本科毕业设计-基于内点法的电力系统最优潮流算法研究南通大学.doc

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1、 本科毕业设计题目基于内点法的电力系统最优潮流算法研究原 创 性 声 明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。（保密的论文在解密后应遵守此规定）学生签名： 指导教师签名： 日期： 南 通 大 学 毕 业 设 计（论文）题目： 基于内点

2、法的电力系统最优潮流算法研究 南通大学电气工程学院 201 年 5 月20日南通大学毕业设计（论文）摘 要随着电力系统规模的不断扩大，找到系统功率最优的运行状态也越发显得重要，电力系统最优潮流计算的研究的重要性便也日益凸显。最优潮流实际上就是通过改变系统中的控制变量，在达到一些相对的约束的条件的情况下，使得系统中的某一项指标运行在一个最好的工作状态上。在各种最优潮流计算方法中，内点法，收敛快速，迭代的次数和系统的规模没有什么关系，还不易出错，这让内点法成为求解大规模电力系统最优潮流最为实用的方法之一。本文对原对偶内点法进行了详细的介绍，给出了其具体的数学推导公式，建立了电力系统最优潮流的计算模

3、型，合理的处理了各个等式、不等式约束条件。利用IEEE-14标准测试系统作为算例，使用MATLAB数学软件进行编程计算，验证本文提供的计算方法的正确性。关键词：电力系统，最优潮流，原对偶内点法，约束条件ABSTRACTWith the enlargement of power system scale, finding the most advantages of power system operation is also becoming increasingly important, so the importance of studying on optimal power flow

4、calculation of power system is becoming increasingly prominent. Optimal power flow is actually under the condition of reaching some relative constraints, to make an index in the system operate in the best working state through changing the control variables of the system. In various methods of optim

5、al power flow calculation, the interior point method, fast convergence and the number of iterations has nothing to do with the scale of the system and is not easy to make a mistake, which let the interior point method become one of the most practical method for solving the optimal power flow in larg

6、e scale power system. This paperintroduces thePrimal-Dual Interior Method in detail, then given the specific mathematical derivation formula and established optimal power flow calculation model, Handling the various equality constraints and inequality constraints. Then use IEEE-14 standard test syst

7、em as an example, using MATLAB programming mathematical computing software, verify the reasonableness of the calculation method the paper provide.Key words: Power Systems, OPF, Primal-Dual Interior Method, Constraint conditions目 录摘 要IABSTRACTII目 录III1绪论11.1引言11.2电力系统最优潮流计算的发展历史及现状11.3本文所做工作22、电力系统最优

8、潮流算法介绍42.1最优潮流计算的基本数学模型42.1.1目标函数42.1.2等式约束条件52.1.3不等式约束条件52.2电力系统最优潮流的算法简介62.2.1 线性规划法62.2.2 二次规划法62.2.3 牛顿法72.2.4 内点法72.2.5电力系统最优潮流计算的新兴算法83、原对偶内点法93.1原对偶内点法的数学原理93.2目标函数的收敛条件123.3 初值的选取123.4 利用原对偶内点法进行潮流计算的方法134.基于原对偶内点法的电力系统最优潮流计算154.1电力系统最优潮流计算中的各项数学模型154.1.1最优潮流计算的目标函数154.1.2最优潮流计算的等式约束条件154.1

9、.3最优潮流计算的不等式约束条件164.2各项数学模型的具体表达164.2.1目标函数的各偏导数及相应矩阵164.2.2等式约束的各偏导数及相应矩阵174.2.3不等式约束的各偏导数及相应矩阵214.2.4对模型中各节点的不等式约束条件的处理244.3算例分析254.3.1 MATLAB简介254.3.2具体的计算流程254.3.3 IEEE-14标准测试系统运算结果265总结与展望295.1本文总结295.2今后展望29参考文献30附录IEEE-14标准测试系统数据32致 谢34341绪论1.1引言在这个世界上，人们的生活已经无法离开电能，电能也毫无争议地成为世界上最为重要的能源。而作为负担

