正态分布的分布函数与分位数计算--毕业名师(完整版)资料.doc

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1、正态分布的分布函数与分位数计算 毕业名师（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）摘 要 数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的一门数学学科，它以概率论为理论基础，研究如何用有效的方式收集、整理和分析受到随机性影响的数据来研究随机现象的变化规律，对研究对象的客观规律性做出种种合理的估计和判断。由于随机性影响无所不在，因而概率统计的许多方法已经在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学和工农业生产得到广泛的应用，而且随着社会的进步和发展将会更多更有效的应用到社会生活、生产中的各个领域。 关于分布函数及其分位数的计算方法的研究和模拟有很重要的理论意义和实际应用价值。本文讨论了正态

2、分布函数及其分位数的计算问题，在计算精度比较高的情况下，通过迭代计算，得到正态分布函数及其分位数的计算结果，利用所得结果对解决实际问题，给出合理的判断都有实际意义。首先介绍了正态分布函数的定义并就正态分布函数的性质给出了证明。然后对分布函数和分位数计算方法做了讨论，给出正态分布函数及其分位数的算法。用C语言编程并进行模拟计算。 关键词：正态分布函数；分位数；密度函数AbstractMathematical statistics is a mathematics course about studying the regularities of the large number of rando

3、m phenomena. With the probability theories, we study how to collect the data, how to analyze the data and how to find the variety regulation of the random phenomena. For objective regulation of all kind random phenomena, a reasonable estimation and judgment should be given. Many methods of the proba

4、bility statistical theories are widely applied to the natural science, social science, engineering technique, military science, and so on. With the societys progress and development, statistical methods will more availably apply to each field within production and social life.The calculating methods

5、 of distribution function and critical value have the very important theoretical meaning and the actual application worth. Calculating problems of the normal distribution function and critical value will be discussed, with the high calculating accuracy, in this thesis. We give the results of how to

6、calculate the normal distribution function and critical value with the iteration method. These results are used in some actual problems. This paper consists of the following content. First, introduce the concept of the normal distribution function, give some properties and its proof. Secondly, intro

7、duce the computing methods of the distribution function and critical value. Thirdly, obtain the computing methods of the normal distribution function and critical value. Fourthly, give the subroutine of computing the distribution function and critical value with C language. key words: normal distrib

8、ution function；critical value；density function目 录第1章 绪论11.1 正态分布的产生和发展11.2 分布函数及其作用21.3 分位数及其一般算法4第2章 正态分布的定义及相关性质52.1 正态分布的定义52.2 正态分布的相关性质5第3章 分布函数的一般算法93.1 分布函数的定义93.2 积分的近似算法9等距内插求积公式（牛顿柯特斯求积公式）9高斯型求积公式113.3 函数逼近法16有理函数逼近(Pad逼近)16连分式逼近18第4章 计算分位数的一般方法214.1 分位数的定义214.2 方程求根的迭代算法21212223254.3 分位数的

9、迭代算法252527第5章 正态分布的分布函数和分位数的计算295.1 几个基本公式295.2 的计算方法30的连分式逼近法3030315.3 分位数的计算32的近似计算公式323333第6章 总结35参考文献36致 谢37附录138附录240第1章 绪论1.1 正态分布的产生和发展 正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布，记为：.则其概率密度函数为正态分布的期望值决定了其位置，其标准差决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分

10、布是,的正态分布。正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布。高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影

11、响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。皮埃尔-西蒙拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，

12、立即就得出误差(近似地)服从正态分布。皮埃尔-西蒙拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 正态分布的主要特征有： 1集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 2

13、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 3均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 4正态分布有两个参数，即均数和标准差，可记作：均数决定正态曲线的中心位置；标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，曲线越陡峭；越大，曲线越扁平。 5变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。1.2 分布函数及其作用 分布函数就是指：我们设是一个随机变量，是任意实数，函数 称为的分布函数。有时也记为。对于任意实数,有 因此有，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上 的概率， 这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 分布函数是

14、一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。如果将看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数在处的函数值就表示落在区间上的概率。 分布函数具有以下的性质： (1)非负有界性 ;(2)单调不减性;(3)右连续性 .几个重要的联合分布：1分布：设是相互独立的随机变量，且 ，则称随机变量服从自由度为的分布，简记为。2分布： 设，且，相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，或称学生氏(Student)分布，简记为.3分布：设，且，相互独立，则称随机变量所服从的分布是自由度为，的分布，简记为.统计量是样本的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。 用来估计一个未知总体

