高二数学不等式的证明6.docx

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1、高二数学不等式的证明6 第一篇：高二数学不等式的证明6 6.3 不等式的证明 六 教学要求：更进一步驾驭不等式的性质，能娴熟运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还驾驭其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。 教学重点：娴熟运用。 教学过程： 一、复习准备： 1.已知x4，求证：x-1 x-2xyz 1x2-x+1 .用判别式法证明：已知xR，求证 23 另解：拆分法 3x+x+1 .用换元法证明： 已知ab4,求证：2aabb6 先探讨用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习： .放缩法，左边(x+2222y2y)(z+)2 22x2-x+1 .判别式法，设2k，再

2、整理成一元二次方程，利用0而求k范围。 x+x+1 .三角换元法，设a2sin，b2cos，再代入利用三角函数值域求证。 再探讨其它解法： 小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。 2.练习：已知x、yR，3x4y12，求xy的最大值； 求函数yx2+1的值域； 解法：分x10、x11且nN，求证：log(n+1)(n2)log(n+2)(n3) 2.课堂作业：书P31 2、5题。 作商比 其次篇：高二数学不等式的证明 高二数学不等式的证明(二) 不等式证明中的综合证明方法： 1. 换元法：通过适当的换元，使问题简洁化，常用的有三角换元和代数换元。 2. 放缩法：理论根据：ab,bca

3、.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。 3. 反证法：理论根据：命题“p与命题“非p一真、一假， 证明格式 ：假设结论“p错误，“非p正确，起先倒推，推导出冲突(与定义，定理、已知等等冲突)，从而得 到假设不正确，原命题正确。 4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。 证明格式： (1)当n=n0时，命题成立； (2)假设当n=k时命题成立； 则当n=k+1时，证明出命题也成立。 由(1)(2)知：原命题都成立。 一、换元法： 1. 三角换元： 例1. 求证： 证一：(综合法) 即： 证二：(换元法)-1x1 令x=cos, 则

4、-1sin21 例2. 已知x0，y0，2x+y=1，求证： 分析：由于条件给出了x0，y0，2x+y=1，故如何运用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由此题中x0，y0,2x+y=1的条件也可用三角代换。 证一： 证二：由x0,y0，2x+y=1，可设 则 例3. 若x2+y21，求证： 证：设 则 例4. 若x1，y1，求证： 证：设 则 例5. 已知：a1,b0，a-b=1，求证： 证：a1,b0,a-b=1，不妨设 则 小结：若0x1，则可令 若x2+y2=1，则可令x=cos， y=sin (00，则 证：设 则 即 原式成立 小结：还有诸如“均值换元“设差换元的方法。 二、

5、放缩法： 例7. 若a,b,c,dR+，求证： 证：记 a,b,c,dR+ 12时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2 logn(n-1)0，logn(n+1)0 n2时，logn(n-1)logn(n+1)0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0 证：设a0，bc0，则b+c=-a0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc0冲突，必有a0 同理可证：b0，c0 四. 构造法： 1. 构造函数法 例12. 已知x0，求证： 证：构造函数 由 明显 上式0 f(x)在 上单调递增，左边 例13. 求证： 证：设 用定义法可证：f(t)在 上单调递增， 令：3t10 则有两个实

6、根。 例15. 求证： 证：设 当y=1时，命题明显成立， 当y1时， =(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)0 综上所述，原式成立。(此法也称判别式法) 例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且全部字母均为正，求证：xyac+bd 证一：(分析法)a,b,c,d,x,y都是正数 要证：(xy)ac+bd 只需证 即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd 绽开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd 即：a2d2+b2c22abcd 由基本不等式，明显成立 xyac+bd 证二：(综合法) 证三：(三角代换法)

7、x2=a2+b2， 不妨设 y2=c2+d 2五. 数学归纳法： 例17. 求证：设nN，n2，求证： 分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。 证：当n=2时，左边，易得：左边右边。 当n=k时，命题成立，即：成立。 当n=k+1时，左边 又 ；且4(k+1)2(2k+3)(2k+1)； 于是可得： 即当n=k+1时，命题也成立； 综上所述，该命题对全部的自然数n2均成立。 证明以下不等式： 1. 提示：令 ，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用法，分状况探讨。 2. 已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10，y0，x+y=1，则 提示：左边 令t=xy

8、，则 在 上单调递减 4. 已知|a|1，|b|1，求证： ，提示：用三角换元。 5. 设x0，y0，求证：abc，则 10. 左边 11. 求证：高二数学不等式的应用 三. 关于不等式的应用： 不等式的应用主要围围着以下几个方面进行： 1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；探讨方程的根的问题。 (求极值的一个基本特点：和确定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在运用时，要留意以下三个方面：“正数、“定值、“等号出现的条件和成立的要求，其中“构造定值的数学思想方法的应用在极值运用中有着相当重要的作用。 2. 会把实际问题

