本科毕业设计-四元数矩阵.doc

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1、潍坊学院本科毕业论文引言随着当今时代的进步与发展，数学也在跟随着时代的步伐向前迈进. 四元数矩阵在数学及其它学科领域的理论研究中有着广泛的应用，是四元数体上重要定理，它在矩阵的学习过程中占有很重要的地位. 四元数矩阵的理论对于进一步的研究数学，对于对后续课程的学习起着举足轻重的作用. 四元数矩阵的相关理论比较繁杂，又分生出各种层次的概念，对于本文的主要研究问题并不局限于四数元矩阵的表面，而是把这一部分进行深入的推广. 四元数的背景与定义是最基本的讨论，要想真正理解四元数就要从它的产生和发展入手，四元数体就是发展中产生的外延，并且发展成主要的内容，所以对它的定义有必要深入介绍，. 四元数矩阵的理

2、论在各个方面的应用都比较广泛，特别是在物理学和数学上联系密切.我们通过运用四元数矩阵的各理论研究可以把矩阵中的基础性的内容转化为更为代数的解决方式，比如四元数矩阵的特征值、Jordan标准形、奇异值分解以及四元数矩阵的正定性四元数矩阵方程.本课题的研究目的：经过对四元数矩阵的多角度、全面性、多层次的认识，使我们对四元数矩阵更加了解，了解它的定义及背景以及定理证明，在实践中更加熟练的使用它 ，这也让我们明白它所具有独特性和重要性，在我们数学学科中的非同一般的位置. 能够运用四元数矩阵的理论解决数学学习中遇到的有关于矩阵的一些基本问题.本课题的研究过程：研究四元数的背景、意义及定义，接着讨论四元数

3、体上的定义以及定理，最后对四元数矩阵理论进行推广.1.四元数的发展1.1背景四元数的发现离不开爱尔兰数学家哈密尔顿，是他对四元数进行了开创性的数学定义. 四元数有它本身的独特性，也就是最有意思的一面，在数学学科中乘法交换律是公认的基础原则，但对四元数却是无约束的存在，所以四元数有它的独特魅力. 也就是说，四元数是复数的不能交换延伸. 假如把四元数的集合研究成多维实数空间的话，四元数就表示为一个四维空间，相当于复数为二维空间.四元数是除环(除法环）的一个事例,除了不包含乘法的交换律以外，除法环与域是类似的. 尤其是，乘法的结合律一直存在、非零元素一直是唯一的逆元素. 四元数表示成一个在实数上的四

4、维结合代数（实际上是除法代数），并且包括复数，但是不和复数形成结合代数.四元数（及其实数和复数）仅仅是有限维的实数结合除法代数. 四元数的不可交换性通常致使一系列使人意外的结论，比如四元数的 阶多项式可以有大于个不同的根.四元数是由哈密尔顿在1843年爱尔兰展现的. 那是他正探究扩展复数到更高的维次（复数可看成平面上的点）,他无法做到三维空间的事例，但是四维就产生四元数. 依据哈密顿记述，他在10月16日和他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时一下子想到. 随后哈密顿马上把这个方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现在称为金雀花桥 Broom Bridge

5、）.这个方程舍弃了交换律，是那是一个极端的想法（当时还没有发现向量和矩阵）.不仅如此，哈密顿还发现了向量的内外积. 于是，他把四元数打造成一个有序的四重实数：一个纯量（）和向量（）的结合. 假如两个纯量部为零的四元数相乘，得到的纯量部就是一开始的两个向量部的纯量积的负值，然而向量部就是向量积的值，但是它们的重要性一直有待挖掘. 对于四元数的研究，由于它的广泛性，所以存在大量的实例对它的推广，但总体概括来说有两部分的内容：一方面它是复矩阵代数的扩大，就如实剖析发展到复分析那样充满活力和朝气；另一方面它来自许多其他学科工程的应用背景.从1843年英国数学家Hamilton建立四元数理论入手，其最开

