2017-2018学年上海市延安中学高三上学期12月月考数学试卷.docx

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1、2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷一.填空题1已知集合U=x|1x5，xN*，集合A=2，3，则UA=2已知，则cos（）=3直线l1：2xy+1=0与直线l2：xy2=0的夹角大小为4不等式|x|的解集为5函数f（x）=log2（1+x）（x0）的反函数f1（x）=6设直线axy+3=0与圆（x1）2+（y2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=7已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为则双曲线C的标准方程是8如图，在ABC中，BAC=90，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=9若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为1

2、0等比数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak=（SnSk）成立，则公比q=11下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是（填写命题所对应的序号即可）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合12设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是13函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（

3、x+1）=f（x1）若在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是14已知an是等差数列，记bn=anan+1an+2（n为正整数），设Sn为bn的前n项和，且3a5=8a120，则当Sn取最大值时，n=二.选择题15已知条件p：log2（x1）1的解，q：x22x30的解，则p是q的（）条件A充分非必要B必要非充分C充分必要D既非充分又非必要16若方程x2cosy2sin+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcos2ysin=0的圆心在 （）A第一或第三象限B第二或第四象限C第一或第二象限D第三或第四象限17现有某种细胞100个，其中有约占总

4、数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A42小时B46小时C50小时D52小时18已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）ABCD1，3三.解答题19如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，AOB=（0）（1）若点B（，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用S表示，求S+的取值范围20已知椭圆（ab0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A

5、FB=90？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由21某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（352x），xN*且x12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？22设f（x）是定义在a，b上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为a，b上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：f1（x）=x2x2，f2（x）=|log2（x+0.5

6、）|，哪些是“0，1上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a0）是1，2上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是a，b上的单峰函数，若m，n（a，b），mn，且f（m）f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间23设数列an，对任意nN*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常数）（1）当k=0，b=3，p=4时，求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列an的通项公式；（3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭

7、数列”当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列an的前n项和，a2a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”an，使得对任意nN*，都有Sn0，且若存在，求数列an的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1已知集合U=x|1x5，xN*，集合A=2，3，则UA=4【考点】补集及其运算【分析】由题意全集U=2，3，4，集合A=2，3，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：全集U=2，3，4，集合A=2，3，集合UA=4，故答案为：42已知，则cos（）=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】

8、由条件利用诱导公式求得cos的值，可得要求式子的值【解答】解：已知=cos，则cos（）=cos=，故答案为：3直线l1：2xy+1=0与直线l2：xy2=0的夹角大小为arctan【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l1：2xy+1=0与直线l2：xy2=0的夹角的值【解答】解：直线l1：2xy+1=0的斜率为k1=2，直线l2：xy2=0的斜率为k2=1，设直线l1：2xy+1=0与直线l2：xy2=0的夹角为，则tan=|=，直线l1：2xy+1=0与直线l2：xy2=0的夹角为=arctan，故答案为：4不等式|x|的解集为（0，2）【考点】其他不等式的

9、解法【分析】不等式即0，显然x0时不成立当x0时，根据0，求得不等式的解集【解答】解：当x0时，x，即0，显然x0时不成立当x0时，0，解得0x2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）5函数f（x）=log2（1+x）（x0）的反函数f1（x）=y=2x1（x0）【考点】反函数【分析】根据f（x）=y=log2（1+x）（x0），求出值域f（x）0用x把y表示出来，把x与y互换即可得出【解答】解：f（x）=y=log2（1+x）x0，y0，由y=log2（1+x），可得：x=2y1y=2x1（x0）故答案为：y=2x1（x0）6设直线axy+3=0与圆（x1）2+（y2）2=4相

10、交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为 =1，再由点到直线的距离公式可得 =1，由此求得a的值【解答】解：由于圆（x1）2+（y2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线axy+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，故答案为 07已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为则双曲线C的标准方程是【考点】双曲线的标准方程【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y23x2=（0），将点C坐标代入可得的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲

11、线C的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为y23x2=（0），将点C（1，1）代入可得=2，故答案为：8如图，在ABC中，BAC=90，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=27【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出对应的结果【解答】解：ABC中，BAC=90，AB=6，CD=3DB，=（），=（）=620=27故答案为：279若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为或【考点】椭圆的简单性质【分析】求出等比中项，然后求解焦距即可【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=4，当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2当m=4时，曲线