9、抽象为数学问题进而建立数学模型，培育分析问题、解决问题的实力和运用数学的意识。 3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的爱好。 四、不等式的应用问题举例： 例10. 已知a、b为正数，且a+b=1，求 最大值。 分析：在确定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何削减变形产生的错误也是必不行少的一个环节。 解：由可得； 小结：假如此题接受 两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必需坚持的一个原则。 ；则出现了错误：“= 例11. 求函数的最小值。 分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。 解： 即f(x)最小值为-1 此类问题是不等式求极值的基本问题；但假如再

10、变更x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。 例12. 若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。 的某一个 分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。 解： 当且仅当：4a2+2=3b2+6，即 时取等号，y的最大值为8。 小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论运用如何种广泛，都必需留意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号) 例13. 已知x.y0，且xy=1，求的最小值及此时的x、y的值。 分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成

11、若干项，然后变形运用平均值不等式求解。 解：xy0 x-y0 又xy=1， 也即：；当且仅当时取等号。 也即；时，取等号。 例14. 设x，y，zR+，x+y+z=1，求证： 的最小值。 分析：此类问题的关键是如何运用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。 2. 另一个途径是干脆进行1的构造与转化。但无论如何需要留意的是验证“=号成立。此题运用1的构造代入。 解：x，y，zR+，且x+y+z=1 当且仅当时，取“=号，的最小值为9。 小结：此题假如接受三式类加，得到： ，由x，y，zR+，且x+y+z=1得： 。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=号是否同时

12、成立。 例15. 已知a0,a2-2ab+c2=0，bca2，试比较 a，b，c的大小。 分析：此问题只给出了几何简洁的不等式关系，故要推断大小必需在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。 解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab2ac 又a0,bc,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bca2可知，bc,ba再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2c2，结合：bc可得：bc0 又由ba可得：2ab2a2， 综上所述，可得：bca 小结：此题中娴熟驾驭不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。 例16. 某村支配建立一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，

13、沿左，右两侧与后侧内墙各保存1m宽的通道，沿前侧内墙保存3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础学问和方法解决实际问题的基本实力。 解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以 当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时， =648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2. 例17. 某企业2003年的纯利润为500万

14、元，因设备老化等缘由，企业的生产实力将逐年下降，若不能进行技术改造，意料从今年起每年比上一年纯利润削减20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，意料在未扣除技术改造资金的状况下，第n年(今年为第一年)的利润为 ()设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式； ()依上述意料，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础学问，运用数学学问解决

15、实际问题的实力都有着较高的要求。 解：()依题设，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2； () 因为函数上为增函数， 当1n3时， 当n4时， 仅当n4时，BnAn。 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。 小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是互相关系，再把文字关系处理为数学关系。 五、本周参考练习 1. 已知a0 ,b0,a+b=1，证明： 2. 假如ABC的三内角满意关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证： 3. 已知a

16、、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证： 4. 已知x，y是正数，a，b是正常数，且满意：，求证： 5. 已知a，b，cR+，求证： 6. 已知a0，求的最值。(答最小值为) 7. 证明：通过水管放水，当流速相等时，假如水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 8. 某单位用木料制作如下图的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？ (答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。) 高二数学练习三 1. xR，那么(1-|x|)(1+

17、x)0的一个充分不必要条件是( ) A. |x|1 D. x0，则：的值( ) A. 确定是正数 B. 确定是负数 C. 可能是0 D. 无法确定 3. 已知a,b,c是ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0( ) A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实数根 D. 要依a，b，c的具体取值确定 4. 设0 ) A. C. 5. 设a,bR+， ，则A，B的大小关系是( ) B. D. A. AB B. AB C. AB D. A0,b0.c0，a+b+c=1，则 的取值范围是_ 的最大值为_ 10. 使不等式 答案： 1. A 2. B 3.