6、始的目标是为考虑空间矢量找到近似办理平面题目中使用的复数方式. 但因为那是数学器材的局限，四元数最开始只是在刚体定位问题中得到一些相对比较简单的应用，未能解决工程技术中的实际问题，所以，它的优越性那时还未能够表现出来，在一个世纪中并未得到什么发展，更不用说在实际工程中的应用. 从20世纪中期以来，人们把复平面推行到四维空间后，察觉使用四元数和四元数矩阵能够解决实际中的许多问题.于是关于四元数和四元数矩阵的研究又被无数学者推到高潮，成为大家不断进行信息发掘的热点问题.1.2含义 对于四元数的辩论很对人对哈密顿都是嗤之以鼻，四元数在开始的地位低入谷底，以为它经不过时间的推敲. 但是在20世纪40年

7、代以后，很多科学家从迷雾中走出来，不在把它单纯的局限于物理学方面，大家对哈密顿发现的四元数有了全新的认识，就是在代数方面的影响. 这样的事情也发生在几何学中，在非欧几何还没发现前，几何学也是陷入了泥潭中，是非欧几何让它重新焕发了光彩.四元数的独特之处就是任性的不满足于乘法交换律，也是首个被发现的这样的数学目标. 于是代数系统就发生了日新月异的变化，实数和复数不在孤单，而是形成了框架和组合. 任何事情都不是简单得来的，是经过大量的探究得来的，约两百多种的代数学是日思夜想的心血.四元数经过低估，经过实践的洗礼又上升到高峰，已经在数学和物理方面得到普遍的认可，而且成为向量代数、向量分析和线性结合代数

8、理论的开始.与其说四元数是数学中的概念，倒不如说它是物理学中的光辉，当刚体力学不断完善和发展，刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题与四元数居然完美契合，并且与旋转矩阵的运算与单位四元数的运算也是大同小异，所以物理学中很多应用都使用了四元数的概念和推广，四元数不再是空洞的理论，变成了有血有肉的丰富理论和实践体系. 1970年以后，世界慢慢步入计算机时代，学科间就不断进行了整合，由于计算机的丰富性，所以很多以前不被理解和重视的理论又迎来了它们的春天，但是四元数也有它自身的局限性，四元数矩阵右特征值存在无限性，然而左特征值又存在不确定性，这些都阻碍了四元数的发展，并且在计算方面四元数矩阵也是繁

9、琐的，所以四元数的研究的也是充满了困难.2.四元数的定义与定理2.1四元数定义2.1.11：四元数是简单的超复数.复数是由实数加上虚数单位，构成，并且它们有下面的联系：， ，都是和的，即是四元数一般可表示为，其中是实数.关于自身的几何含义可以理解为一种旋转，此中旋转表示轴与轴相交平面中轴正向向轴正向的旋转，旋转表示轴与轴相交平面中轴正向向轴正向的旋转，旋转代表轴与轴相交平面中轴正向向轴正向的旋转，逐一表示旋转的反向旋转.2.2四元数体第一个非交换的体是W.R.Hamilton在1843年给出的，叫做实四元数体，在同构意义下其矩阵形式可表述为这里是复数域，是的共轭复数. 因此，实四元数体是上的二

10、阶全矩阵环的子体. 当然，这里需要验证集合关于矩阵加、乘运算是一个体. 例如，若, 即，则容易证明非奇异，且.设是实数域，记，这里是虚数单位，则.定义2.2.11设是一个体，命 ,叫做体的中心.命题2.2.11体的中心是它的一个子域；特别地，.定义2.2.21一个域叫做形式实域，如果在中关系式仅当时成立.命题2.2.21设是一个形式数域，则所示的关于加、乘运算是一个非交换体.定理2.2.11设是一个域，则所示的关于相应的加、乘运算是上的一个四元数体的充分且必要条件是F是一个形式数域. 命题2.2.31设是一个形式实域，则.定理2.2.21设都是形式实域，则的充分且必要条件是.定义2.2.31由