10、电能产生、输送、分配以及消费的电力系统更是当今世界上最重要也是最复杂的系统之一。如何合理的控制电力系统，使得电力系统运行在一个最佳的状态（即电力系统的最优潮流计算）自然也就受到了国内外学者的广泛关注。所谓最优潮流，指的是在系统的结构参数以及各种负荷情况都给定的同时，通过调整给定各种控制变量，在满足电力系统中所有约束条件的前提下使系统的某一项性能指标运行在最佳状态时电力系统功率流的分布1。对电力系统的最优潮流的研究是研究电力系统运行的重要组成部分之一，研究此类问题对在电力系统中如何在保证安全和电能质量的前提下达到电力系统最优的运行状态具有十分重要的意义。1.2电力系统最优潮流计算的发展历史及现状

11、对于电力系统最优潮流计算的历史最早可以追回到第二十世纪。在当时，经典的经济调度法因为具有计算简单，收敛速度快，适合实时性应用等优点，在当时被广泛应用于最优潮流计算当中。而随着电力系统规模的不断扩大，经典的经济调度法已经很难完成当时电力系统最优潮流计算的各项要求，这就促使研究人员不断寻求更加高效可靠的最优潮流计算理论来代替经济调度法。随着计算机的高速发展，电力系最优统潮流计算进入了一个新的殿堂，计算速度十分迅速的计算机使得大规模的最优潮流计算成为了可能。在初始阶段，人们普遍采用对计算机内存要求较小的导纳法（高斯-塞德尔迭代法）来计算最优潮流。到了20世纪60年代，计算机的内存容量以及计算速度有了

12、很大的提升，这使得对内存要求较高却具有比导纳法更好的收敛性的阻抗法得到了广泛的应用。但是，随着电力系统规模的不断扩大，阻抗法计算量大、对内存要求高的缺点又再一次显现出来。为了克服这个困难，到了70年代，人们又提出了新的潮流计算方法牛顿拉夫逊法（以下简称牛顿法）。在最优潮流计算理论当中，牛顿法是以节点导纳矩阵为基础的，利用了稀疏矩阵的稀疏性直接对拉格朗日的KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，这是在非线性规划中是否有最优解的一个充分必要条件）进行牛顿法迭代求解2。尤其是在采用了最佳顺序消去法后，牛顿法在收敛性、对计算内存的要求甚至在整个计算速度方面都远远超过了阻

13、抗法。直到今天，牛顿法仍然在被广泛的使用，广大学者还在牛顿法的基础上提出了许多优秀的最优潮流计算方法。、到了80年代，人们又提出了具有多项式的计算复杂性的内点法，成为了潮流计算历史上的一次重大突破。近年来，基于内点理论的非线性规划法在最优潮流计算研究当中已经得到了成功的应用3-5，如基于L1范数模型和内点理论的潮流算法6、基于Taylor级数法的最优潮流计算7以及基于内点理论的半定规划法（SDP）等方法8。以上理论都只是考虑到了电力系统处于稳定运行的状态下的静态安全的约束，但是电力系统实际上是一个动态的系统，以上常规的方法很难对动态运行的电网的动态安全性做出保证。因此在近几年，研究者已经开始把

14、最优潮流中的暂态稳定的约束考虑到他们的研究范围之中9，并建立了与之对应的新的最优潮流模型。随着现代科学技术的发展，一些智能化的科学理论也被运用到了电力系统最优潮流计算中来，这些算法一般被称为现代智能算法10，主要有具有全局收敛性的遗传算法、基于群体智能演化计算技术的粒子群算法、以及模拟固体退火物理过程的模拟退火法等等11。虽然目前已经拥有了众多的计算理论与先进的计算工具，但是目前最优潮流在实时性应用方面仍然面临着巨大挑战。这主要有两方面的原因：首先，随着社会的飞速发展，电力系统的规模也在相应地不断扩大，这直接导致了电力系统最优潮流模型里面所包含的各种约束条件的数量也在不断地增加，计算量自然也会

15、相应的不断增加，这使得最优潮流的计算速度相对变得缓慢，无法在短时间内完成优化，即无法满足实时性要求。其次，目前绝大多数最优潮流理论的数学模型只是考虑了系统处于正常状态下的约束条件12，如果考虑到故障状态下的约束条件的话，最优潮流计算的计算量毫无疑问将变得更加巨大，其收敛时间也会变得更加漫长。因此，对电力系统最优潮流计算的研究仍将是一个漫长的道路。1.3本文所做工作本文主要对电力系统最优潮流的计算方法进行了简要的分析，并做了以下工作：（1）简要的介绍了电力系统最优潮流计算的意义及其发展历程。（2）介绍了目前电力系统最优潮流计算的几种常见的计算方法。（3）详细的介绍了原-对偶内点法，给出内点法的具