18、C 4. D 5. C 6. B 7. D 8. 9. 10. ab0且a-b1 都成立的a与b的关系是_ 第三篇：高二_不等式的证明讲义 高二数学不等式同步辅导讲义 第1讲 不等式的证明 一、辅导内容 不等式证明的方法与技巧 二、学习指导 不等式的证明主要探讨对确定不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大或缩小为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。 不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的探讨对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质探讨非负实数集内的确定值不等式；当因题目条件简洁或结论形

19、式困难而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应留意格式，留意规范化用语。 根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。 三、典型例题 设a，bR，求证：a+bab+a+b-1。 解题思路分析： 思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应表达将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对简洁操作。 作差=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a- =(a-b+123)+(b-1)20 2 422222 222 b+123233)+b-b+ 2424思路二：留意到不等式两边式子a+b与ab

20、的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或削减若干项的技巧在本节应用得较为普遍。 因a+b2ab，a+12a， b+12b 三式同向相加得：a+bab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的学问求解。 记f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次项系数为正，=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)0 f(a)0 已知0 根据已知条件：a+b+c+abc0，首先将题目结论改造为1+ab+bc+caa+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc0。这样的化简或变形变形的目的

21、也是化简在绝大多数解题中都是需要的，而且是必要的。在变形过程中通常留意前后问题的等价性。 其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中找寻思路：由a1，b1，c1得：1-a0，1-b0，1-c0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，1-c这三个因式靠拢，这样才便于推断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a) =(1-a)(1-b-c+bc) =(1-a)(1-b)(1-c) 0 设A=a+d，B=b+c，a，b，c

22、，dR+，ad=bc，a=maxa，b，c，d，试比较A与B的大小。 解题思路分析： 因A、B的表达形式比较简洁，故作差后如何对因式进行变形是此题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：ab，ac，ad，故保存a，消b，c，d中任一个均可。 由ad=bc得：d=bcbcbc-ac A-B=a+d-(b+c)=a+ -b-c=a-b+aaa1+ab+bc+ca1。 a+b+c+abc 22222222222 =a-b-c(a-b)(a-b)(a-c)=0 aabc d(b-d)(c-d)bcbc-cd A

23、-B=a+d-b-c= +d-b-c=-(b+d) =ddd下面是推断b-d与c-d的符号，即比较a、c与d的大小：应从条件a=maxa，b，c，d及ad=bc动身才挖掘隐藏条件。 又：若不慎消去了a，该怎么办呢？ 由ad=bc得：a=ac= bdac ab0 1 即 1 cd，c-d0 bd由ad=bc得：同理b-d0 A-B0 a，b，cR，求证：a+b+c(a+b+c)。 解题思路分析： 不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式明显不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项转变六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为

24、偶的技巧。 11左=(2a4+2b4+2c4)= 2 21(2a2b2+2b2c2+2c2a2)=a2b2+b2c2+c2a2 2觉察缩小后没有到达题目要求，此时应再利用不等式传递性接着缩小，处理的方法与刚刚类似。 a2b2+b2c2+c2a2=1(2a2b2+2b2c2+2c2a2)24 441=21(2ab2c+2abc2+2a2bc)=ab(a+b+c) 2 1a，b，c为正实数，求证： 111111+； + abcabbcaca2b2c2a+b+c+ 2a，b，c为正实数，求证：。 b+ca+ca+b2解题思路分析： 1不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。 2同学们可试一试

25、，再用刚刚的方法处理该题是行不通的。留意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可到达目的。试一试行吗？ a2 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y。 22 2解题思路分析： 思路一；根据x+y和x+y的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。 x2+y2x+y 22(x+y)2a2= x+y 222222思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思索。思路一所用的是基本不等式法，这里接受消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有以下三种途径： 途径1：用均值换元法消元： 令

26、x=aa+m，y=-m 22 a2aaa2222则 x+y=(+m)+(-m)=2m+ 2222途径2：代入消元法： 22y=a-x，0b0，求证：。 8a28b解题思路分析： 所证不等式的形式较困难如从次数看，有二次，一次， 1次等，难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即2执果索因，找寻使不等式成立的必要条件。事实上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，事实上这种变形在相当多的题目里都是充要的。 a+ba+b-2ab(a-b)2-ab= 222a-b=(a+b)(a-b)(a+b)2(a-b)2(a-b)2(a+b)2(a-b)2b0 ab a-b0 (a+b)2(a+b)21 不等式可

27、化为： 4a4b2(a+b)4aa+b2a即要证 只需证 24b(a+b)2bb0条件下，不等式组明显成立 原不等式成立 已知f(x)=解题思路分析： 不等号两边字母不统一，接受常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。 22x+34x+8，求证：对随便实数a，b，恒有f(a)f(a) 2注：此题事实上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明， 实数大小理论是不等式大小理论的基础。 已知a，b，cR，f(x)=ax+bx+c，当|x|1时，有|f(x)|

28、1，求证： 1|c|1，|b|1； 2当|x|1时，|ax+b|2。 解题思路分析： 这是一个与确定值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与确定值有关的基本不等式，如|a|a，|a|-a，|a|-|b|ab|a|+|b|，|a1a2an|a1|+|a2|+|an|。就此题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|1时，|f(x)|1的解题意识。 从特殊化的思想动身得到： 令 x=0，|f(0)|1 即 |c|1 当x=1时，|f(1)|1；当x=-1时，|f(-1)|1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示