11、有理数域所嵌入的四元数体叫做有理四元数体.定理2.2.31有理四元数体是最小的四元数体.证：设是任意的一个四元数体，因，则包含一个与有理数域同构的子域,显然. 但是有理四元数体与同构，因而存在有理四元数体到的单射，故知它是最小的四元数体.3.四元数矩阵的一系列理论研究3.1四元数矩阵的特征值定义3.1.13设 可中心化 , 则 的弱特征多项式 在复数域 （其它代数闭域上也一样）上的 个根称为 的特征根. 设, 若存在非零向量 使得 , 则称为 的左 ( 右 ) 特征值 , 若既为 的左特征值又为 的右特征值 , 则称 为 的特征值. 定理3.1.13设 可中心化 , ,则下列等价 :(I) 为

12、 的特征根 ;(II) 为 的特征根 ;(III) 为的右特征值 ;(IV) 为 的重特征多项式的根.推理13设,则下列等价 :(I) 为 的特征根 ;(II)为 的右特征值 ;(III) 为 的重特征多项式的根 .推论23设 可中心化 , , 则下列等价 :(I)为 的特征根 ;(II)为 的右特征值 ;(III为 的左特征值 ;(IV) 为 的特征值 .注1易知矩阵的右特征值不一定为左特征值 , 反之 , 左特征值也不一定为右特征值.注2任意四元数矩阵一定存在复右特征值, 但不一定存在复左特征值 , 因此左特征值不是相似不变量.例如 取，一介矩阵，则只有一个左特征值.最小多项式与弱特征多项

13、式的根之间的联系定理3.1.27设 可中心化 , 为的 ,为 的弱特征多项式 , 则(I) 当不是的极大子域时 , 则，在 上的根一致 , 即含有 的所有特征根 .(II) 当是的极大子域时 , 则存在一个代数闭域，使得在中的根与在中的根一致 , 即 在上的特征根或者为的根 , 或者其共轭为的根(也可能，同为的根).证明 (I) 设不是 的极大子域 .当为的子域时 , 易见 = , =, 此时 实际上就是实数域 上的矩阵 ,显然命题成立 .当不是的子域时 , 由的重行列式等于的复表示矩阵的行列式 , 即的证明知实际上是 最小多项式 , 这样 与的根一致 , 又由 满足交换条件, 则 的特征多项

14、式的平方等于重特征多项式 知结论成立 .(II) 设是的极大子域 , 则易见为一个代数闭域 , 记为 , 此时.推论3设 可中心化 , 则 的最小中心多项式与弱特征多项式的根一致. 即的特征根均为的根.当然，人们会问：四元数矩阵特征值理论的现状如何？因此作四点说明：1)四元数矩阵的右特征值的存在性、表示以及Jordan标准形定理已经完满解决，但是由于体上矩阵研究的停滞，并没有引起人们的关注. 后来，由于谢邦杰的工作，带动了一些中国年轻学者探索，他们在未知条件的情况下独立地进行研究，其中以黄礼平的研究较为系统. 本章节的阐述就取自他的文章. 2)除了右特征值外四元数矩阵特征值的研究，1985年R

15、.M.W.Wood证明了阶四元数矩阵的奇异特征值的存在性定理；2001年，黄礼平探究了二阶实四元数矩阵的左特征值. 但是，黄礼平用定义左特征值，与来自M.P.Cohn的定义有点差别. 3)对右、左特征值的关系，张福振（1997）、李祥明（1998）都有研究，例如李祥明举了这样一个例子：取，则是的一个左特征值，但不是的右特征值. 4)所以对自共轭四元数矩阵的特征值问题就有了详尽的叙述. 关于实四元数矩阵特征值的情况依旧不够明朗，环上矩阵有比较长足的发展，在其它的方面，由于一般情况下四元数矩阵右特征值无限性以及左特征值不确定性的难处，因此四元数矩阵的特征值理论还是处在实验和探究阶段，并没有足够合理

