2015年江苏省常州市中考数学试卷 (解析、考点).pdf

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1、2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（每小题2 分，共 16分）1.（2分）（2 015 潜江）-3的绝对值是（）A.3 B.-3 C.1 D.-133【考点】绝对值.【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出.【解答】解:|-3|=-（-3）=3.故选：A.【点评】考查绝对值的概念和求法.绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.（2分）（2 015常州）要使分式二有意义，则x的取值范围是（）x 2A.x 2 B.x b c B.c b a C.b a c D.a c b【考点】实数大小比较.【专题】计算题.

2、【分析】将a,b,c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可.【解答解：V a=V i 1 4逗工2 衣 3 73A _ L -1=_ 1=即 a b c,V2 V3 V5故 选A.。=隼，且仔住而5 V5【点评】此题考查了实数比较大小，将a,b,c进行适当的变形是解本题的关键.7.（2分）（2 015常州）已知二次函数y=x?+（m-1）x+1,当x l时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A.m=-1 B.m=3 C.m -1【考点】二次函数的性质.【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-巴二！2.当X 1时，y的

3、值随x值的增大而增大，-E1,2解 得m2 -1.故 选D.【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键.8.（2分）（2 015常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A.7D.1 6 c m【考点】翻 折 变 换（折叠问题）.【专题】压轴题.【分析】当A C_ LA B时,重叠三角形面积最小，此时A A B C是等腰直角三角形,面积为8c m 2.【解答】解：如图，当A C L A B时，三角形面积最小，Z B A C=90 0 Z A CB=4 5/.A B=A

4、C=4 c m,.SA A B C=l x 4 x 4=8c m2.2故 选:B.B【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC L AB 时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键.二、填 空 题（每小题2 分，共 20分）9.（2 分）（2015常州）计 算（71-1）+21 11 .一2-【考点】负整数指数基；零指数第.【分析】分别根据零指数幕，负整数指数基的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答】解：（L 1）+2=1+工2=11.2故答案为：12.2【点评】本题主要考查了零指数幕,负整数指数幕的运算.负整数指数为正整数指数的倒数：任何非0 数的0 次辱等于1.10.（2

5、分）（2015常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为_6.96x1 Q5.【考点】科学记数法一表示较大的数.【专题】应用题.【分析】科学记数法的表示形式为axl（）n的形式，其 中 14|a|10,n 为整数.本题中696000有 6 位整数，n=6-1=5.【解答】解：696 000=6.96x105.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl（）n的形式，其 中 i|a|。.1-2x-5.【考点】解分式方程；解一元一次不等式组.【专题】计算题.【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分

6、式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集.【解答】解：（1）去分母得：x=6 x -2+1,解得：x=,5经检验x=a 是分式方程的解；5,八（2X+4 （XD1-2 x -5 由得：x -2,由得：x 3,则不等式组的解集为-2 V x 3)之间的函数关系式;（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费1 5 元，在光明电影院看电影花费2 5元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【考点】一次函数的应用.【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m,由出租车的收费

7、标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费.当x3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论.【解答】解：（1）I 由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，m=9,.从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付 费 1 2.6 元，（5 -3）n+9=1 2.6,解得：n=1.8.车费y （元）与路程x （公里）（x 3）之间的函数关系式为：y=1.8 （x-3）+9=1.8 x+3.6（x 3）.（2）小张剩下坐车的钱数为：7 5 -1 5 -2 5 -9 -1 2.6=1 3.4 （元），乘出租车从光明电影院返

8、回光明中学的费用：1.8 x 7+3.6=1 6.2 （元）V 1 3.4 tan303A B=A/2+V6；(2)设 DE=x，贝 lj AE=x，BE=-=1tan30 V T3B D=3+g)22X,VZBDF=60,J ZDBF=30,-D F=-1BD=X1*,BF=VBD2-D F d(2x)2-产Mx，；.C F=b x,；AB=AE+BE=x+M x，CD=DF+CF=x+V3 x,AB+CD=2 A/3+2,AB=、/5+I【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30。角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、B F,构造直角三角形，求出相应角的度数

9、.26.（10分）（2015常州）设 3是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出个正方形与3的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为3的 化方.（1）阅读填空如图，已知矩形A B C D,延长AD到 E,使 D E=D C,以 A E为直径作半圆.延长C D 交半圆于点H,以 DH为边作正方形D FG H,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.理由：连接AH,EH.：AE 为直径，.,.ZAHE=90,A ZHAE+ZHEA=90.VDH1AE,A ZADH=ZEDH=90.ZHAD+ZAHD=90；./AHD=NHED,.ADH AHDE.理 M，即 DH?=

