图象处理中的正交变换.ppt

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1、第四章第四章 图象处理中的正交变换图象处理中的正交变换空域处理法空域处理法频域（变换域）处理法频域（变换域）处理法在频域处理中最为关键的预处理就是变换处理。在频域处理中最为关键的预处理就是变换处理。这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件。格可逆的，并且满足一定的正交条件。在图象处理中正交变换被广泛应用于图象特征在图象处理中正交变换被广泛应用于图象特征提取、图象增强、图象复原、图象识别、图象编码提取、图象增强、图象复原、图象识别、图象编码等处理中。等处理中。本章的几个重要问题本章的几个重要问题l空间域图像变换到频域

2、的具体实现（图像空间域图像变换到频域的具体实现（图像离散傅立叶变换与反变换公式）离散傅立叶变换与反变换公式）l频域图像的表达特点与理解（经中心变换频域图像的表达特点与理解（经中心变换后，低频在内，高频在外）后，低频在内，高频在外）l对频域低通滤波的理解对频域低通滤波的理解l对频域高通滤波的理解对频域高通滤波的理解频域变换频域变换:理论基础理论基础l理论基础理论基础线性系统线性系统卷积与相关卷积与相关线性系统线性系统l线性系统线性系统系统系统的定义：的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出系统的输入是一个或两个

3、变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。是相同变量的另一个函数。x(t)x(t)输入输入系统y(t)y(t)输出输出l线性系统线性系统线性系统线性系统的定义：的定义：对于某特定系统，有：对于某特定系统，有：x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：从而有：a*x1(t)a*y1(t)l线性系统线性系统线性系统线性系统平移不变性平移不变性的定义：的定义：对于某线性系统，有：对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移当输入信号沿时间轴平移T，有：有：x(t-T)y(t-T)则称该线性系

4、统具有平移不变性则称该线性系统具有平移不变性卷卷 积积l卷积卷积卷积的定义卷积的定义离散一维卷积离散一维卷积二维卷积的定义二维卷积的定义离散二维卷积离散二维卷积卷积卷积的定义的定义l对于一个线性系统的输入对于一个线性系统的输入f(t)和输出和输出h(t)，如果有一如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助分析，将大有帮助l卷积积分就是这样的一般表达式卷积积分就是这样的一般表达式 h(t)=g(t-)f()d 记为：记为：h=g*f -g(t)称为称为冲激响应函数冲激响应函数离散一维卷积离散一维卷积 h(i)=f(i)*g(i

5、)=f(j)g(i-j)j二维卷积的定义二维卷积的定义 h(x,y)=f*g=f(u,v)g(x u,y v)dudv -离散二维卷积离散二维卷积h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x m,y n)m n傅立叶变换傅立叶变换l周期函数可以表示周期函数可以表示为不同频率的正弦为不同频率的正弦和和/或余弦和的形或余弦和的形式式l非周期函数可以用非周期函数可以用正弦和正弦和/或余弦乘或余弦乘以加权函数的积分以加权函数的积分来表示来表示这这种情况种情况下的公式就是傅立下的公式就是傅立叶变换叶变换傅立叶变换傅立叶变换l一维连续傅立叶变换：几个概念一维连续傅立叶变换：几个概念 假假设设函函数数f(x)为

6、为实实函函数数。但但一一个个实实函函数数的的傅傅立叶变换可能为复函数：立叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+jI(u)（1）傅立叶变换的幅度或频率谱：傅立叶变换的幅度或频率谱：|F(u)|=R2(u)+I2(u)1/2（2）傅立叶变换的功率谱傅立叶变换的功率谱/能量谱能量谱：P(u)=|F(u)|2 =R2(u)+I2(u)傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换l一维连续傅立叶变换：几个概念一维连续傅立叶变换：几个概念（3）傅立叶变换的傅立叶变换的相位谱相位谱：(u)=tan-1(I(u)/R(u)（4）傅立叶变换中的变量傅立叶变换中的变量u通常称为通常称为频率变量频