16、的解释方式 和详尽的理论思绪. 3.2四元数矩阵的Jordan标准型定理3.2.15复矩阵方程有唯一解的充分必要条件是和没有的复特征值.Jordan标准型的Jordan块也如复矩阵情形，如关于的阶Jordan块是如下矩阵：定理3.2.25设,则相似于一个Jordan形矩阵,即，此中且除了对角线上Jordan块的排列次序外，是由唯一确定的.因此，称上面的是的Jordan标准形.证：先证Jordan标准型的存在性. 对用数学归纳法. 当时，显而易见，存在性成立. 假设对所有不大于阶的矩阵存在性成立，那么对于,由归纳假设可知，存在使得其中.将分块为,其中，. 下面分为三种情况讨论：1)如果存在，使得

17、，不妨设. 那显而易见. 因此，存在，使得，. 令，则.由此可知所以，对于应用归纳假设得命题成立. 2)如果，而且是虚数. 因为，因此存在，使得，所以显而易见有 所以，相似于的Jordan标准型，不妨设这个Jordan标准型的主对角线上个数均为虚部非负的复数. 3)如果，且是实数，不妨设，由此可见满足交换化条件，从而满足中心化条件. 所以相似于一个实矩阵，从而相似于一个Jordan标准型矩阵. 综上所述，存在性得证，下证唯一性. 由定理可知 由在复相似变换下的Jordan标准形的唯一性，当然是由唯一确定的（除了对角Jordan块的排列顺序外），因此由唯一的确定（除了对角Jordan块的排列顺序

18、外）. 定理3.2.35设,，则四元数矩阵方程有唯一解的充分必要条件是与没有公共的右特征值.3.3四元数矩阵的奇异值分解四元数矩阵理论的内容是庞大的，但最主要的内容还是四元数矩阵的奇异值分解，无论是在理论探究还是在四元数数值计算上，它的作用都无法替代. 如何证明奇异值分解得存在性，那就要从根本上探究，从上文中可以看出，四元数矩阵所有的理论论述都能从自身表示出奇异值分解的存在性. 本节的主要内容便是对四元数矩阵奇异值分解的构造进行证明，所用到的方法是通过四元数矩阵的复表现和友向量，这个方法是目前可以求得详细分解式比较有效的方法. 引理3.3.110若，则存在酉矩阵，使得 其中，为矩阵的个非零奇异

19、值. 证：考虑 的复表示矩阵，显然为复数域上Hermite半正定矩阵. 由此可知，的实特征值成对出现，因此设为相应于的标准正交特征向量为根据定理可知， 即为相应于的标准正交特征向量由内积定义得所以可知非零且彼此正交. 记其中和是由标准正交向量组扩充形成的标准正交基而得到的. 很明显，均为酉矩阵，并且有假如记为相应于的四元数矩阵，其中，则由定理可知为的奇异值分解. 四元数矩阵奇异值分解的算法：第一步 给定四元数矩阵,求出的复表示矩阵；第二步 求复矩阵 的特征值和相于的标准正交特征向量，记第三步 计算并扩充成的标准正交基，记；第四步 利用逆变换，求出. 3.4四元数矩阵的正定性定义3.4.16设,

20、如果对任意皆有则称为正定四元数矩阵. 引理3.4.16设上任意矩阵, 只要有意义 , 有引理3.4.26设，则正定的充要条件是对任意,都有.证明：,其中由引理3.4.1可知. 所以上式中互为共轭四元数，所以上式为实数. 故可知属于的实部. 类似的可知属于的虚部. 进而可知，于是有正定即. 推论1矩阵正定的充要条件是的自共轭部分为正定矩阵. 推论2若、为正定矩阵 , 则为正定矩阵 ; 若为正实数 , 则为正定矩阵. 推论3设为可逆矩阵 ,为正定矩阵 , 则为正定矩阵. 证明：由于是正定矩阵，因此对任意,由定理可知有. 令,则,由于正定，所以有,从而，因此正定. 推论4若正定 , 则、正定. 证明

