2021高考数学必考点解题方法秘籍 数列3 理.doc

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1、2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：数列31已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。 .【答案】4 5 32【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=52数列an满足a11，则a10 答案： 3若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且，则 .（只要写出一个通项公式即可） 答案：44已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且，则 . 答案； 5在数列中，已知，当时，是的个位数，则 4；6已知等比数列的公比，若，则 .7已知数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公

2、式。8在数列中， ，则 9设数列中，则通项 _。10以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，求证：数列是等比数列；设数列、的前项和分别为、，若，求的值11.设为等比数列，已知，。（）求数列的首项和通项公式； （）求数列的通项公式。12设函数，数列满足，则数列的通项等于 13数列的前项和为。求数列的通项；求数列的前项和。14若数列的通项公式为，的最大值为第x项，最小项为第y项，则x+y等于 数列的前n项和求法：公式法1等比数列的公比0，已知，则的前四项和是 2.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案：-23设曲线在点（1，1）处的切

3、线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 4对正数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列 的前n项和的公式是=_5当1，表示把“四舍五入”到个位的近似值，如当为正整数时，集合中所有元素之和为，则 .周期法2在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则此数列的前100项的和.299分组求和1已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求： （）的值； （）数列的前项的和的公式。a与s的关系已知数列的前n项和分别为则数列的前1000项的和为 2010 拆项法.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公式；()设,是数列的前n项和

4、，求使得对所有都成立的最小正整数m；数列的单调性问题1通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是_2已知数列是等比数列，为其前项和（1）若，成等差数列，证明，也成等差数列；（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围解：设数列的公比为，因为，成等差数列，所以，且所以，因为，所以 4分所以，即所以也成等差数列 6分（2）因为，所以， ，由，得，所以，代入，得所以， 8分又因为，所以， 由题意可知对任意，数列单调递减，所以，即，即对任意恒成立， 10分当是奇数时，当，取得最大值，所以； 12分当是偶数时， ，当，取得最小值，所以综上可知，即实数的取值范围是14分新型数列的研究1

5、设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”， 试探究与之间的等量关系解：因为数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因此分设数列的前项和为，则，所以，因此数列为“和等比数列”6分(2) 设数列的前项和为，且， 因为数列是等差数列，所以， 所以对于都成立，化简得，10分 则，因为，所以，因此与之间的等量关系为14分2设数列的通项公式为。数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值。（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公

6、式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得，解，得 成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，. .（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，3设集合W是满足下列两个条件的

7、无穷数列的集合：； M是与n无关的常数(1)若是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；(2)设数的通项为，求M的取值范围；(4分)4定义：在数列an中，若an2an12p，（n2，nN*，p为常数），则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的有关判断：若an是“等方差数列”，则数列an2是等差数列；(1)n是“等方差数列”；若an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）也是“等方差数列”；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列其中判断正确的序号是 5. 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有

8、性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. （）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故 从而，.， ，故. 由A具有性质P可知.又，从而，. （）由（）知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知 ，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.等差数列等差数列及性质1设记不超过的最大整数为,令=-，则，,A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列

9、C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ B ）A、2 B、3 C、6 D、73已知为等差数列，且-2=-1, =0,则公差d= 4等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 2 5已知为等差数列，且21, 0,则公差d d6已知等差数列中，求的值 7已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _158设是等差数列的前n项和，已知，则等于 9已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 项.10设等差数列的前项和为，若则 9 . 解：为等差数列， 11已知为等差数列，则等于 12等差数列中，

10、若, ，则 . 13设等差数列的前项和为。若，则_.14.在等差数列中，则 . 15知数列为等差数列，且，则_16已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ B ）A64B100C110D12017已知，数列的前n项和为，则使的n的最小值是 18已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于 19 在数列在中，,其中为常数，则 1等差数列先证后求的问题可化成的等差数列1数列的通项公式是,其前项和为,则数列的前11项和为 .2等差数列中，是其前n项和，则的值为_3数列的通项，其前项和为，则为A B C D答案：A【解析】由于以3 为周期,故故选A41数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数

11、列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 分组求和1已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求： （）的值； （）数列的前项的和的公式。拆项法求和1已知函数（且）的图象恒过定点（h，k），数列（）的首项为k，且前n项和满足（），（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，问满足的最小正整数n是多少？2已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是等差数列，由，又因为，所以， 2分由，所以 6分

