两点，点。在右准线/上，且BCLx轴，则直线A C经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定

22、比e.18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线V2 V21.双 曲 线=二=1（a 0,b 0）的两个顶点为4（一 凡0）,42伍,0）,与 y 轴a b 2 2平行的直线交双曲线于P i P 时 A R 与 A2P2交点的轨迹方程是:+=1.a b2.过双曲线-j 4=1 （aO,b。）上任一点4（%,为）任意作两条倾斜角互a b 补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且原。=-彳 （常数）.a%2 23.若 P 为双曲线三-当=1（a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,B,a bF 2

23、是 焦 点，Z-P FXF1=a ,/P F?F=0 ,则 -=tancr?t（或c+a 2 2c-a B a、-=tanc o t）.c+。2 22 24.设双曲线鼻 斗=1（a 0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为 双 曲 线 上 任 意 一 点，在 a P FE中，记ZFPF2=a,cin zv cAPFxF2=/3FF2P=y,则 有 匚 一 一-=-=e.(s i n/-s i n p)av25 .若双曲线=一 七=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为a bL,则 当 l 0,b 0)上任一点,F 小2为二焦点，A为双曲线a-b内一定点，则

24、|力工|一 2a W|P4|+|/Y；当且仅当A，K，P 三点共线且P 和儿 死 在 y 轴同侧时，等号成立.X2 y27 .双曲线=一 彳=1 (a 0,b 0)与直线A x +5)，+C =0 有公共点的充要a b条件是屋山一202 4 c22 28 .已知双曲线二一二=1 (b a 0),0 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动a b点，且。PJ _ O Q.(1)意+卷=提-Q P +Q Q 的 最 小 值 为 黑;S.的最小值是卢a2方 b2.b-a/y29.过 双 曲 线=-2T=1 (a 0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于a bM,N 两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴

25、于P,则I PF LI =-e.MN 2尤2 210.已知双曲线”一七二1(a 0,b 0),A、B 是双曲线上的两点，线 段 A Ba b的垂直平分线与X轴相交于点F(xo,O),则%土 土 或/一 竺 二.a a2 211.设 P 点是双曲线 一2r=1 (a 0,b 0)上异于实轴端点的任一点,F|、F,a b2b2为 其 焦 点 记 N F P F,=6,则(1)|P F|P F21=.(2)1 -c o s 0SMFM=c o t v-2 v212.设 A、B是 双 曲 线 4=1 (a 0,b 0)的长轴两端点，P 是双曲线上的a b点，N P A B =a,N P B A =/3

26、/B P A =y,c、e分别是双曲线的半焦距一 一、+M 1,._ _ _ _ 2a b21 c o s a I禺心率，则有(1)|P A|=L.|a -c c o s y n,2 0 2a 2b 2(2)t a n a t a n/7 =l-e .(3)S&P AB=-c o t/.b +ax13.已知双曲线2r v二2=1(a 0,b 0)的右准线/与x轴相交于点E,过双a b曲线右焦点/的直线与双曲线相交于A、B 两点，点 C在右准线/上，且8C，x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直

27、.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率).(注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.高中数学函数知识点梳理1.函数的单调性 设X-彳2 6 a,b x尸 那 么区 一 工2)(%)/()0 o 小J 7 )0=/(x)在“上是增函数；玉-x2a _%)/()_/()

28、o=:)o=/(X)在a，u 上是减函数.(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如 果/(x)0,则/(x)为增函数；如果f(x)0,则/(x)为减函数.注：如果函数/(X)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数=/()和“=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=/Ig(x)是增函数.2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数星偶函数.注：若函数y=/(x)是偶函数，则/(x +a)=/(-x-

29、a)；若函数y=/(x +a)是偶函数，则/(x+“)=/(x+a).注:对于函数/=/(x)(x e&),/(x +a)=/(b x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数=专；两个函数丁 =/3 +。)与 旷=f(b-x)的图象关于直线=等对称.注：若/(x)=-f(-x +a),则 函 数y=/(x)的 图 象 关 于 点 弓,0)对 称；若f(x)=-/(x +a)，则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数.3.多项式函数尸(x)=a“x+4的奇偶性多项式函数尸(X)是 奇 函 数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数Q P(x)的奇次项(即偶数项)的系数