15、参数的抽样统计称为估计。真实参数值和估计值间的差异称为抽样误差。我们用抽样分布来测定估计中的抽样，它可分为正态总体下与非正态总体下两种情况来讨论。它是由样本个观察值计算的统计量的概率分布。从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布。例如：如果特指的统计量是样本均值，则此分布为均值的抽样分布。类似的有标准差、方差、

16、中位数、比例的抽样分布。分布函数的计算在整个信息统计分析应用中起着基础性的作用，当我们建立了某个统计模型后，会产生很多的统计量可用它们对某个假设进行检验，这时必须知道这些统计量的分布，某一点的概率、某概率的分位点。1.3 分位数及其一般算法分位数是指设是一连续型随机变量，若存在数值满足，其中，则称为的对应于概率的分位数，简称分位数（或分为点）。分位数的计算一般有一下几种算法：1.二分法：二分法要求给定两个初始点,，且满足.此方法简单，计算量也少，但收敛速度慢.当能够估计出方程的根所在的一个较小范围时，此法是有效的，贝塔分布的分位数计算就常用二分法。2.牛顿法：牛顿法的直观思想是：当某步得到零点

17、的近似值后，在处作的切线，切线和轴的交点（即切线的零点）一般更靠近的零点.因牛顿法有这一明显的几何意义，所以也叫切线法。3.割线法：牛顿法是用在点的切线近似曲线来求得新的近似值.用牛顿法要求计算导数；而且要求初值点选得好.这里介绍的方法是用非线性函数上两个点的连线（割线）近似曲线求得方程的根的迭代方法，称为割线法。第2章 正态分布的定义及相关性质2.1 正态分布的定义设连续型随机变量的概率密度为=e，其中为常数，则称服从参数为的正态分布或高斯分布，记为。2.2 正态分布的相关性质性质1 ，。证明：先求标准正态变量的数学期望和方差的概率密度为于是=0，=1因，即得=性质2 特征函数为；矩母函数为

18、：证明：可见，则即得，特征函数为同理得证，矩母函数为。性质3 分布函数为证明：由概率密度可得分布函数性质4 (1) 若，则；(2) 若，则。证明：(1) 的分布函数为=令 得，由此可知， (2) 由性质4 (1) 得， 性质5 设为标准正态分布的分布函数，则(1) ，有两条渐近线和(2) (3) 是的拐点证明：(1) 显然 ，且前面已证明，则有两条渐近线曲线关于对称 (2) 对及来说，当自变量取负值时所对应的函数值可用自变量取相应的正值时所对应的函数值来表示。(3) 在处曲线有拐点，则是的拐点。性质6 若，为任意实数，则证明：正态随机变量的特征函数，由特征函数的性质知，随机变量的特征函数即性质

19、7 设随机变量，独立，且，=1,2，.则证明：设，相互独立且，由，经过计算知仍服从正态分布，且有推广到个独立正态随机变量之和，即若，=1,2，且它们相互独立。则它们的和仍服从正态分布，且有.性质8 若总体，而(，)为来自的一个样本，则证明：来自同一样本 由性质7可得知结论。性质9 若总体，而(，)为来自的一个样本，则或证明：由性质8知，标准化可得知结论。性质10 若总体与独立，(，)为来自的一个样本，(，)为来自的一个样本，则统计量 或 证明：由性质4，性质8可得知结论。第3章 分布函数的一般算法3.1 分布函数的定义设是一随机变量（可以是连续型的、也可以是离散型的、甚至更一般的），则称函数

20、为的分布函数当是连续型随机变量时，设密度函数为，则； 当是离散型随机变量时，设概率分布为，则.3.2 积分的近似算法3.2.1 等距内插求积公式（牛顿柯特斯求积公式）这是计算a,b区间上积分的近似计算公式。已知在个点,上的值(,.用多项式来近似，即其中为次多项式，为误差函数我们考虑等距节点的情况，即选 (=0,1,=取为Lagrange插值多项式，即 （3-1）记于是 公式（3-1）可写成 于是 其中与无关，只要节点和确定，它就完全确定，且有其中 求积公式可写成 （3-2） 此公式称为等距内插求积公式，也称牛顿柯特斯公式，是不依赖于和区间的常数，可事先计算出来，称为牛顿柯特斯（Newtom-C

