最新数学（理科）高三一轮复习系列《一轮复习讲义》51第八章 立体几何与空间向量 8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直58.pptx

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1、8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1 基础知识 自主学习PART ONE1.两个重要向量知识梳理ZHISHISHULI直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个平面的法向量直线l 平面，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向量.显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量无数无数2.空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2 n1 n2l1l2n1n2 n1 n20直线l

2、 的方向向量为n，平面 的法向量为ml n m m n 0l n m n m平面，的法向量分别为n，m n m n m n m n m 01.直线的方向向量如何确定？【概念方法微思考】2.如何确定平面的法向量？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面 平行.()基础自测JICHUZICE1 2 3 4

3、56题组二教材改编2.P104T2设 u，v分 别 是 平 面，的 法 向 量，u(2，2，5)，当 v(3，2，2)时，与 的 位 置 关 系 为_；当 v(4，4，10)时，与 的 位 置 关 系为_.1 2 3 4 5 解析当v(3，2，2)时，u v(2，2，5)(3，2，2)0.当v(4，4，10)时，v 2u.61 2 3 4 53.P1 1 1T3 如 图 所 示，在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中，O 是 底 面 正 方 形 ABCD的 中 心，M 是 D1D 的 中 点，N 是 A1B1的 中 点，则 直 线 ON，AM 的 位 置 关 系 是_.垂直64.直 线

4、l 的 方 向 向 量 a(1，3，5)，平 面 的 法 向 量 n(1，3，5)，则 有A.l B.l C.l 与 斜交 D.l 或l 1 2 3 4 5题组三易错自纠解析由an 知，n a，则有l，故选B.61 2 3 4 55.已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则A.B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对6解析n1 n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直.1 2 3 4 56.已 知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则 下 列 向 量 是 平 面 ABC 法 向量的是A.(1，1，1)B.(1，1，1)6x y

5、z.故选C.2 题型分类深度剖析PART TWO题型一利用空间向量证明平行问题师生共研例1 如 图 所 示，平 面 P AD 平 面 ABCD，ABCD 为 正 方 形，P AD 是 直 角 三 角形，且 P A AD 2，E，F，G 分 别 是 线 段 P A，PD，CD 的 中 点.求 证：PB 平面EFG.若本例中条件不变，证明平面EFG 平面PBC.引申探究利用空间向量证明平行的方法思维升华线线平行 证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题

6、跟踪训练1 如 图，在 三 棱 锥 P-ABC 中，P A 底 面 ABC，BAC 90.点 D，E，N 分别为棱P A，PC，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A AC 4，AB 2.求证：MN平面BDE.题型二共线定理、共面定理的应用例2 如 图 所 示，正 三 棱 柱(底 面 为 正 三 角 形 的 直 三 棱 柱)ABCA1B1C1的 所 有棱长都为2，D 为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.多维探究命题点1证明线面垂直命题点2证明面面垂直例3 如 图，已 知 AB 平 面 ACD，DE 平 面 ACD，ACD为 等 边 三 角 形，AD DE 2AB.求证：平面BCE

7、平面CDE.利用空间向量证明垂直的方法思维升华线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或 将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2 如 图 所 示，已 知 四 棱 锥 PABCD 的 底 面 是 直 角 梯 形，ABC BCD90，AB BC PB PC 2CD，侧面PBC 底面ABCD.证明：(1)P A BD；(2)平面P AD 平面P AB.题型三利用空间向量解决探索性问题师生共研例4(2019 林 州 模 拟)如 图，在 四 棱 锥 PABCD 中，PD

8、 底 面 ABCD，底 面ABCD 为正方形，PD DC，E，F 分别是AB，PB 的中点.(1)求证：EF CD；(2)在平面P AD 内求一点G，使GF 平面PCB，并证明你的结论.思维升华对 于“是 否 存 在”型 问 题 的 探 索 方 式 有 两 种：一 种 是 根 据 条 件 作 出 判断，再 进 一 步 论 证；另 一 种 是 利 用 空 间 向 量，先 设 出 假 设 存 在 点 的 坐标，再 根 据 条 件 求 该 点 的 坐 标，即 找 到“存 在 点”，若 该 点 坐 标 不 能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.跟踪训练3 如 图 所 示，四 棱 锥 PABCD 的 底

9、面 是 边 长 为1的 正 方 形，P A CD，P A 1，PD，E 为PD 上一点，PE 2ED.(1)求证：P A 平面ABCD；P A2AD2PD2，即P A AD.又P A CD，AD CD D，AD，CD 平面ABCD，P A 平面ABCD.(2)在 侧 棱 PC 上 是 否 存 在 一 点 F，使 得 BF 平 面 AEC？若 存 在，指 出 F 点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.3 课时作业PART THREE1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16基础保分练1.若直线l 的方向向量为a(1，0，2)，平面 的法向量为n(2，1，1)

10、，则A.l B.l C.l 或l D.l 与 斜交解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，a n 0，即an，l 或l.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 162.若a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则m n的值为A.7 B.C.6 D.8解得m 4，n2，则m n6.故选C.3.已 知 平 面 内 有 一 点 M(1，1，2)，平 面 的 一 个 法 向 量 为 n(6，3，6)，则下列点P 中，在平面 内的是A.P(2，3，3)B.P(2，0，1)C.P(4，4，0)D.P(3，3，4)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

11、1 12 13 14 15 16点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 164.如 图，F 是 正 方 体 ABCDA1B1C1D1的 棱 CD 的 中 点，E 是 BB1上 一 点，若D1F DE，则有1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165.设 u(2，2，t)，v(6，4，4)分 别 是 平 面，的 法 向 量.若，则t 等于A.3 B.4 C.5 D.6解析，u v 262(4)4t 0，t 5.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

12、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167.(2018 广 州 质 检)已 知 平 面 内 的 三 点 A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平 面 的 一 个 法 向 量 n(1，1，1)，则 不 重 合 的 两 个 平 面 与 的 位 置 关系是_.解析设平面 的法向量为m(x，y，z)，m(1，1，1)，m n，m n，.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 169.如 图，正 方 体 ABCD A1B1C1D1的 棱 长 为1

13、，E，F 分 别 是 棱 BC，DD1上 的点，如果B1E 平面ABF，则CE 与DF 的和为_.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1611.如 图，在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点.(1)证明：AC BC1；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)证明：AC1平面CDB1.因为DE 平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.1 2 3 4 5 6 7 8 9

14、10 11 12 13 14 15 1612.如 图 所 示，在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1中，侧 面 AA1C1C 和 侧 面 AA1B1B 都 是 正方形且互相垂直，M 为AA1的中点，N 为BC1的中点.求证：(1)MN平面A1B1C1；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)平面MBC1平面BB1C1C.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16技能提升练A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C 内1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4

15、 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练15.如 图，圆 锥 的 轴 截 面 SAB 是 边 长 为2的 等 边 三 角 形，O 为 底 面 中 心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP，则点P 形成的轨迹长度为_.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1616.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD 1，E 为CD 中点.(1)求证：B1E AD1；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)在 棱 AA1上 是 否 存 在 一 点 P，使 得 DP 平 面 B1AE？若 存 在，求 AP 的 长；若 不存在，说明理由.8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直第八章立体几何与空间向量