7、率变量 这个名称源于欧拉公式中的指数项这个名称源于欧拉公式中的指数项 exp-j2 ux=cos2 ux -jsin2 ux（exp j a=cosa -jsina）如如果果把把傅傅立立叶叶变变换换的的积积分分解解释释为为离离散散项项的的和和，则则易易推推出出F(u)是是一一组组sin和和cos函函数数项项的的无无限限和和，其其中中u的的每每个个值决定了其相应值决定了其相应cos,sin函数对的频率。函数对的频率。先以一维为例：先以一维为例：傅立叶变换傅立叶变换 l二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质2.平移性平移性移中性移中性直接变换：原图像f（x，y）FT能量分布于四角（示意图）移中的

8、变换：移中FT能量集中于中心（示意图）傅立叶变换傅立叶变换 l二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质2.平移性频域图像（幅度谱）原图像幅度谱（频率谱）中每一点幅度谱（频率谱）中每一点(u,v)的幅度的幅度|F(u,v)|可用来表示可用来表示该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。l均值性均值性均值性的描述：均值性的描述：离散函数的均值等于该函数傅立离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在叶变换在(0,0)(0,0)点的值点的值 M-1N-1 F(0,0)=1/MNf(x,y)e0 x=0 y=0l周期与共轭对称周期与共轭对称周期性的描述：离散傅

9、立叶变换周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和和它的逆变换是以它的逆变换是以N为周期的为周期的对于一维傅立叶变换有：对于一维傅立叶变换有：F(u)=F(u+N)对于二维傅立叶变换有：对于二维傅立叶变换有：F(u,v)=F(u+M,v+N)l周期与共轭对称周期与共轭对称共轭对称性的描述：共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数为中心的共轭对称函数对于一维傅立叶变换有：对于一维傅立叶变换有：F(u)=F*(-u)对于二维傅立叶变换有：对于二维傅立叶变换有：F(u,v)=F*(-u,-v)*表示对于复数的标准共轭操作表示对于复数的标准共轭操作l快速傅立叶变换（

10、快速傅立叶变换（FFTFFT）及编程实现）及编程实现l离散余弦变换离散余弦变换l沃尔什变换沃尔什变换l哈尔函数及哈尔变换哈尔函数及哈尔变换l斜矩阵与斜变换斜矩阵与斜变换l小波变换小波变换快速算法（快速算法（MallatMallat算法）算法）频域增强频域增强l频域增强的理论基础频域增强的理论基础卷积理论卷积理论l被处理图象被处理图象f(x,y)f(x,y)l变换函数变换函数h(x,y)/*h(x,y)/*线性、位置无关操作线性、位置无关操作l目标图象目标图象g(x,y)g(x,y)有卷积：有卷积：g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)有等式：有等式：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)有等

11、式：有等式：g(x,y)=F-1H(u,v)F(u,v)l频域增强的原理频域增强的原理频率频率平面与图象平面与图象空域空域特性的特性的关系关系l图图象象变变化化平平缓缓的的部部分分靠靠近近频频率率平平面面的圆心，这个区域为的圆心，这个区域为低频区域低频区域l图图象象中中的的边边、噪噪音音、变变化化陡陡峻峻的的部部分分，以以放放射射方方向向离离开开频频率率平平面面的的圆圆心心，这个区域为这个区域为高频区域高频区域l频域增强的原理频域增强的原理变化平缓部分变化平缓部分边、噪音、变化陡峭部分边、噪音、变化陡峭部分uvl频域增强的处理方法频域增强的处理方法 对于给定的图象对于给定的图象f(x,y)和目

