《数学分析原理》设计论文.doc

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1、（此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！）数学分析原理. Walter.Rudin M.北京：机械工业出版社，2004第五章 微 分 法本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数，这并不是为了方便，当我们从实函数转到向量函数的时候，就会看到本质的差别，定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。实函数的导数5.1 定义 设f是定义在a，b上的实值函数，对于任意的xa，b，做（差）商 （1）然后定义 （2）但是这里要由定义4.1可假设等式右端的极限存在。于是与f相联系得到函数f，它的定义域是a，b中所有使极限（2）存在的x点的集，f叫做f的导函数。如果f在x点有定义，就

2、说f在x点可微。如果f在集Ea，b的每一点有定义，就说f在E上可微。可以在（2）中考虑左极限或右极限，从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a，b上，在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。如果f定义在（a，b）上，并有axb，这是和前边一样，f(x)依然是以（1）和（2）来定义的，但此时f(a)和f(b)就没有定义了。5.2 定理 设f定义在a，b上，若f在a，b上任意一点x皆可微，则f在x点连续。证 由定理4.4，当时 定理的逆命题不成立。在某些孤立点不可微的连续函数式不难构造的。在第7章我们甚至还能得到一个在整条直线上都连续但处处不可微的函数。5.

3、3 定理 设f和g定义在a，b上，且都在点xa，b可微，那么f+g，fg，f/g也都在x点可微，且：在c中我们自然要假设g（x） 0证 由定理4.4，（a）显然成立 令h=fg，则再两端同除以t-x，再注意当时（定理5.2）。（b）得证。 再令h=f/g，那么 令，再应用定理4.4及定理5.2，就可以得到（c）。 5.4 例 显然任何常数的异数皆为0.若f定义为f（x）=x，则f=1。反复运用（b）和(c)就可以证明xn是可微的，导函数为nxn-1，这里的n是任意整数，且n0，当d（p，q）且qX时有f（q）f（p）。局部极小值可以类似定义。下面的定理是导数的许多应用的基础。5.8 定理 设f

4、定义在a，b上；xa，b，如果f在x点取得局部极大值而且 f（x）存在，那么f(x)=0。 对于局部极小值的类似的命题，自然也是对的。证 按照定义5.7选取，那么 若是x-tx，就应该 令tx，便知道f(x)0 若是xth（a），设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，x（a，b），于是定理5.8说明h（x）=0。如果有某个t（a，b）使得 h（t）h（a），只要把在a，b内的那个x选的使h达到它的最小值，上述论证仍然成立。 这个定理常常叫做一般中值定理；下面的特殊情形就是通常所说的种植定理。 5.10 定理 设f是定义在a，b上的实连续函数，在（a，b）内可微，那么一定有一

5、点x（a，b），使得 证 在定理5.9中取g（x）=x即得。 5.11 定理 设f在（a，b）内可微，（a）如果对于所有的x（a，b），f（x）0，那么f便是单调递增的。（b）如果对于所有的x（a，b），f（x）=0，那么f便是常数。（c）如果对于所有的x（a，b），f（x）0，那么f便是单调递减的。 证 所有结论都可以从下列等式获得： 这等式对于（a，b）中的任意一对点x1，x2，都成立，而x是x1与x2之间的某个点。 导数的连续性 我们已经看到（例5.6（b）一个函数f可以有处处存在、但在某些点间断的导数f（x）。可是，并不是每个函数都一定可以看做是某个函数的导函数。特别的一点事，在一个闭

6、区间上处处存在的导函数与闭区间上的连续函数之间，却有一个重要的共同性质：任何中间值都能取到。确切的表述是： 5.12 定理 设 f是a，b上的实值可微函数，再设f（a）f(b)的情形，当然也有类似的结果。 证 令g（t）=f（t）-t。于是g（a）0，从而有某个t1（a，b）使得g（t1）0，从而有某个t2（a，b）使得g（t2）g(b)。 因此，根据定理4.16，g在（a，b）的某点x上达到它在a，b上的最小值。再根据定理5.8，g（x）=0，因而f（x）=。 推论 如果 f 在a，b上可微，那么f在a，b上便不能有一类间断点。 但是f很可能有第二类间断点。 Lospital 法则 下面的定

