一元二次方程的解集和根与系数的关系.doc

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1、 一元二次方程的解集与其根与系数的关系市教师进修学院 宋润生只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式为，其中是二次项，是二次项系数；是一次项；是一次项系数；是常数项一、一元二次方程的解集使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集设一元二次方程的解集为，（1）当时，（2）当时，（3）当时，例1不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）；（2）；例2已知关于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根，（1）求

2、k的取值围；（2）是否存在实数k，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解：（1）（2），所以，不满足，所以不存在实数k，使此方程的两个根是互为相反数二、一元二次方程根与系数的关系当时，一元二次方程有有两个不相等的实数根，那么当时，一元二次方程有有两个相等的实数根那么 ，如果一元二次方程的两个实数根是， 那么也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦韦达（Franois Vite，15401603

3、）韦达定理的应用（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一根与未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值此时，常常涉与代数式的一些重要变形；例如：例3已知方程的一个根是3，求它的另一根与的值例4求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，例5设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）例6在RtABC中，C=90，a，b，c分别是A，B，C的对边，a，b是关于x的方程的两根，求AB边上的中线长练习题1下列方程，有实数根的是ABCD答案：C2设关于x的方程x2（2k1）xk2

4、+2k+3，当k为何值时，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?答案：（1）；（2）；（3）3已知关于的方程有两个不相等的实数根，若，那么的最大值是_答案：，的最大值是14已知一元二次方程的根的判别式=4，则这个方程的根为_答案：，根为2和45若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值围是A BCD答案：B6关于的一元二次方程A没有实根B有两相等实根C有两不相等实根D可能有实根答案：C，7已知a，b，c是ABC的三边长，且方程（a2+b2）x2-2cx+10有两个相等的实数根请你判断ABC的形状答案：直角三角形， ，得8关于方程的两实数根是，的说确的是

5、ABCD以上都不对答案：D9已知方程的一个根是2，则它的另一个根与的值分别为_答案：的值，另一个根10已知方程x22（m21）x+3m=0的两个实数根的倒数和等于0，则Am=1Bm=1Cm=1Dm=0答案：B11一元二次方程的两根为、，则A3B6C18D24答案：A12已知的两实数根是，则的值为_答案：13若方程的两实数根是，则的值为_答案：414设，为关于x的方程x2+2mx+m2+3m2=0两个实根，求的最小值答案：，当时取最小值15已知，是关于x的方程的两个实数根，若，求的值答案：时，所以因为，所以，解得或当时，不成立，所以16设a，b是方程的两个实数根，则的值为_答案：201717已知

6、关于的方程的两根的平方和等于4，求的值答案：，解得或其中使18若方程2x2(k1)xk30的两根之差是1，求k的值答案：令得，所以或其中使19已知x1，x2是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+nx+m=0的两根，求m，n的值答案：，20以和为根的一个一元二次方程为_答案：21求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数答案：因为，所以，22设一元二次方程的两实数根是，以，为根的一个一元二次方程为_答案：因为，所以，23对于方程x2+bx2=0，以下说确的是A方程有无实数根，要根据b的取值而定B无论b取何值，方程必有一正根，一负根C当b0时，方

7、程两根为正；b0时，方程两根为负D因为20Bac 0Cab 0Dac 0答案：D25已知关于x的方程2（k+1）x2+4kx+3k2=0（1）当k为值时，两根互为相反数；（2）当k为何值时，有一根为零，另一根不为零解：（1），因为方程两根互为相反数，所以，即，满足，所以当时，方程两根互为相反数（2）因为方程有一根为零，所以，得26设关于的方程的两个实数根的倒数和等于3（1）求的值；（2）已知关于的方程有实数根，若，求代数式的值解：（1），因为方程两根倒数和等于3，所以，即由韦达定理，满足，所以（2）若，方程有实数根；若，当判别式，即时，方程有实数根，因为，所以或当时，；当时，；当时，不存在27已知，若，则ABCD答案：A解：因为是方程的根，所以是方程的根而是方程的根，所以与方程的两个不同实数根，由韦达定理得28已知方程组的两组解分别为和，若（1）求的值；（2）不解方程组判断方程组的两组解中的每一个数能否都为正数，为什么?解：（1）由得，所以因为，所以，解得或，不满足，所以（2）方程组解得个数等于关于的方程根的个数因为，关于的方程化为，因为，所以，即方程组的两组解中的每一个数都为正数8 / 8