16、体数学推导公式，确认其障碍参数、迭代步长以及计算初始值，判断其收敛条件，简化修正方程以减少计算步骤，提高整体计算速度。（4）基于原对偶内点法建立电力系统最优潮流的计算模型，确定系统的目标函数、各等式、不等式约束条件，然后进行电力系统最优潮流计算，最后利用数学计算软件计算最优潮流验证该算法的正确性。2、电力系统最优潮流算法介绍电力系统最优潮流计算最早是在上个世纪60年代被提出，后来经过各国学者几十年的不断研究完善，目前已经出现了许多优秀的最优潮流计算方法，主要有：线性规划法、二次规划法、牛顿法、内点法以及新型算法等。下文将简要的介绍这些方法。2.1最优潮流计算的基本数学模型目前电力系统最优潮流的

17、数学模型主要是基于以下几个条件而建立的：（1）投入运行的火电（核电）机组已知（不解决机组停开问题）；（2）各个水电机组的出力已经确定（由水库经济调度决定）；（3）电力系统网络的结构已经确定（不考虑接线方式以及网络变化问题）13。在数学表达上，最优潮流的问题就是一个带着约束条件的优化问题，其主要的构成主要有：目标函数、等式约束条件和不等式约束条件这三部分。2.1.1目标函数在电力系统最优潮流计算之中，有着很多的目标函数，最常见的有系统运行成本最小和系统有功传输功率的损耗最小两种。电力系统最优潮流模型中目标函数的一般数学表达式为： (2-1)在上面的表达式中，为控制变量，主要是各机组的有功/无功出

18、力、变压器抽头的位置、并联电抗器/电容器的容量等等；为状态变量，主要是各个节点的电压、各条支路的功率等。在电力系统中，对于有功优化的目标函数一般是求得发电机发电成本达到最小，其目标函数的表达式为： （2-2）上式中，分别是发电机成本函数的二次项系数、一次项系数以及常数，g为发电机个数。对于电力系统无功优化的目标函数一般是使得系统中的网损达到最小，相应的目标函数可以为： （2-3）式中，P为各线路损耗。2.1.2等式约束条件最优潮流的等式约束条件主要为潮流计算中基本的潮流方程式，可表示为： （2-4）上式中，。在计算模型中，相应的约束条件可以为： （2-5）式中，为发电机对节点i发出的功率；，为

19、节点i的负荷吸收的功率；，为节点i的净注入功率。2.1.3不等式约束条件电力系统最优潮流计算中的不等式约束主要有：（1）各发电机以及无功补偿装置出力的上下限。（2）各变压器变比的上下限。（3）各节点电压幅值的上下限。（4）各节点之间电压相角的上下限（5）各条支路功率的上下限。上述不等式约束可以用以下的数学表达式概括： （2-6）上式中，、分别为的上下限。因此，电力系统最优潮流的基本数学模型可以用下面的表达式表示： （2-7）2.2电力系统最优潮流的算法简介电力系统最优潮流的计算是一个复杂的非线性计算问题，目前经过国内外学者多年的研究，提出了许多计算方法，下文将介绍几种常见的最优潮流计算方法。2

20、.2.1 线性规划法在数学上，电力系统最优潮流问题是一个经典的非线性问题，而线性规划法就是将这个非线性问题转化成线性问题进而求解出最优潮流的计算方法。该方法通常将一个非线性问题分成若干小段，并在该小段内利用线性化的方法求得近似解。每段分得越小，那么每段之内的非线性问题也就越接近线性问题，从而利用线性规划方法求得的近似解也就越接近于该非线性问题的真实解。因此，只要每小段分得足够小，利用线性化的方法求得的结果就能够满足计算精度的要求。线性规划法在1968年由威尔斯首次提出并用这个方法来求解安全约束的经济调度问题14。1970年，shen和laughton提出利用对偶线性规划技术，采用修正单纯形法求