7、理在求极限时时常用到。 5.13 定理 假设实函数f和g在（a，b）内可微，而且对于所有x（a， b），g（x）0。这里-ab+,已知 当xa时，A, (13) 如果 当xa时，f（x）0，g（x）0， （14） 或是 当xa时，g（x）+, (15)那么 当xa时，A . (16) 如果是xb,或者(15)中如果是g(x)-,各种类似的叙述自然也都是正确的。注意，我们现在是按照定义4.33推广了的意义来使用极限概念的。 证 先考虑-A+的情形。选择一个实数q使Aq，再选一个r使Arq。由（13）知道有一点c（a，b），使得当axc有 r， （17） 如果axyc，那么定理5.9说明有一点t（

8、x，y）使得 =r. （18） 先看（14）成立的情形.在（18）中令xa，便看到 rq （ayc）. （19） 再看（15）成立的情形。在（18）中让y固定，我们可以选一点c1（a，y），使axg(y)及g（y）0.将（18）两端乘以g(x)-g(y)/g(x),便得到r-r+ (axc1) (20)如果在（20）式中令xa，（15）式说明必有一点c2（a，c1）使 q (axc2). (21) 总之，（19）与（21）式都说明对于任意的q，只要Aq,便有一点c2，使得axc2足以保证f（x）/g（x）q。 同理，若是-A+,选择pA,便可找到一点c3，使得 P (axc3). (22) 结

9、合起这两方面就得到了（16）式。 高阶导数 定义 如果在一个区间上有导函数f，而自身又是可微的，把的导函数记做，就叫做的二阶导数。照这样继续下去就得到，（），（），这许多函数，其中每一个是前一个的导函数。（）叫做f的n阶导函数。 为了要（）（x）在x点存在f（n-1）（x）必须在x点的某个邻域例存在（当x是定义f的区间的端点时，f（n-1）（x）必须在它有意义的那个单侧邻域例存在），而且f（n-1）必须在x点可微。因为在f（n-1）必须在x的邻域例存在，那么，f（n-2）又必须在x的邻域里可微。文献原文附录：Walter.Rudin. principles of mathematical an

10、alysisM.北京：机械工业出版社，2004 5 DIFFERNTIATIONIn this chapter we shall(except in the final section)confine our attention to real functions dfine on intervals or segements.This is not just a matter of convenience,since genuine differences appear when we pass from real functions to vector-valued ones.Differ

11、entiation of functions defined on Rk will be discussed in Chap 9.THE DERIVATIVE OF A REAL FUNCTION5.1 Definition Let f be defined (and real-valued) on a,b. Fof any xa,b from the quotient (1) and define(2)provided this limit exists in accordance with Definition 4.1 We thius associante with the functi

12、on f a function f whose domain is the set of points x at which the limit (2) exists; f is called the derivative of f. If f is defined at a point x, we say that f is differentiable at x. If f is defined at every point of a set Ea,b,we say that f is differentiable on E. It is possible to consider righ

13、t-hand and left-hand derivative,respectively.We shall not,however,discuss one-side derivatives in any detail. If f is defined on a segment(a,b) and if axb,then f(x)is defined by (1) and (2),ad above. But f(a) and f(b) are not defined in this case.5.2 Theorem Let be defined on a,b.If it is differenti

14、able at a point x a,b,then f is continuous at x. Proof As tx,we have,by Theorem 4.4 The converse of this theorem is not true. It is easy to construct continuous functions which fail to be differentiable at isolated points.In Chap 6 we shall even become acquainted with a function which is continuous