12、(2)由(1)知， 所以， 若成等比数列，则，即8分解法一：由，可得，所以， 12分从而：，又，且，所以，此时故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。16分解法二：因为，故，即，12分从而：，（以下同上）数列满足：3已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公式；()设,是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；错位相减法1已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前n项和Sn解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题

13、设d0 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 （2）令两式相减得于是=-4=2等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上.()求r的值；()当b=2时，记bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解：()由题意，Sn=bn+r, 当n2时，Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于 b0且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1=b+r,a2=b(b-1), 解得r=-1. ()由()知, nN*,所以 bn=. 两式相减得 = = =故 =3在数列中， （

14、I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。错位相减法1已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式：

15、an，求数列bn的前n项和Sn解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d0 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 （2）令两式相减得于是=-4=2等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上.()求r的值；()当b=2时，记bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解：()由题意，Sn=bn+r, 当n2时，Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于 b0且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1=b+r,a2=b(b-1), 解得r=-1. ()由()知,

16、 nN*,所以 bn=. 两式相减得 = = =故 =数列与不等式1设数列的前n项积为；数列的前n项和为设。证明数列成等差数列；求证数列的通项公式；若恒成立，求实数k的取值范围2设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.求数列的通项公式（用表示）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为3 已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。解析：（I）在中，令n=1，可得，即当时，. . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 于是确定的大小关系等价于

17、比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时4.已知是整数组成的数列,且点在函数的图像上 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求证：简单的多变量处理1设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.2已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和为；（2）是否

18、存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是等差数列，由，又因为，所以， 2分由，所以 6分(2)由(1)知， 所以， 若成等比数列，则，即8分解法一：由，可得，所以， 12分从而：，又，且，所以，此时故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。16分解法二：因为，故，即，12分从而：，（以下同上）数列满足：3设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得4分.故. 6分（

19、2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，8分.整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 15分数列的证明1已知函数f(x)数列an满足：an0，a11，且f()，记数列bn的前n项和为Sn，且Sn(1)n求数列bn的通项公式；并判断b4b6是否仍为数列bn中的项？若是，请证明；否则，说明理由（2）设数列cn是首项为c1，公差d0的等差数列求证：“数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项”的充要条件是“存在整数m1，使c1md”(1)因为f()，所以1，即1因为1，所以1(n1)n，即an因为Sn(1)nn2(1)

20、n，当n1时，S1b11，当n2时，bnSnSn11n，所以bnn1(nN*)所以b4b64161102令bt102(tN*)，则102t1，得t10与tN*矛盾，所以b4b6不在数列bn中(2)充分性：若存在整数m1，使c1md设cr，ct为数列cn中不同的两项，则crctc1(r1)dc1(t1)dc1(rmt2)dc1(rmt1)1d又rt3且m1，所以rmt11即crct是数列cn的第rmt1项必要性：若数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项，则csc1(s1)d，ctc1(t1)d，(s，t为互不相同的正整数)则csct2c1(st2)d令csctcl，得，2c1(st2)dc

21、1(l1)d(s，t，lN*)，所以c1(lst1)d令整数mlst1，所以c1md下证整数m1若整数m1，则m2令km，由题设取c1，ck使c1ckcr(r1)，即c1c1(k1)dc1(r1)d，所以md(m1)d(r1)d，即rd0与r1，d0相矛盾，所以m1综上数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项的充要条件是存在整数m1，使c1md等比数列1（2009重庆卷理）设，则数列的通项公式= 【答案】：2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则2已知是等比数列，则公比= 3设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 4设等比数列的公比，前n项

22、和为，则 5已知等比数列满足，则 6等比数列 的公比q 0, 已知=1，则 的前4项和= 。7设正项等比数列的公比为，且，则公比 。8设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = （A） 2 （B） （C） （D）3【解析】设公比为q ,则1q33 q32 于是 【答案】B9在数列an中，若对于nN*，总有2n1，则= 10函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_11等比数列的前n项和为，已知+-=0，=38则m= 12已知等比数列的公比为，首项为，其前项的和为数列的前项的和为， 数列的前项的和为（1

23、）若，求的通项公式；（2）当为奇数时，比较与的大小； 当为偶数时，若，问是否存在常数（与n无关），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由13已知等差数列的公差不为0.设（1）若，求数列的通项公式（2）若，且成等比数列，求的值（3）若，证明设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，0

24、9年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。等比数列先证后求的问题1已知数列an的前n项和为Sn，a11，且（1）求a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（2）解不等式（1）， 1分， 2分，（n2），两式相减，得则（n2） 4分， 5分，为等比数列， 6分（2），来源:Z_xx_k.Com数列是首项为3，公比为等比数列 7分数列的前5项