30、全为零.23.函数y=/(x)的图象的对称性(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称=/(a +x)=/(o-x)f(2 a-x)=f(x).(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=等对称o /(a +zx)=f(b-m x)f(a+h-m x)=/(m x).4 .两个函数图象的对称性(1)函数y =/(x)与函数y =/(x)的图象关于直线x =0 (即 y轴)对称.(2)函数y =/(?x-a)与函数y =n u)的图象关于直线x =2对称.2 m(3)函数y =/(幻和y =/-(%)的图象关于直线y=x 对称.2 5.若将函数y =/(x)的图象右移“、上移b 个单位，得到函数

31、y =/(x a)+%的图象；若将曲线/*,)，)=0的图象右移a、上移b 个单位，得到曲线/(x-a,y-6)=0的图象.5 .互为反函数的两个函数的关系f(a)=b o (b)=a.2 7.若 函 数 y =/(乙+6)存在反函数，则 其 反 函 数 为 y =L /T(X)一句，并不是ky=f-(kx+b),而函数 y =T(丘+b)是 y =-f(x)-b 的反函数.k6 .几个常见的函数方程(1)正比例函数/(x)=cx,/(x +y)=/(x)+/(y),/(l)=c.(2)指数函数/(x)=优,f(x+y)=f(x)f(y),f(l)=a 0.(3)对数函数 f(x)=log x

32、,f(x y)=f(x)+f(y),f(a)=l(a 0,al).(4)事函数 x)=,f(Xy)=f(x)f(y),f(l)=a .(5)余弦函数/(x)=cos x,正弦函数g(x)=s in 尤,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)I。X7 .几个函数方程的周期(约定a 0)(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期 T=a；/(x)=/(x +a)=0 ,或 f x+a)=J (/(x)0),/(x)或/(x+a)=(/(x)丰 0),/(x)或;+&(x)-r(x)=/(x +a),(/(x)e 0,1 ),则 f(x)的周期 T=2 a；f(x)=1-(/(x)*0

33、),则 f(x)的周期 T=3 a；f(x+a)(4)/(x,+x2)=+、仅且 f(a)=l(/(x,)-/区)工 1,0|x,-x21 0,e N ,且M 1 ).yjam_ 2L i(2)a n=m (07,N*,且 1 ).7行9 .根式的性质(1)(V a)w=a.(2)当为奇数时，y/a =a；当为偶数时，=a =a，a 0 .-a,a 0,s Q).(2)(/)=(0J,S EQ).(3)(a b)r=arbr(a 0,b 0,r G 0.注：若 a 0,p 是一个无理数，则 a。表示一个确定的实数.上述有理指数号的运算性质，对于无理数指数嘉都适用.3 3 .指数式与对数式的互化

34、式logq N=。=N(0,Q w 1,N 0)3 4 .对数的换底公式log Nlogr t N=-(。0,且。1,加0,且？。1,N.10g m aY l推论 log b =loga b(a 0,且 a 1,m,0,且m N 0).m1 1.对数的四则运算法则若 a 0,aW l,M 0,N 0,贝 I log“(M N)=log M+log,N;log“*=log”To g“N;(3)logu M =n loga M(n&R).注:|设函数 f(x)=log,(a x2+b x+c)(a w 0),记=从 4 ac.若 f(x)的定义域为R,则。0,且 A 0,且A NO.对于“=0的情

35、形，需要单独检验.1 2.对数换底不等式及其推论若a O,b O,xO,xw,，则函数y =loga(/?x)a 当 a b 时，在(0 一)和(,+oo)上 y =logjbx)为增函数.a a(2)(2)当a m l 0 ,a 0 且 a w 1，贝 U log“(+P)l o g ,(2)log“初 og“0时於)0.(1)求人g)、川()；(2)证明兀0 是周期函数；记),求 l i m (l n a).命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件,/(为+必)=/5)嗔X

36、2)找到问题的突破U.错解分析：不会利用/(X i+X 2)=i/(X 1),/(X z)进行合理变形.技巧与方法：由曲+冷)=3)F M)变 形 为 灯=吗+卞=吗)吗)吗)是 解决问题的关键.(1)解：因为对X g G 0,g ,都有+X2)=/3)F X 2),所 以 危 尸 吗+立=吗)0,x e 0,1又因为.也)=/(；+；)=/(；)_/(；)=LA|)J 2./(J 尸/(:+!)=/(.1/(!)=/()22 4 4 4 4 4又网尸401-11，戒5)=。2)/(1 尸。4(2)证明：依题意设)于(*)关于直线J C=1对称，故_/(x)=y(l+l x),即 大 彳)寸(