15、on the whole line without being differentiable at any point!5.3 Theorem Suppose f and g are defined on a,b and are differentiable at a point xa,b.Then f+g,fg,and f/g are differentiable at x,and(a) (f+g)(x)=f(x)+g(x);(b) (fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(c) (f/g)(x)=g(x)f(x)-g(x)f(x)/g2(x)In (c),we assume o

16、f course that g(x)0. Proof (a) is clear,by Theorem 4.4.Let h=fg.Then If we divide this by t-x and note that f(t)f(x) as tx(Theorem5.2),(b) follows. Next, let h=f/g. Then Letting tx,and applying Teorems 4.4 and 5.2, we obtain(c).5.4 Examples The derivative of any constant is clearly zero.If f is defi

17、ned byf(x)=x,then f(x)=1. Repeated application of (b) and (c) then shows that xn is differentiable,and that its derivative is nxn-1,for any integer n (if n0 such that f(q)f(p)for all qX with d(p,q) . Local minima are defined likewise. Our next theorem is the basis of many applications of differentia

18、tion.5.8 Theorem Let f be defined on a,b;if f has a local maximum at a point x(a,b),and if f(x) exisets,then f(x)=0. The analogous statement for local minima is of course also ture. Proof choose in accordance with Definition 5.7,so that If x- tx,then Letting tx,we see that f(x)0. If xth(a) for some

19、t(a,b),let x be a point on a,b at which h attains its maximum(Theorem 4.16). By(12),x(a,b),and Theorem 5.8 shows that h(x)=0.If h(t)h(a) for some t(a,b),the same argument applies if we choose for x a point on a,b where h attains its minimum.This theorem is often called a generalized mean value theor

20、em;the Following special case is usually referred to as “the”mean value theorem:5.10 Theorem If f is a real continuous function on a,b which is differetiable in (a,b),then there is a point x(a,b) at which Proof Take g(x)=x in Theorem 5.9.5.11 Theorem Suppose f is differentiable in (a,b). (a) If f(x)

21、0 for all x(a,b),then f is monotonically increasing. (b) If f(x)=0 for all x(a,b),then f is constant. (c) If f(x)0 for all x(a,b),then f is monotonically decreasing. Proof All conclusions can be read off from the equation Which is valid,for each pair of numbers x1,x2in (a,b),for some x between x1 an

22、d x2. THE CONTINUITY OF DERIVATIVES We have already seen Example 5.6(b)that a function f my have a derivative fwhich exisets at every point,but is discontinuous at some point.Howere,not every function is a derivative.In particular,derivatives Which exist at every point of an interval have one import

23、ant property incommon with functions which are continuous on an interval:Intermediate values are assumed(compare Theorem 4.23).The pecise statement follows.5.12 Theorem Suppose f is a real differentiable function on a,b andSuppose f(a)f(b).Proof Put g(t)=f(t)- t.Then g(a)0,so that g(t1)0,so that g(t

24、2)g(b) for some t2(a,b).Hence g attains its minimum on a,b(Theorem 4.16)at some point x such that axb.By Theorem 5.8,g(x)=0.Hence f(x)= . Corollary If f is a differentiable on a,b,then fcannot have any simple discontinuities on a,b. But f my very well have discontinuities of the second kind. LHOSPIT

25、ALS RULE The following theorem is frequently useful in evaluation of limits. 5.13 Theorem Suppose f and g are real and differentiable in (a,b),and g(x)0 for all x(a,b),where -ab+.Suppose (13) If (14) ), Or if (15) then (16) The analogous statement is of course also true if xb,or if g(x)- in (15). Le

26、t us note that we now use the limit concept in the extend sense of Definition 4.33 Proof We first consider the case in which -A+.Choose a real number q such that Aq,and then choose r such that Arq.By(13)there is a point c(a,b) such that axc implies (17) If axyg(y) and g(x)0 if axg(x),we obtain (20) If we let xa in (20),(15)shows that there is a point c2(a,c1) such that (21)