浅谈求函数极限的方法学士学位论文.doc

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1、- 13 - 13 - 13 -提供全套毕业论文图纸，欢迎咨询目录摘要1关键词 1Abstract1Keywords2引言21利用极限定义求极限32利用左右极限求极限13利用函数极限的四则运算法则来求极限14利用洛比达法则求极限.15用两个重要的极限来求函数的极限16利用泰勒公式17利用定积分求极限18利用两个准则求极限18.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）8.2单调有界准则.9利用变量求极限9.1利用等价无穷小量替换来求极限9.2利用其它变换来求极限.10用归结原理求极限11总结.致谢参考文献浅谈求函数极限的方法数学与应用数学专业学生 步振华指导教师 张克梅摘要： 极限是数学分析的基础，数学分

2、析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是 可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算, 则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多

3、了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续 传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算关键词 ：极限；极限的定义；罗必达法则 ；泰勒公式；单调有限法则；Introduction to beg function limit methodStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Name步振华 Tutor

4、张克梅Abstract： Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition

5、 of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to i

6、nvestigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . d

7、efine the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospitals Rule is more complicated , however, Taylo

8、r shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of ca

9、lculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas

10、for different characteristics , and thus simplify the calculationKeywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luos Rule; Taylor formula; monotonous limited law; 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失

11、去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法1.利用极限定义求极限定义1.1：设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数（），使得当时有 ，则称函数当时以为极限,记作 或 .定义1.2：设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正数,使得当时有， 则称函数当趋于时以为极限,记作

12、或 .对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义： =A: 当-x-0时，|f（x）A | =A: 当0 x-时，|f（x）- A |M时，|f（x）- A | 当x-M时，|f（x）- A |在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。 例1.1 用极限定义证明：=1 证 由 = 取= 则当0|x-2|时，就有由函数极限-定义有：=1.22.利用左右极限求极限定理2.1：函数极限f（）存在且等于A的充分必要条件是左极限f()及右极限f（）都存在且都等于A。即有：= Af（）=f（）=A。 此类方法多用于求分段函数极限问题。 例2.1 求在的极限 解 3.利用函数极限的四则运算

13、法则来求极限定理3.1：若极限和都存在，则函数， 当时也存在且 (1)(2)(3)又若，则在时也存在，且有利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。例3.1：求解：原式=例32：求 解: =4.利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限用此种方法求极限要求在点的空心邻域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零 例 4.1求极限 解： 由于，且有，由洛比达法则可得: 例 4.2求极

14、限 解： 由于，并有，由洛比达法则可得： ， 由于函数，均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：注 1 如果仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限是否存在，这时和在的某邻域内必须满足洛比达法则的条件注 2 若不存在，并不能说明不存在注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件比如这个简单的极限虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论。5.用两个重要的极限来求函数的极限利用来求极限的扩展形为：令，当或时，则有或例5.1： 解：令t=

15、.则sinx=sin( t)=sint, 且当时 故 例5.2：求解：原式=利用来求极限的另一种形式为.事实上，令所以例5.3: 求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。6.利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例6.1: 求解:利用泰勒公式，当 有于是 =小结：此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目要十分熟悉泰勒展式的结构以

16、及用途。7.利用定积分求极限定义7.1：设函数 在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式（见右下图），当时，(属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间的定积分。例7.1:求解: 设,则在内连续,所以, 所以原式难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。8.利用两个准则求极限 8.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）定义8.1：若一正整数,当时，有且则有. （注：利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。）例8.1： 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为8.2单

17、调有界准则定义8.2：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。(注：利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。) 例8.2：证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令则 则.因为解方程得 所以9.利用变量求极限9.1利用等价无穷小量替换来求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量以替换原有的变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是

18、等价无穷小量的替换。 定义9.1：所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理9.1：设函数在内有定义，且有1.若则2.若则 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例9.1 求的极限 解 由 而； ； 故有注1 由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量：， 注2 在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的，则得到的结果是错误的。 小结 在求解极限的时候要特别注意无穷小量等价替换,无穷小量等价替换可以很好的简化解题

19、。9.2利用其它变换来求极限 利用变量替换进行极限计算，要灵活多变。 例9.2 求 解 令 则 10 用归结原理求极限 归结原则：设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等例 10.1 求极限分析： 利用复合函数求极限，令，求解解： 令 ，则有；，由幂指函数求极限公式得，故由归结原则得注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在11 总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做

20、求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。致谢本文是在张克梅老师的精心指导下完成的，张老师的广博的学识，严谨求实的治学态度，高度的敬业精神对我产生了重要影响，张老师开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪，在此对张老师表示深深的感谢！参考文献1 郝 梅：求函数极限的方法.福建教育学校学报.2006.10.2 刘小军:高等数学解题方法.云南广播电视大学理工学院学报.2006.083 刘书田：高等数学.北京大学出版社.20054 华东师范大学数学系编数学分析M北京：高等教育出版社，1991，第2版5 郝 涌：卢士堂等.数学考研精解.华中理工大学出版社.20046 钱吉林数学分析题解精粹M武汉：崇文书局，2003