37、2x)/G R.又由.危0是偶函数知式-x)=fix),x e R ,瓜x)=fl,2 一 x)/e R.将上式中一x 以x 代 换 得 )=/+2),这表明,/(X)是R上的周期函数，且 2 是它的一个周期.解：由知心)2 0/6 0,12 2n 2n2n 2n 2n呜).仁).忖)1=E A丁)n=a 22n1 -A 丁 尸 a 2nIn又 7(x)的一个周期是2i i 彤+丁)=/(丁)，因此呢=a 2 2n 2n*lim(In。)=lim(4 In a)=0.-0 0 “TOO 2 例 2 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输

38、成本(以元为单位)山可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比，比例系数为瓦固定部分为a元.(1)把全程运输成本)，(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法:四步法：读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地

39、所用时间为士，全程运输成本为vy=a =5(+b v)v v v所求函数及其定义域为y=S(+b v),v(0,c.v(2)依题意知，S、b、u均为正数：.S(-+b v)2S y a b v当且仅 当 匕 即 尸 口 时，式中等号成立.若口 则当尸他 时，有ymin；v V b V b V b若 J q c,则当 vd(O,c时，S(-+b v)S(-+b c)V b v c=S L()+(/?v-Z?c)=一(c v)(a-b c v)v c vc丁cu2 0,且 c b c2y/.a b c v a b c205(q+)25(q+庆),当且仅当尸。时等号成立，也即当尸c时，有ymin；V

40、c综上可知，为使全程运输成本y最小，当 巫 W c时,行驶速度应为尸 适，当 巫 cb b b时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2);函数 y=x+&(A0),xC(0,+8),当尤e(0,)时，)，单调减小，当 x G(VT,+8)时 yXa单调增加，当x=VTn寸y取得最小值，而全程运输成本函数为尸5贴+2卜6(0 .V；.当 聆 0,给出下列不等式：A b)-A-a)g(a)-g(-h)/S)-a)g(a)-g(-b)-Jl-b)g(h)-g(-其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3 .5*为 若关于x的方程2*+2%+1=0 有实根，则实数。的取值范围

41、是.三、解答题4.()设。为实数，函数/(x)=+|x a l+l G R.(1)讨论外)的奇偶性;(2)求兀0 的最小值.1 1 _ r5.()设大X 尸-4-1 g-.X+l 1+X(1)证明：/(X)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程尸(x 尸0有惟一解；(3)解不等式/x(x)0.i+xy求证：/(-)+/()+-+)/(-).5 J 1 1 n2+3n+l 27.(*)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为2 0 0 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过1 6 米，如果池外周壁建造单价为每米4 0 0 元,中间两条隔墙建造单价为每米2 4 8元,池底建造单

42、价为每平方米80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域.（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.（*为 已知函数段）在（一8,0）u（0,+8）上有定义，且在（0,+8）上是增函数，川尸0,又8（）=sin2 0 wcos 2机，0 G 0,1 ,设 A/=加以 0）0,nzGR,A=mf Lg（。）0J(Xi)f iX2)=f L(X 1 X 2)+X 2一段2)守3-X2)+/(X2)-/(-V l)=-/(X2 X,)因为x0时段)0.於)在-9,9 上是减函数故/(X)的最

43、大值为大-9),最小值为犬9).而4 9)=/(3+3+3)=浜 3 尸9)=-A 9)=12.(x)在 区 间 -9,9 上的最大值为12,最小值为-12.歼灭难点训练一、1.解析：分 类 讨 论 当 时 和 当 时.答案：C2.解析：用特值法，根据题意，可设/(x)=x,g(x)=R,又设。=2/=1,则 f a)=a,g(a)=a Jl b)=b,g(b)=b a)-J(b)=f i2)-f i-1 )=2+1=3.g(*)?(-)=5(i)-5(-2)=12=i.r.y(a)y(&)(i)(2)=i 2=i.又犬人)-/(一。)=/0)一 一2尸 1+2=3.g(a)-g(b)=g(2

44、)g(1)=2-=l,：.f ib)f(-a)=g(a)g(-b).即与成立.答案：C二、3.解析：设 2*=f 0,则原方程可变为*+a r+“+l=OA =-4(+1)0方程有两个正实根，贝 i M+G=-a0t-t2=a +l 0解得：a G(1,22A/2 .答案：(-1,2-2 7 2 三、4.解：当=0 时，函数人一犬尸(一x)2+|x|+l=/(x),此时火x)为偶函数；当 a WO时,加)=/+14 一4=+2+1月一.)壬佃)于则函数/U)在(一8,上的最小值为人5尸 凡 且 人 3)勺匕).1 a 1当尢2 a时，函数於)=/+%+1=0什万)2当 aW 万时，则函数於)在