21、解最优潮流15。此方法原理简单，能够快速地处理各种计算，但是精度差，并且计算规模变大以后收敛性也变的很差，无法适用于大规模电力系统计算当中。2.2.2 二次规划法从本质上来说，二次规划法是非线性规划法中的一种特殊情况，只有当目标函数的表达形式接近二次函数的时候，这种计算方法才可以适用于最优潮流的计算。1973年， Reid以及Hasdorf二人最早提出用二次规划法来求解最优潮流的经济调度问题，这个方法引用了人工变量把目标函数近似成二次函数，然后用泰勒展开式把约束条件线性化，最后用线性规划方法中的弗兰克沃尔夫算法解得最优解，该算法的收敛性不受步长和惩罚因子的影响，但计算时间会随着系统规模的增大而

22、明显延长，并不适合求解大规模电网的最优潮流16。直到1982年，利用二次规划法进行最优潮流计算的研究才得到了突破性的进展，Burchett等人将原来的非线性模型分解成为一系列二次规划的子问题，然后运用增广拉格朗日法从不可行点寻找原问题的最优解，最后他们用2000节点的系统测试证明了算法的运算速度和鲁棒性都有了很大的提高17。2.2.3 牛顿法David sun等人在1984年提出了利用牛顿法求解最优潮流以用来优化电力系统的无功功率，此方法的提出使得最优潮流算法应用于实际成为了可能，是最优潮流实用化的一次巨大的飞跃18。这种方法使用了拉格朗日法处理潮流计算模型中的等式约束，利用惩罚函数处理不等式

23、约束，还把牛顿法与电力系统节点导纳矩阵的稀疏性结合起来，减小了最优潮流计算的计算量。牛顿法的优点是收敛速度快，利用了稀疏技术节约内存，适用于大规模电力系统的最优潮流计算。但牛顿法也存在着一些缺点，首先就是难以确定“起作用的不等式约束集”，所谓起“作用的不等式约束集”，是指最优解正好处于由某个约束集所定义的可行域的边界上,则这个约束集就称为起作用的不等式约束集19。其次，在每次迭代的过程中，牛顿法都需要计算相关的海森矩阵以及其逆矩阵，计算量颇大。尽管牛顿法有着上述的缺陷，但是具有稀疏矩阵的特点让牛顿法在最优潮流的计算上仍然有着巨大的优势，至今仍有不少学者在关注着此类方法。2.2.4 内点法内点法

24、最早是在1954年由Frish提出20，但是由于当时科学计算技术的限制，内点法并不能与当时主流的计算方法相比，在当时没有得到很好的发展。直到1984年karmarkar提出了一种具有多项式计算复杂性的内点法21,对内点法的研究才算真正的得到了突破。该方法的计算速度超过当时常用的最优潮流计算方法单纯形法50倍以上。目前内点法已经被广泛的应用于电力系统最优潮流计算当中，成为目前最优潮流计算的主流算法之一。从本质上讲，内点法就是牛顿法、对数障碍函数法以及拉格朗日函数法这三种方法的结合，其基本的思想是从可行域内的一个内点出发，接着沿着可行域的方向找到使目标函数下降最快的新的内点，然后从这个新内点继续沿

25、着可行域的方向找到使目标函数下降最快的新内点，如此周而复始，直到目标函数达到最优值22。内点法具有计算速度快、迭代次数与系统规模不大、对初值要求不高、数值鲁棒性强等优点，因而受到了广大学者的密切关注。经过国内外学者多年不断的研究，目前主要形成了三大类的内点算法：（1）、投影尺度法；（2）、仿射尺度法；（3）、路径跟踪法（原对偶内点法）23。当然，内点法也存在着许多不足之处，如对于原对偶内点法，其对偶变量的初值以及修正变量的参数的选取尚无统一的选取方法，这些参数都需要使用者根据经验给出，没有规律可循。此外，在迭代时步长的选取、各个离散变量的处理等方面，内点法仍然无法给出具体明确的方法。内点法仍然

26、需要广大学者的进一步探索研究。2.2.5电力系统最优潮流计算的新兴算法最优潮流的新兴算法起源于20世纪80年代，这类计算方法主要是基于一定的自然现象或者原理而建立的，因此，此类算法一般被称作智能优化算法24。与传统的潮流计算方法相比，新型的智能优化算法在数学方面与导数无关，求解的效率高，对于复杂优化问题的求解，与传统的计算方法相比更是具有无可比拟的优势。目前，此类算法已经引起了国内外学者的广泛关注与研究。目前，智能算法已经成功应用在了电力系统最优潮流的求解上也取得了不错的效果25。在智能优化算法中比较具有代表性的算法有：遗传算法、拟退火算法、粒子群算法、人工免疫算法等26。3、原对偶内点法在内