25、为：3，2，的前5项为：1，n1，2，3时，成立； 10分而n4时，； 11分n5时，1，an1， 13分不等式的解集为1，2，3 14分2在数列中，（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）证明不等式，对任意皆成立3已知数列，.求证：数列为等比数列；数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；设，其中为常数，且，求. 解：=，为常数数列为等比数列-4分取数列的连续三项， ，即，数列中不存在连续三项构成等比数列； -9分当时，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，此时；-12分当时，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数， 的解

26、只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，当时，。 -16分数列与不等式1已知数列的前n项和且=2.求的值,并证明：当n2时有；求证：2在数列中，。设求证：数列是等比数列求数列的前项的和设，求证：33设数列的前n项和为，对任意正整数n,都有成立，记（1）、求数列与的通项公式；（2）、设数列的前n项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在找出一个正整数K；若不存在，请说明理由；（3）、记，设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n都有；【解析】（I）当时， 又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分（

27、II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知 当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 不存在正整数，使得成立。 8分（III）由得 又， 当时，当时， 14分4设数列an是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和（1）证明； （2）设记数列的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小. 【证明】（1）由题设知a10，q0 1分 (i)当q=1时，Sn=na1，于是 SnSn+2=na1(n+2)a1(n+1)2=0， 3分 (ii)当q1时， 于是SnSn+2= 7分由(i)和(ii)，得SnSn+20所以SnSn+20， 15分所以Tnq2S 16分方法二：Tn

28、=，11分由， 13分因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），因为，所以，即Tnq2S. 16分5设是公差不为零的正项等差数列，为其前项的和，满足,，成等比数列.求数列的通项公式；设令，为数列的前项的和，若，求的值.数列的证明1设等比数列的首项为a1，公比为q，且q0，q1.（1）若a1=qm，mZ，且m1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m1，使得a1=qm.证明：（1）设为等比数列中不同的两项，由，得2分又，且，所以所以是数列的第项 6分（2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，得，令整数，则9

29、分下证整数若设整数，则令，由题设，取，使 ，即，所以，即12分所以q0，q1，与矛盾!所以15分等差与等比数列综合问题1(1)数列中, ,前项的和求(2) 在等比数列中, ,且前项的和为,求2巳知等比数列满足，且，则当时， 3已知（m为常数，m0且）设是首项为4，公差为2的等差数列. （）求证：数列an是等比数列； （）若bn=an，且数列bn的前n项和Sn，当时，求Sn 4设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知的通项公式。5已知的通项公式.等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。6在等差数列中，公差，且

30、， （1）求的值（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得 ， ，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由（3）若自然数()满足 ， 使得成等比数列，当时， 用表示 . 7设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和8已知是等比数列, 数列是等差数列, 且,(1)求的通项公式和前项的;(2) 求的通项公式和前项的;(3)设,求8.设an为等差数列，bn为等比数列，a1b1 1, a2+a4 b3，b2b4a3.分别求出an及bn的前10项的和S10及T10.归纳推理有关归纳的问题1观察下列等式： ， 由此得到第个等式为 .2将正偶数排列如右表

31、，其中第行第个数表示为2468101214161820例如，若，则 603正整数按下列方法分组：记第组中各数之和为；由自然数的立方构成下列数组：记第组中后一个数与前一个数的差为则4将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820则第n（n4）行从左向右的第4个数为 答案： 5将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 6设，经计算有, 则可推测当时，有 答案：7已知数列的通项公式，记， 通过计算的值，推测出 .观察下列等式：1 = 12，2 + 3 + 4 = 32，3 + 4 + 5 + 6

32、+ 7 = 52，4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 72，由此归纳，可得到一般性的结论是 8一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称). 9已知数列满足（为正整数）且，则数列的通项公式为 10已知数列满足：，（），若前项中恰好含有项为，则的值为 . 或有关推理的问题1设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若, 则.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4）

33、，Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若,则 2若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当_时，数列也是等差数列3 若等差数列的公差为，前项的和为，则数列为等差数列，公差为类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项的积为，则数列为等比数列，公比为 4平面几何中有结论“周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”，类比到空间可得 的结论是 .5在中，则外接圆的半径，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为则其外接球的半径为等于_6若ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则ABC的面积Sr (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积V 7设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， 8设等边的边长为，是内的任意一 点，且到三边的距离分别为，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为，则有为定值_.不定方程型： (!)2008高考：设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序