45、 ,+1 7 1 10 0)上的最小值为八)=凡且人)勺().若a,则函数段)在 凡+8)上单调递增，从而，函数应。在 。,+8上的最小值为八)=2+1.1综上，当 aW 5时，函数兀r)的最小值是彳3 一a,当一51 。忘1时，函 数 的 最 小值是/、+1；当 a ：1 时，函数段)的最小值是+：3.1-x 05.(1)证明：得凡r)的定义域为(-1,1),易判断A x)在(-1,1)内是减函x+2 工0数.(2)证明：.7(0尸;,.尸弓尸。,即x=g是 方 程 尸(x)=0的一个解.若方程/匕)=0还有另一个解x()w g,则/%o)=0,由反函数的定义知/(O)=xoW g,与已知矛

46、盾，故方程/匕尸0有惟一解.(3)解：/x(x；)即/x(x；)0 0或L x史 正42 46.证明：对+为岩冲的秋令土0,得 川 尸。,再令产-x,又 得A W-工)4 0)=0,即次一工尸在R(L 1)上是奇函数.设一14 1 X2 0,则 於i)F t e A/SH/(一X2)=f(),1 X x2 0,xi x2 0./.也一 V O,于是由知l-xx2 -xx2A )0,从而於i)/(犬2)0,即)次工2),故於)在工(1,0)上是单调递减函数.根据1 -xxx2奇函数的图象关于原点对称，知於)在x(0,l)上仍是递减函数，且用0 0.11(+1)(+2)1=(+1)(;+2)1-(

47、+1)(+2)1 _1_=/(%一,*,)=-_ 1 _i_ _ n +1 n +2n+1 n +2/(?)+/(7 7)+,+/(5 11 n+3 +l)=(：)-/(1)+/(!)-/4)+-+(2)-2 3 3 4 n+1 n+2 2+20一 1时，有 了 (工)/(1),故原结论成立.n +2 27.解:因污水处理水池的长为x米,则宽为米,总造价y=4 00(2r+2 X )+24 8 X XX X324X 2+80 X 200=800(x+)+1600,由题设条件x0 x16,200 解 得 12.5WxW16,即函数定义域为 12.5,16.0 -16324(2)先研究函数产)=8

48、00(X+-)+16000在 12.5,16上的单调性，对于任意的修用xe 12.5,16,不妨设 XIX2,则 危 2)心j)=800 (X2-X1)+324(-)=800(X2-I)(1-x2 x324,324 324-),二，12.5WxWMW16.二.0 光 述 2 16 1,即 1 -.0,1西工2於 2)一%】)V0,即於2)7 3%故函数月U)在 12.5,16上是减函数.，当x=16EI寸，y 取得最324 200 200小值，此时，ymin=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米)16x 16综上，当污水处理池的长为16米，宽 为 12.5米时，总造价

49、最低，最低为45000元.8.解：;府)是奇函数，且在(0,+8)上是增函数，./(3)在(一oo,0)上也是增函数.又 川)=0,/(1)=一川)=0,从而，当危)V 0 时,有 1或 OVxVl,则集合 N=/w,g(。)=加以，)V 1 或 OVg()V1,；CN=/n|g()m(cos 0 2)+2,。0,令:r=cos6,xG 0,1 得:X1m(x2)+29x G 0,1 ,令：yi=x2,x 0,1 及九=(加一2)+2,显然为抛物线一段，是过(2,2)点的直线系，在同一坐标系内由元 0,1 得 力 处,m42 V 2，故 M Pl N=mm42 V2.2 0 1 1高考数学易错

50、题解题方法大全(3)选择题【范例 1 集合4=3 082。,8=5,外,若4 0 8 =2,则 41；8=()A.2,3,4 B.2,4 C.2,3 D.1,2,3,4答案：A【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。【解题指导】v 4 Q B=2,.log,a=2,a=4,b=2.【练 习 1】已知集合P=卜卜+1|2,Q=x x 一3)D.a l【范例2】函数y =J(x l)(x-2)+J=的定义域为()A.x|x 2 B.x|x 1 C.1 x|x 2 j u l D.x|x N 2 或x 4 1 答案：C【错解分析】此题容易错选为A,容易漏掉x =l 的情况。【解题指导】求具体函数