10、ADxDE.DH-DE又；DE=DCDH2=ADXDC,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.（2）操作实践平行四边形的 化方 思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形.如图，请用尺规作图作出与回ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）.（3）解决问题三角形的 化方 思路是：先把三角形转化为等 积 的 矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形.如图，AABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与4A B C 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算aA B C 面积作图）.（4）拓展探究n 边 形（n 3）的 化方 思路之一是：把 n

11、 边形转化为等积的n-1边形，.，直至转化为等积的三角形，从而可以化方.如图，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）.L.-LL-LU _ I_ _ L UL _ L _L _ LL-Ll_ _ LLLL-LL-LL-LL-LL-LL-L_ L _L _ LL _ LL_l_L-L.L-LL-LL-LL _ L _ L _ L _ LL-L-L-LL-LL _ L _ L _ LL _ l_L _ L _ L _ LL-LL Z.L-L-LL _ L _ L _ LL-LL _ L _L-

12、L-LL-LLLL-LL-LLL _ L _ L _ L _ L _ L _ L _ LLLLLL _3LLU图 图【考点】相似形综合题.【专题】新定义.【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得A D H sH D E；然后根据等量代换,可得DH2=ADXD C,据此判断即可.(2)首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN,然后延长AD到 E,使 DE=DM,以 A E为直径作半圆.延长M D交半圆于点H,以 D H 为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可.(3)首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高

13、的一半为矩形的宽，将AABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到 E,使 D E=D C,以 M E为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,则 D H 即为与aA B C 等积的正方形的一条边.(4)首先根据AGE H,判断出AG=2EH,然后根据CF=2DF,可得CFEH=DFA G,据此判断出 SACEF-SAADF SACDI=SAAEI所以 SABCE=S 四 边 形 ABCD，即BCE 与四边形 ABCD等积，据此解答即可.【解答】解：(1)如图，连接AH,EH,V A E为直径，.ZAHE=90,/.ZHAE+ZHEA=90.VDH1AE,/ADH=/EDH=90。，.ZHAD+Z

14、AHD=90,A ZAHD=ZHED,.,.ADHAHDE.A D D H而而F即 DH2=ADXDE.又；DE=DC,.*.DH2=ADXDC,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.(2)作法：过A、D 作 AN、DM 分别垂直BC于 N、M；延长A D,取 DE=DM；以A E为直径作半圆O；延长M D交半圆O 于 H；以 H、D 作正方形H D FG,则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形.证明：.矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，；A E为直径，,ZAHE=90,ZHAE+ZHEA=90.VDH1AE,.ZA

15、DH=ZEDH=90,.,.ZHAD+ZAHD=90,ZAHD=ZHED,.ADHAHDE.A D 二 D H,而而F即 DH2=ADXDE.又：D E=D M,.DH2=ADXDM,即正方形D F G H 与矩形ABMN等积，正方形D F G H 与平行四边形A BCD等积.(3)作法:过A点作AD垂直BC于 D；作 AD的垂直平分线，取 AD中点E；过E作 BC平行线，作长方形B C G F,则 S炬 形BCGF=SAABC：其他步骤同(2)可作出其等积正方形.(4)作法：过 A点作BD平行线1；延长CD交平行线与E点；连接 BE,贝 ll S i n a ABCD=SAEBC,同(3)可

16、作出其等积正方形.B C E 与四边形A BCD等积，理由如下:V B D/7 LSAABD=SAEBDSABCE=S 四 边 彩 ABCD，即AEBC与四边形A B C D 等积.故答案为：H D E、A D x D C、矩形.图图图【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握.（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握.2 7.（1 0分）（2 01 5 常州）如图，一 次函数y=-x+4 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作 x轴的垂线1,点 P为直线1 上的动点，

17、点 Q为直线AB与4OAP外接圆的交点，点 P、Q与点A都不重合.（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线1 上运动时，是否存在点P使得ACQB与aAPQ全等？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）若点M 在直线1 上，且N P O M=9 0。，记AOAP外接圆和aOAM外接圆的面积分别是S i、S2,求 工 的值.S1 S2【专题】压轴题.【分析】（1）将 y=0代入y=-x+4,求得x 的值，从而得到点A 的坐标；（2）首先根据题意画出图形，然后在R tB O A 中，由勾股定理得：A B 的长度，然后由全等三角形的性质求得Q A 的长度，从而得到B Q 的长，然后根

18、据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P 的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设 A P=m,山O A M s/P A O,可求得AM 的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m 的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可.【解答】解（1）令 y=0,得：-x+4 R,解得x=4,所以点A 的坐标为（4,0）；（2）存在.理由：如图所示：Z O B A=Z B A P,它们是对应角，；.BQ=PA,将 x=0 代入 y=-x+4 得：y=4,，OB=4,由（1）可知OA=4,在 R tB O A 中，由勾股定理得：AB=JOB2+0A2=4亚.VABO

