再续《“45度”角的压轴小题小析》(1).docx

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1、构造基本模型巧借“450”角问题原题呈现：-再续“450”角的压轴小题小析丹阳市埤城中学 王伟勤在ABC 中，AC=BC，ACB=900，点 D、E 分别在直线 BC、AC 的延长线上， 且 CD=CE，BE 与 AD 交于点 F，连接 CF（1）如图 1，求证：BFC=450；（2）如图 2，若点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上时，（1）中的FDBC图 2E结论是否成立，并说明理由AAEFDBC图 1思路点拨 1：手拉手模型AEFAE如图 3、4、5，手拉手全等形和相似型AB CDBFEFC BC图 3图 4图 5过程精解：解法:1：解：如图 6，过点 C 作 CGF

2、C，交 BF 于 G. 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEACDBCE DAC = EBC FCE+ECG=900，GCB+ECG=900，FCE=GCB 在FAC 和GBC 中FAC = GBCAC = BCFCA = GCBFACGBCFC=GCFCG=900，CFG=CGF=450AEFGB CD图 6其它作法：在 BF 上截取 BG=AF，连接 CG 解法 2：如图 7，过点 C 分别作 CGAD 于 G，CHBF 于 H 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCEACD = CEACDBCEF DAC = EBC H EAEF=BEC，A

3、FE=ACB=900GBFD=900BCD图 7在HBC 和GAC 中HBC = GACBHC = AGCCB = ACHBCGAC HC=GCCGAD，CHBF BFC = CFG = 1 BFD = 4502解法 3：如图 8，过点 C 作 CGFC，交 AD 的延长线于 G 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEEFBCDACDBCEA DAC = EBC FCG=ECB=900，FCG+ECF=ECB+ECF，即 ACG=BCF 在GAC 和GBC 中GAC = FBCGAC = BC图 8ACG = BCFGACGBCFC=GC，BFC=GFCG=900

4、，CFG=G=450BFC=450思路点拨 2：如图 9，反“A”型相似模型；FEABD图 9如图 10，蝶型（反“8”型）模型DAB过程精解：解法 4：如图 11，AC=BC，ACB=900，CBA=CAB=450在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEACDBCEEC图 10EFA DAC = EBC ， D = BEC EBC+BEC=900，BEBC+D=900BFD=900在ACD 和BFD 中CD图 11 DAC = FBD ，ACD=BFD=900，ACDBFD DF = BD CDADD=D，DFCDBADFC=CBA=450BFC=BFDDFC=4

5、50解法 5：如图 12，AC=BC，ACB=900，CBA=CAB=450在ACD 和BCE 中FEAC = BCACD = BCECD = CEACDBCE DAC = EBC ， 在FAE 和EBC 中FAE=EBC，AEF=BECBFAEEBC AE = EF ACD图 12BEECAEB=FEC，EABEFCBFC=CAB=450思路点拨 3：四点共圆模型如图 13、14，两直角位于直径异侧两直角位于直径同侧COCDOABAB知识点：D图 13图 14圆的定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；四点共圆的定义：同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆证法 1：

6、ACB=ADB=900，点 O 为 AB 的中点 OA = OB = OC = OD = 1 AB2点 A、B、C、D 在以 AB 为直径的圆上证法 2：（参考江苏省数学中考指南）ACB=900，点 A、B、C 确定的圆的直径是 AB 又ADB=900，点 D 在点 A、B、C 确定的圆上 过程精解：解法 6：如图 15， 连接 FD，AC=BC，ACB=900，CBA=CAB=450同理：CED=CDE=450 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEAACDBCE ADC = BEC EBC+BEC=900，EFEBC+ADC=900BFD=900BECD=90

7、0，点 E、C、D 确定的圆的直径是 ED 又EFD=900，点 F 在点 E、C、D 确定的圆上 BFC=CDE=450解法 7：如图 16，AC=BC，ACB=900，AEFBCDCBA=CAB=450在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEACDBCE DAC = EBC AEF=BEC，AFE=ACB=900ACB=900，点 A、B、C 确定的圆的直径是 AB 又BFA=900，点 F 在点 A、B、C 确定的圆上 BFC=CAB=450CD图 15图 16思路点拨 4：“弦图”模型如图 17、18，弦图一弦图二AHDAHDGEGEB过程精解：F图 17C

8、 BFC图 18解法 8：如图 19，过点 C 作 CGAD 于 G，过点 B 作 BHCG，交 GC 的延长线于 H 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEEFBCGDACDBCE DAC = EBC ， D = BEC EBC+BEC=900，EBC+D=900BFD=900H=HGF=BFG=900 四边形 BFGH 为矩形 BH=FG，BFHGHHCB=EBC GAC = EBC HCB=GAC 在HCB 和GAC 中A图 19HCB = GACH = CGACB = ACHCBGAC BH=CG， BH=FG， CG=FG CGF=900 CFG=FCG

9、=450BFC=BFGCFG=450解法 9：如图 20，过点 C 作 CGBF，交 BF 于 G；过点 A 作 AHCG，交 CG 的延长线于 H 在ACD 和BCE 中AC = BCACD = BCECD = CEACDBCE DAC = EBC AEF=BEC，AFE=ACB=900H=HGF=AFG=900 四边形 AFGH 为矩形 AH=FGBACH+BCG=900，CBG+BCG=900ACH=CBG 在ACH 和BCG 中H = BGC = 900ACH = CBGAC = CBAHGEFCD图 20ACHBCGAH=CGAH=FGCG=FGFGC=900，BFC=GCF=450

10、 （2）第 2 小问与第一小问大同小异，本人不再赘述.下面提供图形，如图 21、22、23，有兴趣的小伙伴可自行完成. F DBAAAFBFCDBCDCEEE画龙点睛：图 21图 22图 23本题主要利用四个模型求解，手拉手模型；A 型或蝶型；四点共圆； 弦图模型，有已知条件可知ABC 为等腰直角三角形，利用相似或可得对应角相等，求得 450，或者构造全等形得对应边相等，从而得出一个等腰直角三角形， 本题中弦图分为两种，与之前一文形成联系，总之本题中的 450 角与等腰直角三角形分不开，有兴趣的小伙伴可继续琢磨 小试牛刀：1.在如图 24 所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，

11、A、B、C、D 都在格点处，AB 与 CD 相交于点 O，BOC= OBCAD图 242.如图，已知四边形 ABCD 是正方形，等腰直角AEF 的直角顶点 E 在直线 BC上（不与点 B、C 重合），FMAD，交射线 AD 于点 M （1）当点 E 在边 BC 上，点 M 在边 AD 的延长线上时，如图 25，求证：AB+BE=AM；（2）当点 E 在边 CB 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图 26请分别写出线段 AB，BE，AM 之间的数量关系，不需要证明；6（ 3 ） 在 （ 1 ），（ 2 ） 的 条 件 下 ， 若 BE=， AFM=15 ， 则C图 27FAM= ADGA MD AMDB EC图 25FEH EBCB图 26