12、是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，2c=2故答案为：或10等比数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak=（SnSk）成立，则公比q=【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知条件推导出a2=a1，从而得到qq2=q2，由此能求出公比q=【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，对于任意的正整数k，均有ak=（SnSk）成立，an=a1qn1，Sn=，ak=（SnSk）=，当k=2时，a2=a1，qq2=q2，q（2q1）=0解得q=，或q=0（舍）公比q=故答案为：11下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是、（填写命题所对应的序号即可）一个平面内有且只有一

13、对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项【解答】解：根据平面向量基本定理知：一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故对

14、；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合如果是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错故答案为：、12设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是1，4【考点】椭圆的简单性质【分析】设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程可得4x4由|MP2=（xm）2+y2=（xm）2+12（1）=（x4m）2+123m2，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，取得最小值4m4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故4x4|MP2=（xm）2+y2

15、=（xm）2+12（1）=（x4m）2+123m2当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|2取得最小值，而x4，4，故有4m4，解得m1又点M在椭圆的长轴上，所以4m4故实数m的取值范围是1，4故答案为：1m413函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+1）=f（x1）若在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，【考点】函数零点的判定定理【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围【解答】解：由题意，f（

16、x+2）=f（1+x）+1=f（1+x）1=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（1，0），函数f（x）=在区间1，3上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，故答案为：（0，14已知an是等差数列，记bn=anan+1an+2（n为正整数），设Sn为bn的前n项和，且3a5=8a120，则当Sn取最大值时，n=16【考点】数列的函数特性【分析】由3a5=8a120，知3a5=8（a5+7d），a5=56d50，所以d0由a16=a5+11d=d

17、50，a17=a5+12d=4d50，知a1a2a3a160a17a18，b1b2b3b140b17b18，由此能够推导出Sn中S16最大【解答】解：由bn=anan+1an+2且3a5=8a120，所以，3a5=8（a5+7d）所以，0，即d0因为a16=a5+11d=，所以，a1a2a160a17所以，b1b2b140b17b18因为，b15=a15a16a170，b16=a16a17a180a15a18所以，b15b16即b15+b160所以，S16S14所以S16最大故答案为：16二.选择题15已知条件p：log2（x1）1的解，q：x22x30的解，则p是q的（）条件A充分非必要B必

18、要非充分C充分必要D既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出p，q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由log2（x1）1，得：0x12，即1x3，即p：1x3，由x22x30得1x3，即q：1x3，p是q的充分不必要条件，故选：A16若方程x2cosy2sin+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcos2ysin=0的圆心在 （）A第一或第三象限B第二或第四象限C第一或第二象限D第三或第四象限【考点】双曲线的简单性质【分析】由于方程x2cosy2sin+2=0所表示的曲线为双曲线，结合三角函数的符号可得，cossin0，而

19、圆x2+y2+2xcos2ysin=0的圆心坐标为（cos，sin）根据其坐标的特点即可得出结论【解答】解：由于方程x2cosy2sin+2=0所表示的曲线为双曲线，cossin0，而圆x2+y2+2xcos2ysin=0的圆心坐标为（cos，sin）结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，故其位置在第二或第四象限故选B17现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A42小时B46小时C50小时D52小时【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【分析】根据分裂的规律得到细

20、胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100xN*，再建立不等式求解【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100xN*，由y=1001010，解得108，即 xlg8，即 x45.45x45.45，故经过46小时，细胞总数超过1010个18已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）ABCD1，3【考点】函数与方程的综合运用【分析】由函数f（x）是递增函数，且y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，再结合f（n3）+f（）=0可得（n3）+=0

21、，进而利用数形结合求出结果【解答】解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数f（x）是奇函数；又f（n3）+f（）=0，所以（n3）+=0，且4mm230；即，画出不等式组表示的图形，如图所示；则实数m，n表示一段圆弧，所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为=3，最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，则，消去n，得（m2）2+（km3）2=1，整理得（k2+1）m2（6k+4）m+12=0，令=（6k+4）2412（k2+1）=0，化简得3k212k+8=0，解得k=2，应取k=2为最小

22、值；所以的取值范围是：2，3故选：C三.解答题19如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，AOB=（0）（1）若点B（，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用S表示，求S+的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；三角函数线【分析】（1）利用任意角的三角函数定义可得sin，cos，再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出；（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sin+cos+1，再利用两角和的正弦公式即可得出【解答】解：（1）B，AOB=，cos=，=2=3（2）S=|OA|OB|sin=sin，=（1，0），=（cos，sin），