29、待求量。 f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1 b= 2111 |b|=|f(1)-f(-1)|(1+1)1 222 2思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。 2当a0时，g(x)在上单调递增 g(-1)g(x)g(1) g(1)=a+1=f(1)-f(0)|f(1)-f(0)|f(1)|+|f(0)|2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=- -|f(-1)-f(0)|-2 -2g(x)2 即 |g(x)|2 当a0时 |ax+b|ax|+|b|=|a|x|+|b|a|+|b|a+|b| 下面对b探讨 b0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(

30、1)-f(0)| |f(1)|+|f(0)|2； by B、x=y C、yx D、与m ,n的取植有关 433 44、已知a，b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数：x1，x2，xn和y1，y2，yn，b成等比数列，并给出以下不等式： 1a-b2(x1+x2+L+xn)ab+() n21nn(x1+x2+L+xn)a+b2 y1y2Lynab y1y2Lyn0，且a+bc，设M= abc，N=，则MN的大小关系是 +4+ab+c4+cA、MN B、M=N C、M0，x2+x30，x3+x10，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、确定大于零 B、确定小于零 C、确定等于零 D、正负都

31、有可能 1111 17、若a0，b0，x=(+)，y=，z=，则 2aba+babA、xyz B、xzy C、yxz D、yzx 8、设a，bR，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、ab-ab+ab C、 二填空题 9、设a0，b0，ab，则ab与ab的大小关系是_。 10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)_8abc用不等号填空。 11、设n个正数x1，x2，xn的算术平均数是x，若a是不等于x的随便实数，并记ab ba22 3aa+12 2 D、a+b2(a-b-1) 2的大小关系是_。 三解答题 14、已知a0，b0，ab，求证：a+bab+ba。 1

32、5、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1abc+0，b0，且a+b=1，求证：(a+)(b+)。 ab420、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a，b，c全为正数。 第2讲 含有确定值的不等式 一、辅导内容 含有确定值的不等式证明 二、学习指导 1、 确定值的性质 1基本性质：xR时，|x|x，|x|-x；|x|a，或xa。 2运算性质：|ab|=|a|b|，|a|a|=，|a|-|b|ab|a|+|b|，|a1a2+an|a1|+|a2|+|an|。 b|b| 222 2 3几何意义：|x-a|表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。 2、与确定值有关的不等式的证明

33、 其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚刚所介绍的确定值的性质，特别是|a|-|b|a|b|这一条性质。 在利用确定值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。 3、含确定值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉确定值符号；而在证明中，一般不提倡去掉确定值符号，当然，少数题目例外。 三、典型例题 设|a|0，b0，c0的两个实根x1，x2，求证：2求证：|f(x1)-f(x2)logablogba,那么以下四个结论balogab+logba=0bb 0 x1|2且|x2|2x1+x2x1+x2|0,y

34、0,且x+yax+y成立,则a的最小值是 2(5)已知a,bR,则以下各式中成立的是 22cos2sin2lga+sinlgblg(a+bcosba+b +(6)设a,bR,且ab-a-b1,则有 +b2(2+1) +b+b(2+1)2+b2(2+1) 二、填空题 22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=-y,则x+y(9)若11a5,则a+5a(10)A=1+111+L+与n(nN)2n (11)实数x=x-y,则xy 三、解答证明题 2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)(1+a+a) (13)用分析法证明:ab+cd a2+c2(14)用分析法证明以下不等式: (1)

35、求证:+71+(2)求证:x-1-(3)求证:a,b,cR,求证:2( + x-20,2ca+b,求证:(1)cab；2c-c2-ab2,求证: + 1+x1+y 与中至少有一个小于yx (17)设a,b,cR,证明:a+ac+c+3b(a+b+c) (18)已知1x+y2,求证: 22 122 x+xy+y2 n(n+1)(n+1)2 an4+2 只需证(2)(4+2)，即4这明显成立 故+71+(2)欲证x-1-只需证x-1+即证(x-1+ x-2x-3-x-4(x4) x-4x-3+x-2(x4) x-4)2(x-3+x-2)2(x4) 绽开得2x-5+2x-1x-42x-5+2x-3x-2 即x-1)(x-4)n=n,an1+2+3+n= 1+22+3n+(n+1)2(1+2+L+n)+nn(n+1)n又an+L+=+ 222222 x+xy+y=k(cos+cossin+sin)=k(1+ n(n+2)n2+2n+1(n+1)2 =,故命题对nN222 20证明:依题设及一元二次方程