学案推理与证明.ppt

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1、学案学案4 推理与证明推理与证明 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 一、推理一、推理1.合情推理的基本概念合情推理的基本概念(1)从结构上说，推理一般是由两部分组成，一部分是从结构上说，推理一般是由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做已知的事实（或假设），叫做 ；一部分；一部分是由已知推出的判断，叫做是由已知推出的判断，叫做 .前提前提 结论结论 返回目录返回目录(2)合情推理的主要形式有合情推理的主要形式有 和和 .2.演绎推理的基本概念演绎推理的基本概念(1)根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做题为真的推理

2、，叫做 .(2)把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做 .二、证明二、证明 1.直接证明的有关概念直接证明的有关概念 (1)直接证明是从命题直接证明是从命题 的的 或或出发，根据已知的定义、公理、定理，出发，根据已知的定义、公理、定理，推证结论的真实性推证结论的真实性.归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 演绎推理演绎推理 完全归纳推理完全归纳推理 条件条件 结论结论 直接直接返回目录返回目录(2)常用的直接证明方法有常用的直接证明方法有 与与 .(3)综合法是从综合法是从 推导到推导到 的思维的思维方法，而分析法是一种从方法，而分析法是一种从 追溯到追溯到

3、 的思维方法的思维方法.具体地说，综合法是从已知条件出发，经具体地说，综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论过逐步的推理，最后达到待证结论.分析法则是从待证分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的结论出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.综合法综合法 分析法分析法 原因原因 结果结果 结果结果 产生这一结果的原因产生这一结果的原因 充分充分 返回目录返回目录(2).间接证明的相关概念间接证明的相关概念（1）一般地，由证明）一般地，由证明pq转向证明：转向证明：qrt,t与与假设矛盾，或与

4、某个真命题矛盾，从而判定假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q为假，为假，推出推出q为真的方法，叫做反证法为真的方法，叫做反证法.（2）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾可以是与 矛盾，或与矛盾，或与 矛盾，或与矛盾，或与 矛盾等矛盾等.公认的简单事实公认的简单事实假设假设 数学公理、定理、数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论公式、定义或已被证明了的结论 返回目录返回目录 【分析】【分析】【分析】【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通

5、项前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点一考点一考点一考点一 归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理 在数列在数列an中，中，a1=1,an+1=(nN+),猜想这个猜想这个数列的通项公式数列的通项公式.名师伴你行【解析】【解析】【解析】【解析】an中，中，a1=1,a2=a3=a4=,所以猜想所以猜想an的通项公式的通项公式an=.证明如下：因为证明如下：因为a1=1,an+1=,所以所以 即即 所以数列所以数列 是以是以 =1为首项为首项,公差为公差为 的等的等差数列差数列.所以所以 .所以通项公式所以通项公式an=.返回目录返回目录 名师伴你行 通通过过归归纳纳推推理理得得出出的的结结

6、论论可可能能正正确确，也也可可能能不不正正确确，它它的的正正确确性性需需通通过过严严格格的的证证明明，猜猜想想所所得得结结论论即即可可用用演演绎绎推推理理给给出出证证明明.虽虽然然由由归归纳纳推推理理所所得得出出的的结结论论未未必必是是正正确确的的，但但它它所所具具有有的的由由特特殊殊到到一一般般、由由具具体体到到抽抽象象的的认认识识过过程程，对对于于数数学学的的发发现现、科科学学的的发发明明是是十十分分有有用用的的.通通过过观观察察实实验验，对对有有限限的的资资料料作作归归纳纳整整理理，提提出出带带有有规规律律性性的的猜猜想想，也也是是数数学学研研究究的的基基本本方方法法之之一一，归归纳纳推

7、推理理的的一一般般步步骤骤是是：（1）通通过过观观察察个个别别情情况况发发现现某某些些相相同同性性质质；（2）从从已已知知的的相相同同性性质质中中推推出出一一个个 明明 确确 表表 达达 的的 一一 般般 性性 命命 题题（猜猜 想想）.返回目录返回目录 名师伴你行对应演练对应演练对应演练对应演练设设f(n)=n2+n+41,nN*,计算计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值的值,同时作出归纳推理同时作出归纳推理,并用并用n=40验证猜想是否正确验证猜想是否正确.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,

8、f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=72,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数都为质数,归纳猜想归纳猜想:当当nN*时时,f(n)=n2+n+41的值都为质数的值都为质数,当当n=40时时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141.f(40)的值是合数的值是合数,因此因此,由上面归纳推理得到的猜想不正由上面归纳推

