概率论与数理统计3.2-二维连续型随机变量及其概课件.ppt

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1、一.联合分布函数与边缘分布函数1.定义3.3 对随机变量(X,Y)和任意的实数x,y,定义二元函数称为二维随机变量的联合分布函数.(x,y)表示随机点落入以(x,y)为右上顶点的阴影部分的概率.第二节 二维连续型随机变量及其概率分布12.联合分布函数的特征1).固定x或y,则F对y或x是单调递增的;2).3).对x和y分别是右连续的;4).即若函数F满足以上四条,就可以作为二维随机变量的联合分布函数.2x1x2y1y2联合分布函数表示矩形域概率F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)33.边缘分布函数由联合分布函数可以确定边缘分布函数,反之,一般来说不可以.反例请

2、参看3.2.5.可以证明 分别是一维的分布函数.4 若存在非负函数 f(x,y)，使得对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表示成如下形式 则称(X,Y)是二维连续型随机变量。f(x,y)称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二.联合密度函数与边缘密度函数 1.定义52.联合概率密度函数的性质1)-2)为密度函数的特征.即1).非负性2).6随机事件的概率=曲顶柱体的体积;点和平面曲线对应的概率为0.3.二维连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系1).对于(x,y)为f 的连续点;2).特别的,74.边缘密度函数1).定义2).边缘密度函数与联合密度函数

3、的关系联合密度边缘密度,反之不成立.8(1).确定常数k；(2).求 的分布函数；(4).求设二维随机变量的概率密度为 例(3).(5).求边缘密度9(1).所以 解(1).确定常数k；10(2).当 或 时，当 时，所以，(2).求 的分布函数；1 1(3).4 1或解 12(4).(5).13例题1,例题414224例 已知二维随机变量(X,Y)的分布密度为 求概率 解(1).115(2).x+y=3 16思考 已知二维随机变量（X,Y）的分布密度为 求概率 2241解答 175.二维均匀分布1).定义 设二维随机变量 的概率密度为 上服从均匀分布.在 则称是平面上的有界区域，其面积为,其

4、中18 例 已知二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解(1).(X,Y)的密度函数为（a）当 时，分布函数为 y=2x+1-1/2 119y=2x+1-1/2（b）当 时，20y=2x+1-1/2（c）当 时，21所以，所求的分布函数为 220.5y=2x+1-1/2(2).2324练习题25例题226练习题27三.条件密度函数定义,了解,不要求.28四.随机变量的独立性1.定义.相互独立,如果 二维连续型随机变量容易得到此式对于一般的独立的二维随机变量也是对的.2.性质.如果相互独立,则(i).相互独立;(ii).也是相互独立的.293031证明随机变量不是相互独立的,先求出边缘密度,再验证,或者可以直接检查密度函数是否为变量分离的.32五.二维正态分布设二维随机变量 的概率密度为 其中均为参数 则称 服从参数为 的二维正态分布 33性质第六目,自行阅读,考试不要求.34