19、QAAQP.，QA=0B=4,BQ=PA.：BQ=AB-A Q=4&-4,；.|PA|=4&-4.，点 P 的坐标为(4,4&-4)或(4,4-4 五).(3)如图所示：令 PA=a,MA=b,4O A P外接圆的圆心为 Oi，ZkOAM的外接圆的圆心为。2,OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2,OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2,在 RtPOM 中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16,又；PM2=(PA+AM)2=(a+b)2=a2+2ab+b2,ab=16,VO1A2=O1Q2+QA2=(必 2+(旦)2=la2+4,O2A2=O2N2+NA2=(2+(l

20、 )2=l?+4,2 2 4-2 2 4S=nxO|A2=(-la2+4)n,4S2=nxO-A2=(-lb2+4)n,4(p+4)+兀 X (Ab2+4)(押+4)xn x*2+4)JIa2+1 6+b2+1 6 _ 11 6 a2+1 6 b2+1 62+1 62 4兀【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和 PA的长度是解题的关键.28.（10分）（2015常州）如图，反比例函数y=K的图象与一次函数y=lx 的图象交于点A、x4B,点 B 的横坐标是4.点 P 是

21、第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线A B的上方.（1）若点P 的坐标是（1,4）,直接写出k 的值和4PA B 的面积；（2）设直线PA、PB与 x 轴分别交于点M、N,求证：PMN是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P、B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ、B Q,比较NPAQ与NPBQ的大小，并说明理由.【考点】反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.【专题】综合题；压轴题.【分析】（1）过点A 作 AR_Ly轴于R,过 点 P 作 PS J_y轴于S,连接

22、P O,设 A P 与y 轴交于点C,如 图 1,可根据条件先求出点B 的坐标，然后把点B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k,然后求出直线A B与反比例函数的交点A 的坐标，从而得到O A=O B,由此可得SAPAB=2SAAOP-要求4PA B 的面积，只需求PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P 作 PHl_x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点 N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到M H=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即PMN是等腰三角形；（3）过点Q 作 QTJ_x轴于T,设 AQ交 x 轴于D,Q B的延长线交x

23、轴于E,如图3.可设点Q 为（c,J）,运用待定系数法求出直线A Q 的解析式，即可得到点D 的坐标为（c-4,0）,同理可得E（c+4,0）,从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有，/Q D E=/Q E D.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到/PA Q=/PB Q.【解答】解：（1）k=4,SAPAB=15.提示：过点A 作 AR_Ly轴于R,过点P 作 PSL y轴于S,连接PO,设 AP与 y 轴交于点C,如 图 1,把 x=4代入y=2 x,得到点B 的坐标为（4,41),把点B(4,1)代入y=2S,得 k=4.x解方程组11y=2x,得到点A 的

24、坐标为(-4,-1),4y=-X则点A 与点B 关于原点对称,；.OA=OB,SAAOP-SABO PSAPAB=2SAAOP-设直线A P的解析式为y=mx+n,把点 A(-4,-1)、P(1,4)代入 y=mx+n,求得直线A P的解析式为y=x+3,则点C 的 坐 标(0,3),0 0 3,SA AOP=SA AOC+SAPOC=-10CAR+10CPS2 2=_1X3X4+-1X3X1=_L,2 2 2 SPAB=2S/AOP=15；(2)过点P 作 PHJ_x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y=!X设 P(m,),直线PA的方程为 y=ax+b,直线PB 的方程为

25、y=px+q,I T心联立 m a+b,解得直线pA的方程为y=&+9 -1,-1=-4 a+b 1 r 口Vr_4_联立，弓-1 1 P 口，解得直线P B的方程为y=-lx+J+1,.,-I T I T4 p+q=l/.M (m-4,0),N(m+4,0),H(m,0),/.MH=m-(m-4)=4,NH=m+4-m=4,/.MH=NH,PH 垂直平分MN,APM=PN,PMN是等腰三角形；(3)ZPAQ=ZPBQ.理由如下：过点Q 作 QTJ_x轴于T,设 AQ交 x 轴于D,Q B的延长线交x 轴于E,如图3.可设点Q 为(c,J),直线A Q 的解析式为y=px+q,则有c-4 p+

26、q=-1,_ 4 ，cp+q=一【c(1嗔解得：，q-ic直线A Q 的解析式为y=A x+i-1.当 y=0 时，A x+-1=0,c c解得：x=c-4,D(c-4,0).同理可得E(c+4,0),ADT=c-(c-4)=4,ET=c+4-c=4,:.DT=ET,Q T垂直平分DE,/.QD=QE,ZQDE=ZQED.VZMDA=ZQDE,.ZMDA=ZQED.VPM=PN,ZPMN=ZPNM.ZPAQ=ZPMN-ZMDA,ZPBQ=ZNBE=ZPNM-ZQED,NPAQ=NPBQ.【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的