21、：1）由于正定，由推理1可知正定，而且, 因此正定，再由推论1可知正定. 2）由定理可知, 因此,由于正定. 所以正定，由推论3可知正定，由上式可知正定，再由推论1可知正定. 推论5正定矩阵的任意主子阵也是正定矩阵. 引理3.4.36设,则有 引理3.4.46设是正定四元数矩阵 ,的的特征值 , 那么有 定义3.4.26设是正定四元数矩阵，如果存在非奇异四元数矩阵,使得，则称与是合同的. 定理3.4.16设为四元数方阵，且对角阵中，假如与是合同的，则是正定的. 证明：因为因此对于任意，有令，则有,由引理2可知，从而. 这说明是正定的. 由推论1可知是正定的，又因为与是合同的，即，那么，所以可知

22、，从而有，再由推论3可知正定. 3.5四元数矩阵方程四元数矩阵方程为四元数矩阵理论的主要构成成分，因此对比系统的研究从庄瓦金的著作开始，到目前为止虽有很多事情，但是于线性矩阵方程的半正定解、正定解方向，在共轭线性、二次方程的解理论方面，比庄瓦金更深刻的结论并不多. 所以，本节阐述庄瓦金的结果. 引理3.5.111设，其中，为正对角矩阵，则得一般解为，其中，. 引理3.5.211设，所以当且仅当存在，使得. 引理3.5.311设，则二次共轭矩阵方程有解的充分必要条件是半正定；并且在此条件下，这个方程的一般解为，其中是的半正定平方根，且. 引理3.5.411设是一个体，那么矩阵方程有解的充分必要条

23、件是存在，的逆，使得；并且在此条件下，这个方程的一般解为 ，其中或者 ，其中下面阐述线性矩阵方程的一些结果 引理3.5.511设，是右高矩阵，那么矩阵方程有正定自共轭解得充分必要条件是是正定自共轭的；并且在此条件下，这个方程的一般正定自共轭解为 这里是满足的任意确定的右高矩阵，是任意可乘的正定自共轭四元数矩阵. 引理3.5.611设，与矩阵方程 1） 上式有自共轭解的充分必要条件是存在，使得；且在此条件下上式的一般自共轭解为，其中2) 上式有半正定自共轭解得充分必要条件为与，并且在此条件下上式的一般半正定自共轭解为这里满足，是的任一确定的逆. 定理3.5.111设，的奇异解分解，其中，是正对角

24、矩阵，那么矩阵方程 (3-5-1）有解的充分必要条件为与，其中，使，叫做的酉正交补；且在此条件下上式的一般解是 (3-5-2)这里是的Moore-Penrose逆，是任意的阶斜自共轭四元数矩阵，为的酉正交补，. 证明：假如与，因此容易验证(3-5-2)所示矩阵为(3-5-1)的解，反之，假如是(3-5-1)的解，则. 令，其中，并且分别用，左，右乘(3-5-1)，于是得将此第一式与联立，解得，其中是斜自共轭的. 所以，由容易得知(3-5-1)的解具(3-5-2)之形式. 类似可证 引理3.5.711同定理3所设，则矩阵方程有解的充分必要条件是是斜自共轭的与；并且在此条件下，这个方程的一般解如(

25、3-5-2)所示，其中，其余同定理3.5.3. 由定理3.5.4易得的显式. 设，若，则称之为的列酉逆，记作. 由定理3.5.4可得. 推论3.5.111设，的奇异值分解为，则的列酉逆的一般表示式为这里，是满足的任意自共轭四元数矩阵，而且均为列酉矩阵. 引理3.5.811设，那么矩阵方程有解，而且其一般解为这里，分别是，的半正定自共轭平方根. 引理3.5.911设，的奇异值分解依次为，那么二次共轭矩阵方程 有解的充分且必要条件是，,为的酉正交补；且在此条件下上式的一般解为，这里是任意阶斜自共轭四元数矩阵，是满足的列酉四元数矩阵，是任意可乘的列酉四元数矩阵，而且，其中，是的任意确定的(1)的逆.