23、=+=（1+cos，sin），=1+cos，=sin+cos+1=+1（0），1，20已知椭圆（ab0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且AFB=90？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2，b2即可；（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算，根据计算结果是否为0得出结论【解答】解：（1）由题意可知，解得a2=4，b2=2，椭圆C的标准方程为：（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，A（0，），B（

24、0，），又F（，0），AFB=AFO+BFO=90，符合题意；若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消元得（1+2k2）x2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1x2=，y1y2=（x1，y1），=（x2，y2），=（x1）（x2）+y1y2=x1x2（x1+x2）+2+y1y2=+2=0，与不垂直，即AFB90综上，存在过原点的直线l使得AFB=90，直线l的方程为x=021某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（352x），xN*且x12；（1）写出2016

25、年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x2时，g（x）=f（x）f（x1）化简得出解析式；（2）对一切x1，2，12有axf（x）列出不等式得到a一个函数，求出函数的最大值得到a的取值范围【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1233=66，g（x）=f（x）f（x1）=x（x+1）（352x）（x1）x（352（x1），=6x2+72x当x=1时，g（x）=6x2+72x=66=g（1）g（x）=6x2+72x；（2）依

26、题意，对一切x1，2，12有axf（x）a（x+1）（352x），x1，2，12设h（x）=2（x）2+35+，h（x）max=h（8）=171故a171故保证每月满足市场需求，则a至少应为171台22设f（x）是定义在a，b上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为a，b上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：f1（x）=x2x2，f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“0，1上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a0）是1，2上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）

27、是a，b上的单峰函数，若m，n（a，b），mn，且f（m）f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）依次判断各函数在（0，1）上是否存在极大值点即可得出结论；（2）求出f（x）的极大值点，令极大值点在区间（1，2）上即可；（3）利用f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可【解答】解：（1）f1（x）=14x，令f1（x）=0得x=，当0时，f1（x）0，当时，f1（x）0，f1（x）在0，上单调递增，在，1上单调递减，f1（x）是0，1上的单峰函数，峰点为；当x0，1时，f2（x）=|log2（x+0.5）|=f2（x）在0，0.5

28、上单调递减，在0.5，1上单调递增，f2（x）不是0，1上的单峰函数；（2）f（x）=3ax2+1，令f（x）=0得x=，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，x=是f（x）的极大值点，函数f（x）是1，2上的单峰函数，12，解得：（3）证明：f（x）是a，b上的单峰函数，存在x0（a，b），使得f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，b）上单调递减，假设nx0，则f（x）在（m，n）上是增函数，f（m）f（n），与f（m）f（n）矛盾；假设错误，故nx0，f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，n）上单调递减，（a，n）为f（x）的含峰区间23设数列an，对任意

29、nN*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常数）（1）当k=0，b=3，p=4时，求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列an的通项公式；（3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列an的前n项和，a2a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”an，使得对任意nN*，都有Sn0，且若存在，求数列an的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+

30、an）4=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是等差数列，从而可求数列an的通项公式；（3）确定数列an的通项，利用an是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列an的首项a1的所有取值【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，3（a1+an+1）4=2（a1+a2+an+an+1），得，3（an+1an）=2an+1

31、，an+1=3an，在中令n=1得，a1=1，则an0，数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，a1+a2+a3+an=（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+an+an+1），得，（n1）an+1nan+a1=0，用n+1去代n得，nan+2（n+1）an+1+a1=0，得，nan+22nan+1+nan=0，即an+2an+1=an+1an，数列an是等差数列a3=3，a9=15，公差，an=2n3（3）由（2）知数列an是等差数列，a2a1=2，an=a1+2（n1）又an是“封闭数列”，得：对任意m，nN*，必存在pN*使a1+2（n1）+a1+2（m1）=a1+2（p1），得a1=2（pmn+1），故a1是偶数，又由已知，故一方面，当时，Sn=n（n+a11）0，对任意nN*，都有另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），则，取n=2，则，不合题意当a1=4时，Sn=n（n+3），则，当a16时，Sn=n（n+a11）n（n+3），又，a1=4或a1=6或a1=8或a1=10