12、标，和目标，用（用（-1）x+y*f(x,y)进行中心变换进行中心变换计算出它的傅立叶变换计算出它的傅立叶变换F(u,v)选择一个变换函数选择一个变换函数H(u,v)，计算计算H(u,v)F(u,v)(注意：并非到空域找注意：并非到空域找)计算出它的反傅立叶变换计算出它的反傅立叶变换用（用（-1）x+y乘以上面结果的实部，得目标图像乘以上面结果的实部，得目标图像H(u,v)被称为滤波器被称为滤波器l陷波滤波器（带阻）陷波滤波器（带阻）离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值点的值 M-1N-1 F(0,0)=1/MNf(x,y)e0 x=0 y=

13、0H(u,v)=0,(u,v)=(M/2,N/2)1,elseSEM即扫描电子显微镜图片l频域增强与空域模板增强的关系频域增强与空域模板增强的关系卷积的离散表达式，基本上可以理解为模板运算的数卷积的离散表达式，基本上可以理解为模板运算的数学表达方式学表达方式 M-1 N-1g(x,y)=f*h=f(m,n)h(x m,y n)m=0 n=0因此，卷积的冲击响应因此，卷积的冲击响应h(x,y)，被称为被称为空域卷积模板空域卷积模板，这种称谓仅在模板相对中心原点是对称的时，才是成这种称谓仅在模板相对中心原点是对称的时，才是成立的立的l频域增强与空域增强的关系频域增强与空域增强的关系在实践中，小的空

14、间模板比傅立叶变换用得在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现，操作快捷。多得多，因为它们易于实现，操作快捷。对对于于很很多多在在空空域域上上难难以以表表述述清清楚楚的的问问题题，对对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩频域概念的理解就显得十分重要（如压缩)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域过滤器频域过滤器低通过滤低通过滤高通过滤高通过滤同形过滤器同形过滤器图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l低通过滤低通过滤频域低通过滤的基本思想频域低通过滤的基本思想理想低通过滤器理想低通过滤器Butterwort

15、h低通过滤器低通过滤器高斯低通过滤器高斯低通过滤器图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域低通过滤的基本思想频域低通过滤的基本思想G(u,v)=F(u,v)H(u,v)G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式是需要钝化图像的傅立叶变换形式H(u,v)H(u,v)是选取的一个过滤器变换函数是选取的一个过滤器变换函数G(u,v)G(u,v)是通过是通过H(u,v)H(u,v)减少减少F(u,v)F(u,v)的高频部分的高频部分来得到的结果来得到的结果运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。图像增强图像增强:频域过滤频域

16、过滤l理想低通过滤器理想低通过滤器理想低通过滤器的定义理想低通过滤器的定义理想低通过滤器截止频率的设计理想低通过滤器截止频率的设计理想低通过滤器的分析理想低通过滤器的分析图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的定义理想低通过滤器的定义一个二维的理想低通过滤器（一个二维的理想低通过滤器（ILPF）的转换的转换函数满足（是一个分段函数）函数满足（是一个分段函数）其中：其中：D0 为截止频率为截止频率 D(u,v)为距离函数为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2图像增强:频域过滤l理想低通过滤器的透视图理想低通过滤器的透视图图像图像显示、截面图显示、截面图H(u,v)H(u,v)

17、作为距离函数作为距离函数D(u,v)D(u,v)的函数的截面图的函数的截面图图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的截止频率的设计理想低通过滤器的截止频率的设计先求出总的信号能量先求出总的信号能量PT：其中：其中：p(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)是能量模是能量模图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的截止频率的设计理想低通过滤器的截止频率的设计如如果果将将变变换换作作中中心心平平移移，则则一一个个以以频频域域中中心心为为原点，原点，r为半径的圆就包含了百分之为半径的圆就包含了百分之的能量的能量图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过

18、滤器的截止频率的设计理想低通过滤器的截止频率的设计图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的截止频率的设计理想低通过滤器的截止频率的设计求出相应的求出相应的D0r=D0=(u2+v2)1/2上面例子：上面例子：D0=5,15,30,80,230=92,94.6,96.4,98,99.5 图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的分析理想低通过滤器的分析整个能量的整个能量的90%被一个直径为被一个直径为8的小圆周包含的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的10%的能量中的能量中小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的小的边界和其它