27、点法理论之中，原对偶内点法已经在理论上被证明其具有收敛快、精度高，稳定性好等优点，目前已经被广泛运用于最优潮流计算当中，并逐步取代了其他传统的算法，成为最优潮流算法中的主流算法之一。3.1原对偶内点法的数学原理最优潮流问题是一个典型的非线性规划的问题，其数学模型可用前文描述的表达式（2-7）表示，即：用原对偶内点法求解上面的方程时，可以先对上面的数学模型进行一些处理。（1）引入松弛变量将约束条件中的不等式约束变成等式约束；（2）引入对数障碍函数把对松弛变量非负的要求给消去。则（2-4）式可以化为如下形式： （3-1）上式中， ，为松弛变量；表示障碍参数。对（3-1）这样的表达式可用拉格朗日法求

28、解，对（3-1）构造拉格朗日函数可得： （3-2）式中，、，是拉格朗日乘子，也被称为对偶变量，、被称为为原变量。要求得（3-2）式的最优值，则（3-2）式应满足以下的KKT条件： （3-3）上式中，（共r个1）。显然，（3-3）这个KKT条件是一非线性方程组，我们可以用牛顿法处理上面的方程组。首先将（3-3）线性化，可以得到： （3-4）可将上面的方程组表达成矩阵的形式，稍加整理后可以得到： （3-5）在上式中：。通过消元法将（3-5）的系数矩阵化成行阶梯形，则可以得到修正方程： （3-6）在上式中：；。要求解上述的矩阵方程，我们可以先求解其中的一个子矩阵：求得与，然后带入（3-6）求得其他解

29、。求得结果为： （3-7）如此便可以求出修正变量的值，将初始值加上修正量便构成了新一次迭代的初始值。为使方程能够正确快速的收敛，还应确定每次迭代的修正量的步长，即修正量前乘以的系数。由此可知第k+1次迭代的初值可以由下列表达式确定： （3-8）在上式中，是原变量的迭代步长；是对偶变量的迭代步长。对于这两个值，可以按照以下方式选取步长27： （3-9）根据（3-8）与（3-9）的算式不断更新下一次迭代的初值并带入（3-6）中求得新的修正量，如此反复迭代，直到求得最优解。3.2目标函数的收敛条件由（2-5）式可以知道，求解最优潮流就是要求目标函数的最优值，而我们通过原对偶内点法求得的是下面函数的最

30、优值。 （3-10）根据Fiacco以及McCormick的理论28，在迭代的过程中，如果递减到0，那么（3-10）的最优解就是的最优解。因而当我们求解（3-10）的时候希望能够在迭代的过程中将障碍参数给消去，即在迭代过程中的取值可以收敛为0。要确定的取值，我们可以将表达式（3-3）中的第五、第六项联立起来，得到： （3-11）可以解得：，其中，称为互补间隙。迭代过程中，的值为方程的个数，是确定的。故迭代中只要确定Gap为收敛为0，那么就可以确定的最优解了。在本文中，将采用以下计算方法确定障碍参数使得目标函数快速收敛，即： （3-12）在上式中，为中心参数，在本文中。3.3 初值的选取在原对偶

31、内点法潮流计算理论中29，初值的选取只要满足两个非负的条件即可，即要求：对于其他方面则没有什么严格的要求。3.4 利用原对偶内点法进行潮流计算的方法利用原对偶内点法进行潮流计算的步骤如下：（1）设置原变量、对偶变量的初值，迭代次数k=0，最大迭代次数，精度等数据；（2）确定最优潮流计算的目标函数，等式约束条件以及不等式约束条件；（3）引入松弛变量和对数障碍函数，将不等式约束条件化为等式约束条件；（4）利用拉格朗日函数，消去最优潮流计算模型中的等式约束条件；（5）写出（3-2）式最优解的KKT条件，并将其线性化得到（3-6）式；（6）计算互补间隙、障碍参数，如果障碍参数小于给定精度，则停止循环，