26、 结束语 本课题通过讨论四元数以及四元数矩阵，对四元数矩阵的一系列理论的定义、证明和推广加以了详细的说明，使我们对四元数矩阵的相关理论有了更加深入的理解. 四元数矩阵的推广是当今数学研究的一个课题方向，我们在这里就给出了简单的说明介绍. 但是整个课题的内容显然是缺少了与实际接轨的东西，单纯的理论性质比较强，只是任何学科的研究都要是为现实生活服务，我希望以后能够在应用方向找到更为实际的东西，因此希望以后有现实点的东西能够加在理论问题的研究之中去，能够在四元数矩阵的理论和应用方面有一个多角度，全面性，系统性的了解和分析. 参考文献1李文亮.四元数矩阵M.长沙：国防科技大学出版社，2002.062姜

27、同松，陈丽.四元数体上矩阵的广义对角化.应用数学和力学，1999,20(11)：1203-12103陈龙玄.四元数矩阵的特征值和特征向量.烟台大学学报，(自然科学与工程版)，(3)(1993)，1-8.4谢邦杰.四元数自共轭矩阵与行列式.吉林大学自然科学学报.2(1980)，19-345谢邦杰.体上矩阵的有理简化形式与Jordan形式的唯一性问题.吉林大学自然科学学报，1978,1:107-1166庄瓦金.体上矩阵理论导引M.北京：科学出版社，2006.067黄礼平.四元数矩阵的特征值与奇异值估计.数学研究与评论，1992,12:449-4548黄礼平.体上矩阵可中心化的判别定理.数学进展，1

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29、gular bordered matrices over a skew field.Northeastern Math J,1990,6：310-31615Huang L P.The matrix equation over the quaternion field.Lin Alg Appl，1996,234:197-208致谢首先，我要衷心感谢我的指导老师宋老师一个多月来对我辛勤的指导和细心的讲说，在我有疑惑不解的时候，总会听到宋老师那具有正确建议性的话语，这不仅给我指明了论文的方向，也是对我的信心带来了极大的鼓舞. 在选题，撰写，查找资料，再到反复修改，到最后的定稿，宋老师虽然有很多工作要

30、做，但是还是耐心的给我指导，包括一些文章细节的处理，像排版和格式，这说明老师事无巨细的态度和对学生无限的关爱，对我的帮助真的很大. 在学术方面，宋老师有着多年的教学经验，深厚的学术底蕴，有着非常严谨的教学态度，对学生却是蔼可亲. 宋老师认真的工作态度和非常正直的为人以及宽广的胸怀，所以他是我们同学心目中的楷模，是我们争相学习的奋斗目标，要学习老师在学术上严谨的态度，对人无距离感的人格魅力. 然而这一些经历将影响我以后的工作和学习，使我能够成为一个优秀的人，立足于社会，对自己喜欢的事情从一而终. 其次，我要感谢我四年同窗好友5201宿舍的全体成员们，四年的相处让我们对彼此都有了很多的了解，帮助、谈心、聚餐，种种都表现出了我们之间深厚的友谊. 在论文的撰写及修改的过程中，她们也是给与了我很多的的建议和帮助，在我因为论文而心烦的时候，她们及时给我鼓励，安抚了我烦躁的心，这对我论文的完成起了重要作用，我在此也向她们表示感谢！最后，我要对统计学以及数学与信息科学学院的所有老师和同学，感谢他们在四年来对我的的支持和帮助，让我认清了自身的不足和优点，是所有老师的努力付出，才有了我今天的成绩，我再次奉上最真挚的谢意. 19