19、尖锐细节信息被包含在频谱的至多至多0.5%的能量中的能量中被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果理想低通滤波器的一种特性所影响理想低通滤波器的一种特性所影响图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想低通过滤器的分析理想低通过滤器的分析振铃效果振铃效果理想低通滤波器的一种特性理想低通滤波器的一种特性图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器低通过滤器Butterworth低通过滤器的定义低通过滤器的定义Butterworth低通过滤器截止频率的低通过滤器截止频率的设计设计Butterworth低通过滤器的

20、分析低通过滤器的分析图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器的定义低通过滤器的定义一个截止频率在与原点距离为一个截止频率在与原点距离为D0的的n阶阶Butterworth低通过滤器（低通过滤器（BLPF）的变换函的变换函数如下：数如下：图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器的截面图等低通过滤器的截面图等H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth过滤器截止频率的设计过滤器截止频率的设计变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉

21、的截止频率的明显划分的和被过滤掉的截止频率的明显划分通常把通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点点当作其截止频率点有两种选择：有两种选择：选择选择1：H(u,v)=0.5 当当 D0=D(u,v)时时图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth过滤器截止频率的设计过滤器截止频率的设计选择选择2：H(u,v)=1/2 当当 D0=D(u,v)时时图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器的分析低通过滤器的分析在任何经在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显处理过的图像中

22、都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果的平滑过渡的结果低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程减少干扰效果的修饰过程图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器的分析低通过滤器的分析BLPF处理过的图像中都没有振铃效果处理过的图像中都没有振铃效果图像增强:频域过滤l高斯低通过滤器高斯低通过滤器图像增强:频域过滤l高斯低通过滤器高斯低通过滤器没振铃没振铃图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过

23、滤l高通过滤高通过滤频域高通过滤的基本思想频域高通过滤的基本思想理想高通过滤器理想高通过滤器Butterworth高通过滤器高通过滤器图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域高通过滤的基本思想频域高通过滤的基本思想G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)是需要锐化图像的傅立叶变换形式。是需要锐化图像的傅立叶变换形式。目标是选取一个过滤器变换函数目标是选取一个过滤器变换函数H(u,v)，通过通过它减少它减少F(u,v)的低频部分来得到的低频部分来得到G(u,v)。运用傅立叶逆变换得到锐化后的图像。运用傅立叶逆变换得到锐化后的图像。图像增强图像增强:频域

24、过滤频域过滤l理想高通过滤器理想高通过滤器理想高通过滤器的定义理想高通过滤器的定义理想高通过滤器截止频率的设计理想高通过滤器截止频率的设计理想高通过滤器的分析理想高通过滤器的分析图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想高通过滤器的定义理想高通过滤器的定义一个二维的理想高通过滤器（一个二维的理想高通过滤器（IHPF）的转换函的转换函数满足（是一个分段函数）数满足（是一个分段函数）其中：其中：D0 为截止频率为截止频率 D(u,v)为距离函数为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/201图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想高通过滤器的截面图理想高通过滤器的截面图0D0D(u,v)H(u,v

25、)1H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l理想高通过滤器的三维透视图理想高通过滤器的三维透视图vuH(u,v)H(u,v)H(u,v)作为作为u u、v v的函数的三维透视图的函数的三维透视图图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth高通过滤器高通过滤器Butterworth高通过滤器的定义高通过滤器的定义Butterworth高通过滤器截止频率设计高通过滤器截止频率设计Butterworth高通过滤器的分析高通过滤器的分析图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth高通过滤器的定义

26、高通过滤器的定义一个截止频率在与原点距离为一个截止频率在与原点距离为D0的的n阶阶Butterworth高通过滤器（高通过滤器（BHPF）的变换函的变换函数如下：数如下：D0 /D(u,v)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth高通过滤器的截面图高通过滤器的截面图02D(u,v)/D0H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图130.5图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth高通过滤器截止频率设计高通过滤器截止频率设计变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分和被过