21、otes）系数.实际应用中，为了减少误差，常先把区间a,b分成小区间，即,小区间互不相交，则 （3-3）对每个小区间上的积分，采用较小的内插求积公式来计算，公式（3-3）称为复合求积公式.在具体计算中，为了得到所要求精度的积分值，可依次对不同的由复合求积公式计算积分值，得到积分值序列当相邻两个积分值与之差足够小时停止计算，取为最终的计算结果，为了减少重复计算量，加快序列的收敛速度，来提出一些其它的积分算法。对于牛顿柯特斯公式，可以证明，当存在阶导数时，有关系式 假若为不高于阶的多项式，因因此，牛顿柯特斯公式（3-2）精确成立。故称牛顿柯特斯公式至少具有次代数精度.定义 对于一个一般的求积公式

22、， （3-4）其中是不依赖于函数的常数，若求积公式（3-4）中的为任何一个次数不高于次的代数多项式，等号成立；而对是次多项式时，公式（3-4）不能精确成立，则我们称求积公式（3-4）具有次代数精度。3.2.2 高斯型求积公式等距内插求积公式（3-2）的个插值点（节点）间是等距的，它的代数精度至少为次（当时偶数时为次）.在节点数目固定为的条件下，能否适当地选择节点的位置和相应的系数，是求积公式 （3-5）具有最高的代数精度。答案是肯定的，我们可以选择节点，使求积公式（3-5）具有次代数精度。下面先看的情况.不失一般性，可以把积分区间取为，这是因为令，总可以把区间化为，而积分变为 ，其中.现在的问

23、题是如何选取和使 （3-6）对任何三次多项式都能精确成立.把三次多项式代入（3-6），只要解非线性方程组 （3-7）求出即可。但用解方程组的办法，当稍大时就比较困难。所以一般不采用解方程组而是利用正交多项式的特性来求节点记，三次多项式总可以表示 ，两边积分得若对任意一次多项式恒有 ， （3-8）因求积公式（3-6）对任意一次多项式都精确成立，所以 . 这就是说，当选择节点满足条件（3-8）时，对任意三次多项式，（3-6）是精确成立的。 从几何直观上看，就是找和，使通过和的直线，在区间上围成的面积和在区间上围成的面积相等（见图 3.1）。 图 3.1由于（3-8）对任何和都成立，所以必有和.计算

24、这两个积分得 由此解出.求出节点以后，利用求积分公式（3-6）对和精确成立，得故.从而时的高斯求积公式为，而条件（3-8）称为正交条件。下面对一般情况讨论高斯型求积公式，考虑积分，其中是权函数。现在的问题是如何选取使求积公式 （3-9）当为不高于次多项式时精确成立。记，不高于次的多项式总可以表示为，其中和都是不超过次的多项式，于是，如果对任意不超过次多项式恒有 ， （3-10）因求积公式（3-9）对任意不超过次多项式都精确成立，所以这时有.也就是说，只要选择节点满足条件（3-10）时，则求积公式（3-9）的代数精度就能达到.条件（3-10）称为和在区间上关于权函数正交.从正交条件（3-10）可

25、以解出.实际上，利用区间上关于非负权函数的正交多项系的性质：的个零点是实数、不相重、且分布在之中.对给定的权函数总能构造出关于此权函数的正交多项式系.而且的个零点就是高斯求积公式的个节点.有了个节点之后，就可以按以下公式计算系数 . 关于高斯型求积公式的截断误差有下面结论：当有阶导数时，则截断误差为几个常用的高斯型求积公式.(1) Gauss-Legendre求积公式.当取，区间为时，求积公式为 . (3-11)由于上定义的Legendre（勒让德）多项式： 构成正交多项式系.以的零点为节点，系数和截断误差为的求积公式（3-11）称为Gauss-Legendre求积公式.这是古典的高斯型求积公

26、式，一般就称为高斯求积公式。(2) Gauss-Laguerre求积公式当取，区间为0,)时，求积公式为 而节点是Laguerre（拉盖尔）多项式：的零点，系数和截断误差由下面的公式计算：(3) Gauss-Hermite求积公式当取，区间为时，求积公式为 而节点是次Hermite（埃米尔特）多项式： 的零点，系数和截断误差由下面的公式计算： 3.3 函数逼近法3.2.3 有理函数逼近(Pad逼近) Pad逼近是以函数的幂级数展开为基础的，设在内可展成幂级数又设为非负整数（不妨设），用有理函数来近似.即令，则 . （3-12） 右边 （令） （交换求和的次序，对给定的先对求和） ，左边，比较（