27、中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运 用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键.考点卡片1,绝对值(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.互为相反数的两个数绝时值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.有理数的绝对值都是非负数.(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零.即|a|=a (a 0)0 (a=0)-a

28、 (a 0)2.科学记数法一表示较大的数(1)科学记数法：把一个大于1 0的数记成a x l On的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：a x l On,其 中l Sa 0,b 0：第二象限：a 0：第三象限：a 0,b 0,b 0时，抛物线y=ax?+bx+c(a O)的开口向上，x V-也 时，y随x的增大而减小；2a2x -龙 时，y随X的增大而增大；X=-L时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线2a2a4a的最低点.当aVO时，抛物线y=ax?+bx+c(awO)的开口向下，x V-上 时，y随x的增大而增大；2a2x -L时

29、，y随X的增大而减小；X=-L时，y取得最大值4 a c-b,即顶点是抛物线2a 2a 4a的最高点.抛物线y=ax?+bx+c(a#0)的图象可由抛物线y=ax?的图象向右或向左平移|上|个单位，2a再向上或向下平移妊 二 个 单 位 得 到 的.4a19.垂线(1)垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.(2)垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：“有且只有 中，有 指 存在，只有 指 唯一 过一点 的点在直线上或直线外都可以.20.平行线的性质1、平行线性质定理定 理

30、 1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等.21.三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.（2）三角形的外角性质：三角形的外角和为360.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.（3）若研究的角

31、比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去.（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.22.全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.23.全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之

32、间的联系.（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律.证明条线段等于两条线段的和，可采用 截长法 或 补短法，这些问题经常用到全等三角形来证明.（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键.24.线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分 线（中垂线）垂直平分线，简称 中垂线”.（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段.垂直平分线上任意一点，到线段

33、两端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一-点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.25.等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.2、在等腰三角形有关问题中，会遇到-些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然 三线合一，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选

34、择简便方法来解决.26.等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于6 0。.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.27.含 30度角的直角三角形（1）含 3 0 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，3 0。角所对的直角边等于斜边的一半.（2）此结论

35、是山等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（3 0。）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准3 0。的角所对的直角边，点明斜边.28.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a?+b 2=c 2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式/+=a 2,所以c a,同理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边

36、.29.勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，I画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.（3）常见的类型：勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表

37、示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.30.等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5。,高又垂直于斜边,所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；_ _（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径尸1,则 外 接 圆 的 半 径 所 以r：R=l：近+1 .31.平行四边形的性质（1）平行四边形

38、的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形的性质:边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.（3）平行线间的距离处处相等.（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.同 底（等底）同 高（等高）的平行四边形面积相等.32.圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的 弧是

39、指同为优弧或劣弧.（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项 知一推二，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.33.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：定点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺-一不可.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对

40、的圆周角是直角，9 0。的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其 桥梁 圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的 两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.34.扇形面积的计算（1）圆面积公式：S=n r2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n。，圆

41、的半径为R的扇形面积为S,则S掰 形=_ IL n R 2或S （其中1为扇形的弧长）360 2（4）求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.35.圆的综合题圆的综合题.36.轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形 沿 条 直 线 折 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.（2）轴对称图形是针对个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是

42、多条甚至无数条.（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.37.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设

43、出正确的未知数.38.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中己有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.39.相似形综合题相似形综合题.

44、40.频 数（率）分布直方图画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差.（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组）.（3）确定分点，将数据分组.（4）列频率分布表.（5）绘制频率分布直方图.注：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值,即小长方形面积=组距x频数组距=频率.各组频率的和等于1,即所有长方形面积的和等于1.频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分

45、析数据分布的总体态势.从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容.41.扇形统计图（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示 总 数（单 位1）,用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.（3）制作扇形图的步骤根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比x360。.按比例取适当半径画一个

46、圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来.42.加权平均数（1）加权平均数：若n个数X1，X2,X3.Xn的权分别是W|,W2,W3，Wn,则x 1 w 1 +x2w2+.+xnwnw 1+w2+.+wn叫做这n个数的加权平均数.（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2,另一种是百分比的形式，如创新占50%,综合知识占3 0%,语言占2 0%,权的大小直接影响结果.（3）数据的权能够反映数据的相对 重要程度，要突出某个数据，只需要给它较大的 权，权的差异对结果会产生直接的影响.（4）对于一组不同权重

47、的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息.43.列表法与树状图法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.（2）列表的目的在于不重不漏地列举H1所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.（3）列 举 法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一-种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n.（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.