27、滤掉的截止频率的明显划分通常把通常把H(u,v)开始小于其最大值（开始小于其最大值（1）的一定比例）的一定比例的点当作其截止频率点的点当作其截止频率点有两种选择：有两种选择：选择选择1：H(u,v)=0.5 当当 D0=D(u,v)时时D0 /D(u,v)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth高通过滤器截止频率设计高通过滤器截止频率设计选择选择2：H(u,v)=1/2 当当 D0=D(u,v)时时D0 /D(u,v)D0 /D(u,v)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤lButterworth低通过滤器的分析低通过滤器的分析问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去问题：低频

28、成分被严重地消弱了，使图像失去层次层次改进措施：改进措施：l加一个常数到变换函数加一个常数到变换函数 H(u,v)+A 这种方法被称为这种方法被称为高频强调高频强调l为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后后过滤处理过滤处理图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l高斯高通过滤器高斯高通过滤器图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器同形过滤器同形过滤器的基本思想同形过滤器的基本思想同形过滤器的定义同形过滤器的定义同形过滤器的效果分析同形过滤器的效果分析

29、图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的基本思想同形过滤器的基本思想一个图像一个图像f(x,y)可以根据它的明度和反射分量可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示的乘积来表示 f(x,y)=i(x,y)r(x,y)其中：其中：i(x,y)为明度函数，为明度函数，r(x,y)反射分量函数反射分量函数通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现来改进图像的表现图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义因因为为两两个个函函数数乘乘积积的的傅傅立立叶叶变变换换不不是是可可分分离离的的，也即：也即：Ff(x,y)Fi(x,y

30、)Fr(x,y)然而假设我们定义然而假设我们定义z(x,y)=ln f(x,y)=ln i(x,y)r(x,y)=ln i(x,y)+ln r(x,y)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义那么有：那么有：Fz(x,y)=Fln f(x,y)=Fln i(x,y)+Fln r(x,y)或或Z(u,v)=I(u,v)+R(u,v)其其中中I(u,v)和和R(u,v)分分别别是是ln i(x,y)和和ln r(x,y)的傅立叶变换的傅立叶变换图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义用过滤器函数用过滤器函数H(u,v)的方法处理的方法处理Z(

31、u,v)，有：有：S(u,v)=H(u,v)Z(u,v)=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v)其中其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换是结果图像的傅立叶变换在空域中：在空域中：s(x,y)=F-1S(u,v)=F-1H(u,v)I(u,v)+F-1H(u,v)R(u,v)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义通过设：通过设：i(x,y)=F-1H(u,v)I(u,v)r(x,y)=F-1H(u,v)R(u,v)上页等式可以表示为：上页等式可以表示为：s(x,y)=i(x,y)+r(x,y)最最后后，通通过过i(x,y)和和 r(x,y)的的逆逆操操

32、作作（指数操作）产生增强后的图像（指数操作）产生增强后的图像g(x,y)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义也即：也即：g(x,y)=exps(x,y)=expi(x,y)expr(x,y)=i0(x,y)r0(x,y)其中其中i0(x,y)=expi(x,y)和和r0(x,y)=expr(x,y)是输出图像的明度和反射分量。是输出图像的明度和反射分量。g 0(x,y)=i0(x,y)r0(x,y)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的定义同形过滤器的定义利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：这这个个方方法法基基于

33、于一一类类称称作作同同形形系系统统的的特特殊殊情情况况。在在此此特特定定应应用用中中，问问题题的的关关键键在在于于将将明明度度和和反反射射分分量量用用进进行行分分离离。同同形形过过滤滤器器函函数数H(u,v)能能够够分分别别对这两部分进行操作。对这两部分进行操作。lnFFTH(u,v)(FFT)-1expf(x,y)g(x,y)图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的效果分析同形过滤器的效果分析图像的图像的明度分量明度分量的特点是的特点是平缓的空域变化平缓的空域变化，而而反射分量反射分量则近于则近于陡峭的空域变化陡峭的空域变化这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的这些特性使得将图像的对