27、3-12）式两边的系数，得关于系数满足的线性方程组： （3-13）不妨设分母的常数项，（3-13）有个线性方程，可用来确定和共个待定系数.求解（3-13），得有理函数就是的Pad近似式.称为的阶Pad近似式.由（3-12）得，用近似时，其截断误差的主要部分是.可见用Pad方法得到的有理函数近似式正像幂级数展开式一样，只是在原点附近有良好的精确度，而当增大时，精确度很快就递减了.大量的计算例子还表明，当为一确定常数时，在各种可能的阶Pad近似式中，采用相等或接近相等时为最佳.如时，采用阶Pad近似式；时，采用或阶Pad近似式.3.2.4 连分式逼近定义 形如 （3-14）的表达式称为节连分式.为

28、书写方便，有时将（3-14）写成 连分式有以下两种算法：算法一 令则就是连分式（3-14）的值.或者令 则为连分式（3-14）的值.这是从后面向前递推的算法.算法二 记 则有递推公式 . （3-15）利用递推公式（3-15），可把连分式化为普通的分式，用从前向后方法计算连分式的值，就是连分式（3-14）的值.对任一形如的函数，都可以采用以下方法化为连分式函数. = = =.重复上述步骤，即可把函数化为连分式.以下给出化函数为连分式函数的一般公式.设 则 ， 其中 .设为分布函数，首先的幂级数展开式：，然后把 化为连分式，用有限节连分式作为的近似式.这种方法就是连分式逼近方法.利用化函数为连分式

29、的一般方法，幂级数的连分式展开式为 . 第4章 计算分位数的一般方法计算分位数的问题，实质上就是求方程的根的问题.4.1 分位数的定义设是一连续型随机变量，若存在数值满足，其中，则称为的对应于概率的分位数，简称分位数（或分位点）4.2 方程求根的迭代算法二分法实际上是一种求方程的根的搜索方法.设在给定区间上连续，且；这表明在区间内必有一实根.区间称为的有根区间.取区间的中点，计算；若，则就是的一个根.否则检查的符号；由中点分成的这两个区间中必有一个是有根区间，记为，令，再施以同样的方法，可得到新的有根区间，它的长度是的一半.如此反复进行下去，可得到一系列有根区间：.一般地对区间，取中点为 ，

30、对给定的精度，当时，停止迭代，即得的近似解.二分法要求给定两个初始点,，且满足.此方法简单，计算量也少，但收敛速度慢.当能够估计出方程的根所在的一个较小范围时，此法是有效的，贝塔分布的分位数计算就常用二分法。求解非线性方程的牛顿法是非线性函数在小区间内用线性函数近似的方法.取初值，由泰勒展开式知非线性函数在附近有线性近似公式：.令 ，得 . （4-1）用代替（4-1）式右端中的，经计算得（见图4.1）.如此下去，即可得用牛顿法求根的一般迭代公式： . 图 4.1对给定的精度，当时，停止迭代，并用作为零点的近似值。牛顿法的直观思想是：当某步得到零点的近似值后，在处作的切线，切线和轴的交点（即切线

31、的零点）一般更靠近的零点.因牛顿法有这一明显的几何意义，所以也叫切线法。牛顿法是用在点的切线近似曲线来求得新的近似值.用牛顿法要求计算导数；而且要求初值点选得好.这里介绍的方法是用非线性函数上两个点的连线（割线）近似曲线求得方程的根的迭代方法，称为割线法。设曲线上两点，已知，通过这两个点的直线方程为，直线与轴的交点为.用作为新的近似点，再由与两点求出（见图4.2），依此类推，一般地，若两点，已知，在时，可得到用割线法的一般迭代公式： . （4-2）对给定的精度，当时停止迭代.就是的根的近似值。图 4.2当初值,选取不当，如使得，由（4-2）得到的可能离的零点比或更远.这样势必增加迭代过程，以至