9、理得到的猜想不正确确.名师伴你行返回目录返回目录 在在ABC中，中，ABAC于于A,ADBC于于D，求证，求证:，那么在四面体，那么在四面体ABCD中，类比上述中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【分析】【分析】【分析】【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明以证明.考点二考点二考点二考点二 类比推理类比推理类比推理类比推理 名师伴你行返回目录返回目录【证明】【证明】【证明】【证明】如图如图11-3-1所示，

10、由射影定理得所示，由射影定理得AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC.又又BC2=AB2+AC2,猜想：类比猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体猜想四面体ABCD中，中，AB,AC,AD两两垂直两两垂直,名师伴你行AE平面平面BCD.则则如图，连结如图，连结BE交交CD于于F，连结，连结AF.ABAC，ABAD,AB平面平面ACD，而，而AF面面ACD,ABAF.而而RtABF中，中，AEBF,在在RtACD中，中，AFCD,故猜想正确故猜想正确.返回目录返回目录 名师伴你行 根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其

11、中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具类比推理应从具

12、体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象的两类对象.类比推理的一般步骤是：（类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的）找出两类事物之间的相似性或一致性相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练在等差数列在等差数列an中，若中，若

13、a10=0，则有等式，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类成立，类比上述性质，相应地比上述性质，相应地:在等比数列在等比数列bn中，若中，若b9=1，则，则有等式有等式 成立成立.名师伴你行返回目录返回目录 b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由题设可知，由题设可知，如果如果am=0，则有，则有a1+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果成立，如果m+n=p+q，其中，其中m，n,p,q是是自然数，对于等差数列，则有自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等，而对于等比数列，则有比数列，则有b

14、mbn=bpbq，所以可以得到结论，若，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式，则有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，在本题中成立，在本题中m=9.)名师伴你行返回目录返回目录 在锐角三角形在锐角三角形ABC中，中，ADBC，BEAC，D,E是垂是垂足足.求证：求证：AB的中点的中点M到到D,E的距离相等的距离相等.考点三考点三考点三考点三 演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 【分析】【分析】【分析】【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线性质作为大前提线性质作为大前提.名师伴你行【证明】【证明】【证明】【证明】（1）

15、因为有一个内角是直角的三角形是直角）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形三角形 大前提大前提在在ABD中，中，ADBC，即，即ADB=90 小前提小前提所以所以ABD是直角三角形是直角三角形 结论结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提大前提 而而M是是RtABD斜边斜边AB的中点，的中点，DM是斜边上的中线是斜边上的中线 小前提小前提所以所以DM=AB.同理同理EM=AB.所以所以DM=EM.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的

16、三段论推理结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P，S是是M的子集，那么的子集，那么S中所有元素都具有性质中所有元素都具有性质P.三段论的公式三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系特殊情况的内在联系,从而产生了第三个

17、判断结论从而产生了第三个判断结论.演演绎推理是一种必然性推理绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论导致错误的结论.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 证明证明证明证明:根据题意根据题意,0 ,0 ,0+,又又tan=,tan=,tan(+)=0+0,故只要证故只要证考点四考点四考点四考点四 分析法证明分析法证明分析法证明分析法证明 已知已

18、知a0,求证求证:【分析】【分析】【分析】【分析】所给条件简单所给条件简单,所证结论复杂所证结论复杂,一般采用分析法一般采用分析法.名师伴你行从而只要证从而只要证只要证只要证 即即 ,而上述不等式显然成而上述不等式显然成立立,故原不等式成立故原不等式成立.返回目录返回目录 即即名师伴你行返回目录返回目录 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证就证明程序来讲明程序来讲,它是一种从未知到已知它是一种从未知到已知(从结论到题设从结论到题设)的的逻辑推理方法逻辑推理方法.具体地说具体地说,即先假设所要证明的结论是即先假设所要证明的结论是正确的正确的,由此逐步

19、推出保证此结论成立的充分条件由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而而当这些判断恰恰都是已证的命题当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.名师伴你行对应演练对应演练对应演练对应演练已知已知0a1,0b1,00,b0,c0,要证要证 ,只需证只需证1+ab+bc+caa+b+c+abc,即即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0.1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)(1-b)(1-c),且且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0,1+ab+

20、bc+ca-(a+b+c+abc)0成立成立,.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析】【分析】【分析】【分析】不等式中的不等式中的a,b,c为对称的，所以从基本的为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式性质推导出证明的结论据不等式性质推导出证明的结论.考点五考点五考点五考点五 综合法证明综合法证明综合法证明综合法证明 已知已知a,b,c0.求证：求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录【证明】【证明】【证明】【证明】a2+b22ab,a0,b0,(a