34、数的傅立叶变换的低频部分低频部分对应于对应于明度分量明度分量，而，而高频部分高频部分对应对应于于反射分量反射分量尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作它们可以用于优化图像的增强操作图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的效果分析同形过滤器的效果分析一个好的控制可以通过用同形过滤器对明一个好的控制可以通过用同形过滤器对明度和反射分量分别操作来得到度和反射分量分别操作来得到这个控制要求指定一个过滤器函数这个控制要求指定一个过滤器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同

35、的影响是不同的图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同形过滤器的截面图同形过滤器的截面图0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)的函数的截面图H HL L图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l同态过滤器的效果分析同态过滤器的效果分析如果参数如果参数L和和H的选取使得的选取使得L 1前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效范围，又扩大了对比度。范围，又扩大了对比度。图像增强图像增强:频域过滤频域过滤图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l从频域规范产生空域模板从频域规范产生空域

36、模板 频域变换到空域模板的基本思想频域变换到空域模板的基本思想 频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的基本思想频域变换到空域模板的基本思想希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器的方法的方法频域的过滤器操作基于以下等式：频域的过滤器操作基于以下等式：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)频频域域的的过过滤滤器器操操作作可可以以由由空空域域上上的的卷卷积积公公式式实现：实现：图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导 h通常称作空

37、域卷积模板通常称作空域卷积模板,可理解为可理解为H(u,v)的逆的逆傅立叶变换。傅立叶变换。这里已经找到了这里已经找到了H与与h的关系的关系。h=H-1(u,v)也即：也即：且：且：g=G-1(u,v)u,v=0,1,2,N-1（N太大太大,不是实用模板不是实用模板）图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导假假设设h(x,y)在在 xn 且且 yn 时时值值均均为为0，其其中中 nn 且且 yn 时时值值均均为为0，其其中中 nN。这这个个限限制制创创建建了了一一个个n*n大大小小的的用用傅傅立立叶叶变变换换H(u,v)得到的卷积模板得到

38、的卷积模板 h(x,y)=N x Nn x n图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导其中：其中：是一个按行展开是一个按行展开 (u,v)中元素得到的列向量中元素得到的列向量由由 (u,v)产生向量的元素产生向量的元素 (i)，i=0,1,2,N2-1的过程是的过程是其中：其中：i=uN+v，u,v=0,1,2,N-1。令：令：u=0,v=0,1,2,N-1;u=1,v=0,1,2,N-1；以此类推以此类推图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导h是一个按行展开是一个按行展开h(u,

39、v)中元素得到的列向量中元素得到的列向量h的的元元素素表表示示为为h(k),k=0,1,2,n2-1，可可以以同同样样生成生成其中其中:k=xn+y，x,y=0,1,2,n-1。令：令：x=0,y=0,1,2,N-1;x=1,y=0,1,2,N-1；以此类推以此类推图像增强图像增强:频域过滤频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导C是一个是一个N2*n2的系数矩阵的系数矩阵C对应的元素表示为对应的元素表示为C(i,k)，通过指数项产生通过指数项产生其其中中 i=uN+v，k=xn+y，u,v=0,1,2,N-1，x,y=0,1,2,n-1。是一个矩形矩阵是一个矩形

40、矩阵图像增强:频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导 H =C h图像增强:频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导下下面面讨讨论论的的目目标标是是找找到到一一个个h(x,y)的的系系数数C，使得以下误差达到最小。使得以下误差达到最小。这里这里|.|代表复数的模代表复数的模 图像增强:频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导 取空域的导数，并令其等于零向量，得到e2关于的最小值e2=|H-H|2=|Ch-H|2图像增强:频域过滤l频域变换到空域模板的关系式推导频域变换到空域模板的关系式推导 这里矩阵这里矩阵C#=（C*C）-1C*通常称作通常称作Moore-Penrose逆生成逆生成