32、于不收敛.为使迭代过程更快收敛，经常使用改进的割线法。 已知函数，并给出精度.选取初始值，使（即，在=0的根两边）.置；按（4-2）计算；若（或，停止迭代.就是的根的近似值；否则继续执行；如果，以作为新的初值，置继续迭代（即重复）.如果，则在（4-2）中用代替；用代替，得到的值记为；置，重复.4.3 分位数的迭代算法设分布函数，对给定的，求使得的计算问题，就等价于求的反函数的问题：.例 求指数分布的分位数.解 指数分布的分布函数为.由可得分位数为.上例通过求指数分布的分布函数的反函数，即得分位数.一般分布函数很复杂，有的不能用初等函数表示，更不易求出其反函数.是否可导出反函数的展开式，从而计算

33、分位数的值呢？回答是肯定的.给定初值，记，下面来求在的展开式.考虑.记，则由，可确定其反函数，则有.利用，可以求得在的泰勒展开式.事实上 （其中）， （其中）， ，一般地，其中有递推公式： ， 且 .故在的泰勒展开式为 (其中.若满足，记，则分位数有以下展开式： . （4-3）取（4-3）式的有限项，得分位数的近似公式： . （4-4）利用分位数展开式的近似式（4-4），可以计算分位数的近似值.为了提高精度，常把由（4-4）计算所得作为新的初值，用（4-4）式重复计算，直至（用户要求的精度）为止.由分位数的展开式，还可以利用其他分布的分位数计算所求分布的分位数.设，任给，求的分位数，即求，使.

34、已知是标准正态分布的分位数，即.利用及（4-7）式可以计算.事实上.记，由（4-4）可得 . （4-5）由正态分布的分位数及（4-5）式可以计算的分位数.在这里我们把（4-4）中的初值取为.有一些分布其尾部与正态是相似的，取作为初值，可以提高计算的精度.设求解的方程为 . （4-6）记是方程（4-6）的一个近似解，并记.在附近对作二阶泰勒展开：.把看成未知量求解以上二次方程，得 . （4-7）当时，由问题的意义，应为实数.这时令，或；当时，由（4-10)可得两个实根和.这时选取，使.例如，当时，取；当时，取.求出后，用代替原来的，并重复上述过程，直至小于允许误差.用基于二阶展开式的迭代算法求分

35、位数时，方程为，求根公式（4-7）中恰好是分布密度函数，而是密度函数的一阶导数.一般情况下，密度函数是已知的，故此算法在统计计算中是有效的算法，且能得到用户要求的精度。 第5章 正态分布的分布函数和分位数的计算5.1 几个基本公式 设，则的分布函数为：；是标准正态分布函数.的分位数为：.其中为标准正态分布的分位数.讨论的计算问题时用到以下几个关系式. 定义 称函数 为误差函数；函数为余误差函数.与误差函数有以下关系： （5-1）利用分部积分法可以得出的两个级数展开式： （5-2） （5-3）其中是标准正态分布的密度函数.利用分部积分法可以得出误差函数的级数展开式： （5-4）5.2 的计算方法

36、因是对称函数，只需给出时的计算方法；当时，利用计算。的连分式逼近法根据基本关系式（5-2）和（5-3），利用化函数为连分式的一般方法可得的两个连分式展开式： 其中.截有限节连分式作为的近似式： （5-5）以上连分式近似式（5-5），当取时，精度可达.由基本关系式（5-4）可得=取以上展开式的前项，得 （5-6）由以上近似式（5-6）可计算的值，再由（5-1）式即可得的近似值。导出误差函数的近似计算公式的方法很多，下面我们介绍两个常用的计算公式： ， 其中 ， ，.以上近似公式的最大绝对误差是. ， （5-7）其中 ， ，.以上近似公式的最大绝对误差是2.5.这是最简单且实用的近似公式，在精度要

37、求不高时使用起来比较方便。表5.1 正态分布函数表参数参数自变量分布函数值0100.5000.110.20.50400.120.20.51990.130.20.51200.210.40.57930.220.60.55960.230.90.60260.310.50.57930.320.80.59870.331.00.62930.411.00.72570.421.10.63680.432.00.70195.3 分位数的计算的近似计算公式由分位数的定义，满足：令，并称为上侧概率分位数.对给定的，且分位数与上侧概率分位数有以下关系式： 以下只需给出时，的近似计算公式.Hastings 有理近似式（1995年） ， 其中 以上近似公式的最大绝对误差是4.4.如果要求精度高，请用以下双精度的近似公式. Toda 近似公式（1967年） 其中 10, , , , , , 10,10, 10.以上公式的最大相对误差为. 山内的近似式（1965年） （5-8） 以上公式的相对误差小于4.910.初值取为（5.8）给出的分位数的近似值：