21、2+b2)(a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.将三式相加得将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).名师伴你行 （1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、

22、同向不等式相乘等，基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法.（2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性性.返回目录返回目录 名师伴你行在锐角三角形在锐角三角形ABC中中,求证：求证：sinA+sinB

23、+sinCcosA+cosB+cosC.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练名师伴你行证明证明证明证明:锐角三角形锐角三角形ABC中，中，A+B ,A -B.0 -BA .又又在（在（0,）内正弦函数是单调递增函数）内正弦函数是单调递增函数,sinAsin（-B）=cosB.即即sinAcosB.同理，同理，sinBcosC,sinCcosA.由由+得得sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析】【分析】【分析】【分析】本题结论以本题结论以“至少至少”形式出现，从正面思形式出现，从正面思考考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以

24、证明有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点六考点六考点六考点六 反证法证明反证法证明反证法证明反证法证明 若若x,y都是正实数，且都是正实数，且x+y2,求证：求证：或或 中至少有一个成立中至少有一个成立.返回目录返回目录 名师伴你行 【证明】【证明】【证明】【证明】假设假设 或或 都都不成立不成立,则有则有 和和 同时成立同时成立.因为因为x0且且y0，所以，所以1+x2y,且且1+y2x.两式相加，得两式相加，得2+x+y2x+2y.所以所以x+y2.这与已知条件这与已知条件x+y2矛盾矛盾.因此因此 和和 中至少有中至少有一个成立一个成立.返回目录返回目录 名师伴你行 （1）当

25、一个命题的结论是以）当一个命题的结论是以“至多至多”“至少至少”“唯一唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已与已知条件矛盾，知条件矛盾，与假设矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理与定义、公理、定理矛盾，矛盾，与事实矛盾等方面与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定

26、理不能是用本题的结论证明的定理定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循否则，将出现循环论证的错误环论证的错误.返回目录返回目录 名师伴你行已知数列已知数列an的前的前n项的和项的和Sn满足满足Sn=2an-3n(nN*).(1)求证：求证：an+3为等比数列为等比数列,并求并求an的通项公式的通项公式;(2)数列数列an是否存在三项使它们按原顺序可以构成等是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列差数列?若存在若存在,求出一组适合条件的项求出一组适合条件的项;若不存在若不存在,请说请说明理由明理由.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练名师伴你行(1)证明证明证明证明:Sn

27、=2an-3n(nN*),a1=S1=2a1-3,a1=3.Sn=2an-3n Sn+1=2an+1-3(n+1),得得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,an+1+3=2(an+3),an+3是首项为是首项为a1+3=6,公比为公比为2的等比数列的等比数列.an+3=62n-1,即即an=3(2n-1).返回目录返回目录 又由又由名师伴你行(2)假设数列假设数列an中存在三项中存在三项ar,as,at(rst),它们可以它们可以构成等差数列构成等差数列.由由(1)知知arasat,则则2as=ar+at,6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即即2s+1=2r+2t,

28、2s+1-r=1+2t-r,(*)r,s,t均为正整数且均为正整数且rst,(*)左边为偶数而右边为奇数左边为偶数而右边为奇数,假设不成立假设不成立,即数列即数列an不存在三项使它们按照原顺序不存在三项使它们按照原顺序可以构成等差数列可以构成等差数列.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 1.1.归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明性还需进一步证明性还需进一步证明性还需进一步证明.2.2.分析法要注意叙述的形式：要证分析法要注意叙述的形式：

29、要证分析法要注意叙述的形式：要证分析法要注意叙述的形式：要证A A，只要证，只要证，只要证，只要证B B，B B应是应是应是应是A A成立的充分条件成立的充分条件成立的充分条件成立的充分条件.3.3.综合法证明不等式是综合法证明不等式是综合法证明不等式是综合法证明不等式是“由因导果由因导果由因导果由因导果”，分析法证明，分析法证明，分析法证明，分析法证明不等式是不等式是不等式是不等式是“执果索因执果索因执果索因执果索因”.”.它们是两种思路截然相反的证明它们是两种思路截然相反的证明它们是两种思路截然相反的证明它们是两种思路截然相反的证明方法方法方法方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用此注意两种方法在解题中的联合运用此注意两种方法在解题中的联合运用此注意两种方法在解题中的联合运用.名师伴你行名师伴你行