矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用【摘要】：矩阵的理论和方法不仅是各数学学科的基本工具，而且在理论物理学、经济学、统计学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科的理论研究和数值计算中都有着广泛的应用。近年来，随着近代量子力学的不断发展，力学工作者遇到并提出了一系列有关矩阵的理论和计算方面的疑难问题，这些问题制约着量子力学的发展，急需数学工作者给以解答。在本文中，我们通过引入复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴向量的方法，研究并解决了量子力学等学科中的有关矩阵理论与

2、计算中的下列三类系列疑难问题：1矩阵的合相似问题两个复矩阵A，B称为是合相似的是指存在复可逆矩阵S满足S(-1)A(?)=B。我们通过复矩阵的实表示、友向量和伴向量方法，研究并解决了合相似意义下矩阵的若当标准形、合相似意义下矩阵的三角化和矩阵的广义对角化的问题。不但从理论上给出复矩阵的一个新的若当标准形，而且还给出了相应复矩阵若当标准形的计算方法。进一步地，我们不但给出求一个复矩阵A的合若当标准形J的简单方法，而且还给出一种求相应合相似可逆矩阵S(满足S(-1)A(?)=J)的算法。2矩阵方程的解问题矩阵方程解的问题是矩阵理论中的一类重要的问题。如何给出某个矩阵方程的解有时非常困难。我们通过复

3、矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴向量方法，研究了几类矩阵方程AX-(?)B=C,X-A(?)B=C,AXB-CYD=E的华东师范大学博士论文矩阵【学位级别】：博士【学位授予年份】：2003【分类号】：O151.21;O241.6【目录】：中文摘要6-8英文摘要8-10第一章概述10-18第二章矩阵的合相似若当标准形18-302.1引言18-202.2矩阵的实表示20-212.3友向量和伴向量21-242.4矩阵的合相似若当标准形24-272.5矩阵的合若当标准形的算法27-30第三章矩阵的合相似广义对角化30-463.1引言30-313.2矩阵的合相似与相似之间的关系31-323.

4、3矩阵的合三角化及其算法32-343.4矩阵的合对角化及其算法34-373.5矩阵合广义对角化的概念和性质37-403.6矩阵合广义对角化的充分必要条件和判定定理40-443.7矩阵合广义对角化的算法44-46第四章矩阵方程X-A(?)B=C和A(?)-XB=C46-604.1引言46-484.2矩阵方程X-AXB=C的公式解48-494.3矩阵方程X-A(?)B=C的公式解49-534.4矩阵方程A(?)-XB=C解的结构53-564.5矩阵方程A(?)-XB=C的公式解56-60第五章四元数矩阵的代数方法60-725.1引言60-615.2复表示和友向量61-645.3四元数矩阵的行列式、

5、逆矩阵及其算法64-665.4四元数矩阵的秩及其算法66-685.5四元数矩阵的Cramer法则68-695.6四元数矩阵的特征值和特征向量69-72第六章四元数矩阵的标准形72-906.1引言72-736.2四元数矩阵若当标准形的算法73-776.3四元数矩阵的对角化及其算法77-806.4复四元数环和复四元数矩阵80-826.5四元数矩阵的广义对角化及其算法82-90第七章四元数矩阵方程AXB-CYD=E90-1027.1引言90-937.2四元数矩阵方程AX-XB=C和AX-YB=C93-957.3四元数矩阵方程X-AXB=C95-977.4四元数矩阵方程AXB-CYD=E97-102第

6、八章四元数矩阵的最小化问题102-1128.1引言102-1038.2四元数矩阵的范数103-1058.3四元数矩阵的广义逆105-1068.4四元数矩阵的最小二乘问题106-1088.5四元数矩阵的约束最小二乘问题108-112参考文献112-116主要论文目录116-117致谢117 本论文购买请联系页眉网站。MIMO信道中矩阵分析的应用张靖悦 S110101198矩阵分析在MIMO技术这个模块中有着很重要的应用，基本可以说是矩阵分析是MIMO技术研究的基础。所以我也根据导师给定我的研究方向，选修了矩阵分析这门基础课程。MIMO Multiple Input-Multiple Output

7、是指在通信链路的发送端与接收端均使用多个天线元的传输系统,它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,从而成倍地提高业务传输速率。矩阵理论在通信，自动控制等工程领域里应用广泛，而通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。在MIMO技术的研究中，对于MIMO信道的容量的研究具有着重大的意义。目前，MIMO技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。无线信道的一个重要特性就是存在衰落。如果在多径环境中采用多天线系统，则系统抗衰落特性能得到很大的提高，而且如果在发射和接受两端均采用多天线，即构成MIMO系统，则会有效地提高信

