专题17解三角形综合-2021年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版).docx

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1、专题17 解三角形综合【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因为，所以（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得由于，所以，故【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.【母题来源二】【2018年高考全国理数】在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1）在中，由

2、正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.【母题来源三】【2017年高考全国理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周

3、长为.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.【命题意图】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定

4、理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.【命题规律】解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点常见的命题角度有：（1）直接利用正、余弦定理解三角形；（2）与三角形面积有关的问题；（3）三角形形状的判断；（4）解三角形与三角恒等变换相结合【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向

5、.第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步，求结果.第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【方法总结】（一）利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求

6、解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，其变式有：，等（2）三角形中的三角函数关系：； ； .（二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.（三）求三角形面积的方法（1）若三

7、角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键（四）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解（五）三角形中的综合问题（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的

8、等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.1【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】已知中，.（1）求的面积；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）28；（2）.【解析】（1）且，.在中，由正弦定理得，即，解得所以的面积为.（2）在中， 所以由余弦定理得，所以【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考

9、查了同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题.（1）由即可求得，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得，利用正弦定理即可求得，再利用三角形面积公式计算得解.（2）在中，由余弦定理列方程即可得解.2【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学试题】已知锐角的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以由正弦定理，得，因为，所以， 所以， 所以，所以（2）解法一：因为为锐角三角形，所以为锐角， 因为，所以因为，所以由余弦定理得， 所以，所以. 解法二：因为为锐角三角形，所以，为锐角，因为，所以由正弦定理得，所以因为，所以所以，由正弦定

10、理得.【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题.（1）由正弦定理，得，进而，则sinA可求；（2）解法一：由余弦定理得c的方程求解即可；解法二：由正弦定理得，进而得，再利用正弦定理得c即可.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）7.【解析】（1），由正弦定理得：，即，.（2），由余弦定理可得：，即，.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.（1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为；利用余弦定理可求得，从而得到；（2）利用三角形面积公式可求得；利用余弦定理可构造关于

11、的方程，解方程求得结果.4【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】在中，内角所对的边分别是，已知（1）求证：为等腰三角形；（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由得：，则，由正弦定理可知：，为等腰三角形.（2）由题意得：，解得：，为钝角三角形，且，为钝角，由余弦定理得：，.【名师点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及两角和正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.（1）将正切化弦，结合两角和正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，再由正弦定理可得到结论；

12、（2）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（1）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果.5【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】在中，角所对的边分别为，满足（1）求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，即，因为，所以，又因为，解得：.（2），可得，由余弦定理可得：，的取值范围为.【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知

13、等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围6【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】在中，的对边分别为，.（1）若是上的点，平分，求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得，因为平分，所以.（2）由，得，所以由，得，故.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.（1）根据正弦定理可得，从而，根据条件求出即可；（2）由余弦定理化简条件可得，利用正弦定理及三角形面积公式 即可求解.7【湖北省黄冈中学2019届高三

14、第三次模拟考试数学试题】已知在中，分别为角，的对应边，点为边的中点，的面积为.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由的面积为且为的中点可知：的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得，所以.（2）因为，所以在中，由正弦定理可得，所以，由（1）可知，所以，因为，所以，在直角中，所以，.因为，所以， 在中用余弦定理，可得，所以.【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.8【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求ABC外接圆的面积；

15、（2）求边c的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设ABC外接圆的半径为R，由，利用正弦定理可得，解得，所以外接圆的面积为.（2）由及正弦定理可得，由余弦定理，得，整理得，即， 则，当且仅当时取等号，由正弦定理得，所以边长的最大值为.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.（1）由题意，利用正弦定理

16、可得，解得，即可求解外接圆的面积；（2）由及余弦定理，整理得，利用基本不等式求得，进而得到，再由正弦定理，即可求解边长的最大值.9【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题】如图，中，为的中点，.（1）求边的长；（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.【答案】（1）10；（2）.【解析】（1）因为在边上，所以，在和中，由余弦定理，得，因为，所以，所以，即.所以边的长为10.（2）由（1）知为直角三角形，所以，.因为是的角平分线，所以.所以，所以，即的面积为.【名师点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数

17、形结合思想，属于中档题（1）由题意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，进而解得BC的值（2）由（1）可知ADC为直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分线的性质可得，根据SABCSBCE+SACE可求SBCE的值10【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知中，角的对边分别为（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依次成等差数列，且公差为，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，又，则，.（2）设，外接圆的半径

18、为，则，解得：，由正弦定理可得：，可得：，的周长.又，当，即时，取得最大值.周长的最大值为.【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题（1）由成等差数列，且公差为，可得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.11【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知向量.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以，所以的最小正周期为.（2）由题意可得，又，所以，所以，故.设角的对边分别为，则.所以，又，所以，故，解得.所以故的周长为.【名师点睛】本题考查正余弦定理、辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查计算化简的能力，属基础题.（1）由向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得，代入公式即可求得最小正周期.（2）由，可得，结合正弦、余弦定理，可求得b，c的值，即可求解周长.