32、输出潮流计算的最优解，否则进行下面一步；（7）求解修正方程（3-6）得到各个修正变量；（8）利用（3-8）式解得新一次迭代的原变量与对偶变量；（9）使k=k+1，然后回到第六步进行新一次的迭代计算。就这样反复的迭代，直到计算结果满足精度的要求，从而解得潮流计算的最优解。计算流程图为：图3-1 原对偶内点法计算流程图4.基于原对偶内点法的电力系统最优潮流计算在电力系统最优潮流的计算中，原对偶内点法由于那收敛速度快、对初值要求不高、鲁棒性强、迭代次数与系统规模无关的优点，而被广泛的应用于电力系统最优潮流计算当中30。下文将对其在电力系统最优潮流计算中的应用作简单的介绍。4.1电力系统最优潮流计算中

33、的各项数学模型4.1.1最优潮流计算的目标函数在实际应用中，一般会把发电成本最小或者有功功率的损耗最小这二者之一作为目标函数，在本文中，以求得电力系统中最小的发电成本为最优潮流计算的目标函数，即本文所要求解的目标函数的数学模型为： （4-1）上式中，分别是发电机成本函数的二次项系数、一次项系数以及常数，g为发电机个数。除以上两种目标函数之外，也还有一些其他的目标函数，在此就不一一叙述。4.1.2最优潮流计算的等式约束条件最优潮流模型中的等式约束的条件主要为电力系统中的功率平衡，用极坐标可以表示为： （4-2）式中，分别为对应发电机的有功、无功输出；，分别为对应节点的有功、无功负载；，分别为相应

34、节点的电压幅值；，分别为节点i与节点j之间的电导与电纳；为节点i与节点j之间的相位差。4.1.3最优潮流计算的不等式约束条件最优潮流计算的不等式约束有很多，如发电机的出力限制、变压器分接头限制及其负载限制、各个节点的电压限制，各条线路的电流以及功率限制等等。拥有这么多的不等式约束，如果全部考虑进潮流的最优计算当中，那么最优潮流问题将变得无比的复杂，甚至无法完成最优计算。在本文中为了简化计算，故只考虑几个比较常见的约束作为不等式约束的条件。本文打算将以下的不等式约束考虑到计算当中：（1）、发电机的有功、无功出力的最大最小值；（2）、节点电压幅值的最大最小值；（3）、线路传输电流的最大最小值（即线

35、路功率的限制）。对于其他的不等式约束条件，为了计算方便暂时不考虑进本文的潮流计算当中。上述不等式约束条件用数学表达式可以表示为： （4-3）4.2各项数学模型的具体表达利用原对偶内点法进行潮流计算中的各个修正变量可以通过（3-6）来求得，下面介绍原对偶内点法中各项数学表达式的具体表达。假设整个系统中有n个节点，g台发电机，l条支路，p台无功补偿设备，那么，状态变量的个数a=（2n-1+g+p）,等式约束条件的个数b=2n,不等式约束条件的个数c=(n-1+g+l+p)。4.2.1目标函数的各偏导数及相应矩阵目标函数的一阶偏导数和雅可比矩阵为21： （4-4）相应的二阶偏导数和海森矩阵为31：

36、（4-5）其中，4.2.2等式约束的各偏导数及相应矩阵等式约束条件的一阶偏导数和雅可比矩阵为： （4-6）其中， ， ，而 当n从1到n时，等式约束的二阶偏导数和其海森矩阵为： (4-7)其中：，F、C、T、D的具体数学表达式为：当n从n到2n时，等式约束的二阶偏导数和海森矩阵为： (4-8)其中：， ，F、C、T、D的具体数学表达式为：4.2.3不等式约束的各偏导数及相应矩阵不等式约束的一阶偏导数和雅可比矩阵为： （4-9）矩阵中，和表示为：其相应的二阶偏导数和其海森矩阵为：当i从1到g时： （4-10）当i从g+1到g+r时： （4-11）当i从g+r+1到g+r+n-1时： （4-12）