8、道容量。为了描述MIMO信道，令发射天线数目为，接受天线数目为，这样在某特定时刻，发射的符号构成一个的矢量，接受的符号构成一个的矢量，关系为： (1其中， (2表示高斯白噪声，方差为；H为信道矩阵，即 (3其中，表示从发射天线到接受天线的信道系数。这样，式（1）可写为 (4式中，上标表示在时刻。根据奇异值分解（SVD）理论，信道矩阵可以进行分解，得到 (5 (6为矩阵H的全部非零奇异值。U和V分别是和的酉矩阵，满足，其中和分别是和的单位阵。这样，式（1）变为 (7对式（7）进行变换，有 (8取，则有 (9于是我们得到一个与MIMO信道等效的表达形式，在这个等效的表达形式中，D为信道矩阵，原来的

9、MIMO信道就等效地转化为个平行的信道，每个信道的系数则为。通过以上等效表达式的推导，我们可以知道在MIMO信道的分析中必须要有很强的矩阵分析基础。*2.5 矩阵在决策理论中的应用所谓决策，就是根据预定目标，作出行动的选择. 从狭义上解释，决策是在若干个指导行动的方案中作出相对最优的选择.科学的决策必须严格实行科学的决策程序，运用科学的思维方法与决策方法. 决策可利用的数学方法很多，这里我们只介绍矩阵在决策中的简单应用. 决策者为了达到所希望的目标（例如收益较大或损失较小等），可以采用多种行动方案. 许多决策问题都面临着若干种不依决策者主观意志为转移的客观条件或客观现实，我们称为自然状态. 例

10、如，投资者将一笔资金投入生产时，有明确的目标，即要使得收益最大. 投资者可以采取的方案也有多种，例如投资房地产，投资汽车生产，投资家用计算机生产，投资彩电生产，等等. 上述方案即为投资者的行动方案，投资者将在上述方案中选择一种能使收益最大的投资方案. 然而不管投资者选择何种方案，将来的产品销售及市场行情都有可能出现好、一般、不好三种情形，这三种情形即为投资者所面临的不依投资者主观意志为转移的自然状态. 设决策者可以选择的行动方案的集合为A1, A2, , Am，所有的自然状态构成的集合为q1, q2, , qn，再设决策者采用行动方案Ai，而自然状态是qj时，决策者的益损（收益或损失）值为ai

11、j，则可以列出下表：自然状态 益 损 值行动方案q1q2qnA1a11a12a1nA2a21a22a2nAmam1am2amn我们可以把上述益损值写成如下的矩阵形式： q1 q2 qn称此矩阵为益损矩阵（或风险矩阵），记为B或Bmn当n1时，即自然状态只有一种，这时的决策问题比较简单，称之为确定型决策. 决策者只需根据决策的目标（例如收益最大或损失最小）而选择a11, a21, , am1中的最大者或最小者所对应的行动方案. 当B是收益矩阵时，选择最大数对应的行动方案，当B是损失矩阵时，选择最小数对应的行动方案. 当n1时，需要知道自然状态q1, q2, , qn出现的可能性（即出现的概率），

12、我们用百分比表示这些可能性. 设q1, q2, , qn出现的可能性分别是p1，p2, , pn. 则易知p1+p2+pn1.在实际进行决策时，有时会出现某种自然状态qj发生的可能性很大（接近百分之百）的情形，此时我们可以认定自然状态qj一定出现，其它自然状态一定不出现，从而变为确定型决策问题，可按照上述确定型的决策方法进行决策. 假设任何一种自然状态没有绝对的把握一定出现，这种决策称为风险型决策. 我们可以利用矩阵的乘法进行决策. 如果采取行动A1，那么益损期望值（即加权平均数）为E(A1)a11p1+a12p2+a1npn.同样如果采取行动Ai，那么益损期望值为E(Ai)ai1p1+ai2

13、p2+ainpn.一般地，记P, Q,由矩阵的乘法运算规则即知，QBP.在实际进行决策时，先计算矩阵乘积QBP，如果决策目标是收益最大，那么就在E(A1)，E(A2), , E(Am)中挑选最大者，最大者所对应的行动方案即为最优方案. 如果决策目标是损失最小，那么就在E(A1)，E(A2), , E(Am)中挑选最小者，最小者所对应的行动方案即为最优方案. 例1 某企业要对某个问题进行决策，方案、自然状态、状态出现的可能性，收益值如下表，试确定最优方案. 状态概率收益矩阵自然状态方案q1q2q3q40.20.40.10.3A14567A22469A35736A43568A53555该决策问题的

