如何求解二次函数中的面积最值问题名师资料合集(完整版)资料.doc

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1、如何求解二次函数中的面积最值问题名师资料合集（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考 题目 （重庆市江津区） 如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(

2、1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由 解答 (1)抛物线解析式为 yx22x3； (2)Q(1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形 方法一如图3，设P点（x，x22x3）(3x0) 方法二 如图4，设P点(x，x22x3)(3x0) （下略） 二、“铅垂高，水平宽”面积法 如图5，过ABC

3、的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SABCah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 根据上述方法，本题解答如下： 解 如图6，作PEx轴于点E，交BC于点F 设P点（x，x22x3）（3x0） 点P坐标为（，） 三、切线法 若要使PBC的面积最大，只需使BC上的高最大过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法解 如图7，直线BC的解析式是yx3，

4、过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：yxb 四、三角函数法 本题也可直接利用三角函数法求得 解 如图8，作PEx轴交于点E，交BC于点F，怍PMBC于点M 设P点（x，x22x3）（3x0),并与直线OA交于点C.()求A、B两点的坐标;()当点P在线段OA上方时,过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E,求PCE周长的最大值及此时P点的坐标;()当PC=CO时,求P点坐标.解:()令y=0,则x24x=0,解得x1=0,x2=4,点B坐标为(4,0),设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=x24x得,x=x24x,解得x1=3,x2=0(舍去),点A的坐标为(3,3);

5、()如解图,设点P的坐标为(x,x24x),点A坐标为(3,3);AOB=45,OD=CD=x,PC=PDCD=x24xx=x23x,PEx轴,PCE是等腰直角三角形,当PC取最大值时,PCE周长最大.PE与线段OA相交,0x1,由PC=x23x=(x)2可知,抛物线的对称轴为直线x=,且在对称轴左侧PC随x的增大而增大,当x=1时,PC最大,PC的最大值为13=2,PE=2,CE=2,PCE的周长为CPPECE=42,PCE周长的最大值为42,把x=1代入y=x24x,得y=14=3,点P的坐标为(1,3);()设点P坐标为(x,x24x),则点C坐标为(x,x),如解图,当点P在点C上方时

6、,P1C1=x24xx=x23x,OC1=x,P1C1=OC1,x23x=x,解得x1=3,x2=0(舍去).把x=3代入y=x24x得,y=(3)24(3)=12,P1(3,12),当点P在点C下方时,P2C2=x(x24x)=x23x,OC2=x,P2C2=OC2,x23x=x,解得x1=3,x2=0(舍去),把x=3代入y=x24x,得y=(3)24(3)=12,P2(3,12).综上所述,P点坐标为(3,12)或(3,12). 图 图第9题解图10.已知抛物线y=ax2bxc经过点A(3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点.()求抛物线的解析式和它的顶点坐标;()若在该抛物线的对称轴

7、l上存在一点M,使MBMC的值最小,求点M的坐标以及MBMC的最小值;()若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点,且纵坐标分别为m,m2,当四边形CBQP周长最小时,求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值.解:()将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式,得,解得, 抛物线的解析式为y=x22x3,配方,得y=(x1)24,即顶点坐标为(1,4);()如解图,连接AB交对称轴于点M,连接MC,由A、C关于对称轴对称,得AM=MC, MBMC=AMMB=AB,此时,MB+MC的值最小,由勾股定理,得AB=3,即MBMC=3,设AB的解析式为y=kxb,将A、B两点坐标代入,得,解得,

8、直线AB的解析式为y=x3,当x=1时,y=2,即M(1,2),此时MBMC的最小值为3;()如解图,将B点向下平移两个单位,得D点,连接AD交对称轴于点P,作BQPD交对称轴于点Q,PQBD,BQPD,四边形BDPQ是平行四边形,BQ=PD,PQ=BD=2,BQPC=PDAP=AD,由勾股定理,得AD=,BC=,四边形CBQP周长的最小值=BCBQPQPC=BCPQ(BQPC)=BCPQAD=2=22,设AD的解析式为y=kxb,将A、D点坐标代入得, ,解得,直线AD的解析式为y=x1,当x=1时,y=,即P(1,),由|PQ|=2,且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(1,),故当四边形CBQ

9、P周长最小时,点P的坐标为(1,),点Q的坐标为(1,),四边形CBQP周长的最小值是22. 图 图第10题解图11.已知二次函数y=ax2bxc(a0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).()求二次函数的解析式和直线BD的解析式;()点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;()在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使BDQ中BD边上的高为,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:()设二次函数的解析式为y=a(x1)24,点B(3,0)在该二次函数的图象上,0=a

10、(31)24,解得a=1,二次函数的解析式为y=x22x3,点D在y轴上,令x=0,解得y=3,点D的坐标为(0,3),设直线BD的解析式为y=kx3,把(3,0)代入得3k3=0,解得k=1,直线BD的解析式为y=x3;()设P点的横坐标为m(0m3),则P(m,m3),M(m,m22m3),PM=m22m3(m3)=m23m=(m)2,当m=时,PM取最大值,PM长度的最大值为;()存在.如解图,过点Q作QGy轴交BD于点G,作QHBD交BD于点H,设Q(x,x22x3),则G(x,x3)QG=|x22x3(x3)|=|x23x|,DOB是等腰三角形,3=45,2=1=45,sin1=,QG=4,得|x23x|=4,当x23x=4时,b24ac=916=70,方程无实数根,当x23x=4时,解得x1=1,x2=4,Q1(1,0),Q2(4,5),综上所述,存在满足条件的点Q,点Q的坐标为(1,0)或(4,5).第11题解图