37、当i从g+r+n到g+r+n+l时： （4-13）其中：4.2.4对模型中各节点的不等式约束条件的处理在电力系统最优潮流的计算模型中，不同类型的节点的不等式约束条件一般不同，其节点可以分为PQ节点、PV节点和平衡节点这三种32。对于PQ节点，知道的是其有功功率和无功功率，不知道的是它们的电压的幅值和相角。因而在本文中，其不等式约束条件可以为：。对PV节点，已知的是有功功率和电压幅值，未知的是其无功功率和电压相角。因而在本文中，其不等式约束条件可以为：对于平衡节点，知道的是它们的电压幅值和相角，它们的有功功率和无功功率是不知道的。因而在本文中，其不等式约束条件可以为：4.3算例分析本文采用IEE

38、E-14标准测试系统数据进行分析测试，采用MATLAB R2014a软件作为最优潮流计算的实现工具。4.3.1 MATLAB简介MATLAB是由美国The MathWorks公司出品的一款商业数学软件，主要用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值的计算33。MATLAB作为数学科学计算的应用软件，因其强大的计算能力而受到国内外用户一致的好评。目前MATLAB计算软件已经被广泛的应用于工程计算、控制设计、信号处理、图像处理等专业领域34。MATLAB的计算方式是以矩阵为基本单位而进行的，其很多表达方式与日常中的数学、工程计算中常用的形式非常类似，因此用MATLAB编写的程序与c语言相比，更加的

39、通俗易懂，完成同样的任务，其指令也简洁得多。目前，MATLAB已经加入了对C语言等其他语言的支持，即可以直接调用其他语言，用户也可以直接将自己编写的语言直接导入到其函数库中以便以后的调用，种种实用的功能，使得用户可以十分方便地使用MATLAB软件进行计算。4.3.2具体的计算流程利用MATLAB数学计算软件，以原对偶内点法进行最优潮流计算的流程图为：图4-1利用MATLAB计算最优潮流的流程图4.3.3 IEEE-14标准测试系统运算结果本文采用了IEEE-14标准测试系统对系统利用原对偶内点法最该系统的最优潮流计算进行了测试，IEEE-14标准测试系统的具体数据参见附录。系统的功率数据用标幺

40、值表示，功率基准值为100MVA，电压相角单位是度，幅值为标幺值，相应及基准值为该节点的额定电压幅值，电压的上下限为1.10和0.95，系统数据中与发电机相连的为PV节点，有*的为平衡节点，其余均为PQ节点。变比为正表示非标准变比在首段，反之表示非标准变比在末端。用正号表示并联电容电纳，用负号表示电抗电纳。本文中为计算方便，对于初值的选取，都取值为1；取值为-0.5；取各个参数额定的标幺值，对于精度，本文设置的精度为障碍参数小于10-6。其具体的计算结果如下表4-1 IEEE-14标准测试系统计算结果节点号发电机有功发电机无功电压幅值电压相角负荷有功负荷无功10.7520-0.24541.05

41、000.00000.00000.000020.20000.17611.0500-0.03050.21700.12703 0.75810.27061.0500-0.06510.94200.190040.00000.00001.0344-0.05880.4780-0.039050.00000.00001.0332-0.04730.07600.016060.4500-0.07731.0500-0.05270.11200.075070.00000.00001.0475-0.04290.00000.000080.45000.03101.05000.02920.00000.00009 0.00000.00

42、001.0431-0.07980.29500.1660100.00000.00001.0366-0.08030.09000.0580110.00000.00001.0396-0.06900.03500.0180120.00000.00001.0356-0.06910.06100.0160130.00000.00001.0309-0.07170.13500.0580140.00000.00001.0195-0.09430.14900.0500计算共用时0.758637 秒，共经过了47次的迭代最终达到要求的精度。其互补间隙Gap的收敛趋势图为：图4-2 互补间隙的变化趋势图从Gap的收敛趋势图可以看出，互补间隙在总体上是呈现递减的趋势的，其变化趋势在刚开始下降的时候变化十分迅速，但是随着迭代次数的增加，这个变化趋势逐渐变得缓慢，每次修正的效率变得不高。如此看出，使用以上方法在对精度要求不是太高时，能够快速的收敛，但是当计算的精度要求很高的时候收敛速度将变得很慢。但从计算的整体方面来看，其收敛速度还是比较令人满意的。5总结与展望5.1本文总结自电能开始大规模应用以来，找到电力系统运行的最优状态便一直是广大电力研究工作者所关心的问题