14、收益矩阵为B.又P.计算矩阵乘积QBP：QBP.Q中的最大值为5.9，对应的行动方案是A3，所以合理的决策是A3.运用矩阵方法进行风险型决策，有许多优点：第一，它具有广泛的适应性，尤其是在解决比较复杂、计算量比较大的决策问题时， 该方法显得更为优越；第二，这种方法把风险型决策问题转化为两个矩阵的乘法以及选取乘积矩阵中元素的最大者或最小者，这样就易于利用数学理论及计算机简化计算.例4（工业增长模型）考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染与工业发展的工业增长模型. 设p是现在污染的程度，d是现在工业发展的水平，二者都以由各种适当指标组成的单位来度量. 例如，对于污染来说，空气中的一氧化碳的含量及河

15、流中的污染浓度等等. 设p 和d 分别是五年后的污染程度及工业发展的水平. 假定根据其它发展中国家类似的经验，国际发展机构认为，以下简单的线性模型是随后5年污染与工业发展有用的预测公式：pp2d，d 2pd.如果我们记A, a, a5 则有 a5Aa (5)随后的10年、15年、，5n年污染程度与工业发展水平分别为：a10Aa5A2a, a15Aa10A3a, ，a5nAna.如果初始值p4，d2, 则用（5）式可得出未来50年污染程度与工业发展水平的情况，见下表：pd目前425年81010年282615年808220年24424225年72873030年2188218650年17714817

16、7146为了分析上表中p和d的变化性态，我们先求矩阵A的特征根与特征向量.A的特征多项式为fA(x)x2-2x-3(x-3)(x1).所以A的特征根为l13，l2-1.对于特征根l13，所有满足(3I-A)0的非零向量都是属于特征根3的特征向量，例如向量就是特征向量，即A3.同样对于特征根-1，所有满足(-1I-A)0的非零向量都是属于特征根-1的特征向量，例如就是特征向量，即A-1.如果初始值为p1，d1, 则利用（5）式可以计算出5年、10年、15年、5n年后污染与工业发展水平分别为：5年：a5Aa3；10年：a10A2aAAaA3a3 Aa32a；15年：a15A3aA2AaA23a3A

17、2a33a.5n年：a5nAnaAn-1AaAn-13a3An-1a3na记e1, e2.则容易算出（可以利用待定系数法）：3 3 e1e2.对于初始值p4，d2，随后5n年污染程度与工业发展水平为AnAn(3 e1e2)An3e1Ane23 An e1Ane233ne1(-1)n e2.当n较大时，对计算结果的影响作用很小，以致能被忽略不计，因此，当n较大时，5n年后污染程度与工业发展水平为：An.同样，如果以p1, d7为初始值，想要确定20个时段后这个增长模型的效果，也可如下计算：先将写成如下形式4-34e1-3e2. 因此20个时段后污染程度与工业发展的水平为A20A20(4e1-3e

18、2)4A20e1-3 A20e24320e1-3(-1)20e24320-3. 同样上式中最后一项的作用是如此地小, 以致可以忽略不计，因此A204320.例5（兔子狐狸种群模型） 考虑一个简单的关于兔子和狐狸生存的生态模型. 假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R一年自然增长10%，于是下一年兔子的数量R服从增长规律R1.1R.又设在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F每年减少15%, 于是下一年狐狸的数量F0.85F. 然而当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子, 使狐狸数增加，兔子数减少，我们提出如下的模型：.令A，则上述增长模型可写成如下的矩阵形式： (6)对初始值R10，F8, 利

19、用模型（6）计算经过许多时间段后，兔子和狐狸种群的数量如下：0年：10兔子，8狐狸1年：9.8兔子，7.8狐狸2年：9.6兔子，7.6狐狸3年：9.4兔子，7.4狐狸10年：8.4兔子，6.4狐狸20年：7.4兔子，5.4狐狸50年：6.3兔子，4.3狐狸100年：6.02兔子，4.02狐狸下面我们以特征根和特征向量为工具对上表所表示的性态进行分析.首先计算A的特征多项式：fA(x)det(xI-A)x2-1.95x 0.95(x-1)(x-0.95).所以特征根为1和0.95.为了求对应于特征根1的特征向量，考虑满足下式的非零向量：(I-A)0，例如可取，显然向量的任意非零常数倍k都是属于特

20、征根1的特征向量.同样对于特征根0.95，也可以求出一个特征向量，向量的非零常数倍k(k0)都是属于特征根0.95的特征向量.设ab，则有.解得a2, b4. 所以2+4因此经过n个时间段后，兔子和狐狸的种群数量为：AnAn2 An+4An21n+40.95n+40.95n.可以看出，An是由一个稳定种群项和一个缓慢衰减的第二项40.95n组成的. 所以, 正如前面表中计算的结果所表示的趋势那样, 兔子和狐狸的种群数量越来越趋向于6, 4.确定一个方阵的特征根及特征向量，是所有数学中研究最多的计算问题之一. 对于2阶方阵，例2已给出计算其特征根的方法. 对于某些较简单的三阶和四阶矩阵，特征根及特征向量容易求出，而对于阶数较大的方阵，问题比较复杂，在实际中往往使用其它方法.