矩阵的分解与正交阵之间的联系(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的分解与正交阵之间的联系（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）矩阵的分解与正交阵之间的联系摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，QR分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。关键词：分解 矩阵 正交阵正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。定义1： , , 则A称为正交阵。定义：， ( I

2、) ( II ) (III) 在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目。TH1：（02年高代试卷）设A是可逆的n阶实方阵。求证：存在正交阵U，正定阵T，使A=UT，且这个分解式是唯一的。证明：A可逆， 正定 从而存在正定阵T， 使 即 则 现假设A还有另一分解，即A=UT=US 则 ，U为正交阵，而U的特征值为实数且是正的 可对角化 即 分解式是唯一的。证明完毕。上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。推论1：设A是一个n阶实可逆矩阵，A=PU是极分解，其中P是正定矩阵，U是正交矩阵，则 。证明：（充分性）； （必要性） 而及均为正定矩阵知

3、它们均有正定平方根 P和而平方根是唯一的， 。TH2: 任一实满秩矩阵A可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之积，且这种分解是唯一的这个分解也称为矩阵的QR分解。证明：设，其中为A的列向量 为实满秩矩阵，线性无关， 则可用施密特正交化方法，令 其中 再将单位化，令 ， （2） 则为标准正交基，而为正交阵 由（1）（2）解出，得 其中为上三角阵 且为正实数 再证唯一性：设还有正交阵及对角线元素为正实数的上三角阵，使，下证： 令，则，则B既是正交阵又是上三角矩阵即B为对角矩阵，但与的主对角线元素为正实数，从而 而由B是正交阵， 即 证明完毕。例1、 将分解为正交矩阵与上三角矩阵之

4、积。解：令，其中为A的列向量，对用施密特正交化方法得到正交向量 即 在单位化得 即 令 ， 则为正交矩阵，为上三角矩阵，并且。注：可见，在掌握分解定理时，对起证明的思路及步骤也必须熟练掌握。这样，在求矩阵A的分解时才能用到。例2、（华中师大1994，1996）设A是n阶实可逆阵，证明：存在n阶正交阵P和 Q，使， 其中 且 为的全部特征值。证明：由定理1知，存在正交阵C和B，使A=BC （1）其中B的特征值 均为正，且 为的全部特征值，由B为正定阵，从而存在正交阵T，使得（2）将（2）代入（1）得 ， 即 （3） 其中， 均为正交阵。注：我们可以将（3）改写为 ， 这就是A的一个分解即实可逆阵

5、表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积。例3、（浙江大学，天津师范大学）设A为实矩阵，秩A=r，则矩阵，其中,分别为m阶和n阶的正交矩阵，而， 。证明：由题意知： 不是正定阵 从而存在正交阵P, 使 （1） 又 不失一般性，不妨设 ， 令 ， 由（1）得 （2） 将P分快，令 (3) 由于P为正交阵， ，用左乘，右乘（3）式两端得 （4） 令 ，则 为 实矩阵，且 （5） （6）由（6）得 （7）由于 有个线性无关的解，将它们正交单位化后构造 矩阵，这样由 ，可得 但 ，令 由于 从而 为正交阵，并（3）（8）式 由（9）式得 （10）其中 由（10）知 。（证法二）由假设，存在m阶与n阶可

6、逆矩阵T,S ,使 对，作分解， 其中，分别为m阶与n阶正交矩阵，分别为非奇异的正三角矩阵与下三角矩阵，则 （1）其中 为的r 阶顺序主子阵，为的r 阶下三角顺序主子阵，所以 是r阶可逆矩阵，因而存在正交矩阵，使 （2）其中 。令 ， 将（2）代入（1）得 且， 。例2其实矩阵分解的一个类型，也就是矩阵的奇异值分解问题，而由矩阵的奇异值分解，我们可以得到矩阵的另一种分解模式，即矩阵的极因子分解问题。TH3：设A为n阶实方阵，那么（1） A必与分解式 ，其中为正交阵；（2） 当时，（1）式中的分解是唯一解。证明：（1）由矩阵的奇异值分解，知存在正交阵，使 ，其中 ， 其中 （2） （3） 其中

7、用左乘（2）式两边，得 其中 用右乘（3）式两边，得 令 即 （2） 由A可唯一确定，而当A非奇异时存在， 可唯一决定 例4 设A、B为任意n阶实矩阵，且 ，则，这里为正交矩阵。证明： ， 由矩阵的极因子分解，我们有 ， ，其中，为正交阵， ，这里 为正交阵。注：当A是非奇异矩阵时，本条极易证明。由 得 这证明是正交矩阵， 以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系，但作为正交阵分解本身而言，也是特殊的。例5、设A是正交矩阵，求证：存在正交阵B，使得。 证明：是正交阵 存在可逆阵P，使 显然存在正交阵B，使 而 证毕。 关于矩阵的分解还有其他多种类型，这里限于篇幅，就不一一列举了。参考文献： 1、

8、厦门大学高等代数试卷（02年） 2、高等代数题解精辟 钱吉林 编 中史民族大学出版社 3、矩阵理论 黄廷祝等编 高等教育出版社 4、代数学辞典 樊晖 等编 华中师范大学出版社 5、矩阵理论和代数基础 李正良编 电子科技大学第十三讲主要内容:矩阵的最大秩分解,QR分解6.3 矩阵的最大秩分解定理1 设,则可经过有 限次初等行变换把化为行最简形式 其中,号的元素 可以不为零,的第个列向量为 ,第i个元素为1,. 引理 分块矩阵经过一次 初等行变换后化为矩阵, 则 证明 ,其中是相应的初等矩阵. ,而 。由初等变换不改变方程组的解,即。 定理2 设, 。则可 将做满秩分解(或称最大秩分解, 。其中,

9、且 ,即是列满秩的,是 行满秩的. 证明 对作初等行变换化为行最简形式, 令,则。取 为的前r行所构成的矩阵,即 则。下面验证 事实上,易见的任一列向量均可由 表示出来,且表示系数为的第 j个列向量,即 ,从而 由引理知道 故 。 例1 求矩阵的最大秩分解 解 则注意,由,其 中为任意r阶可逆方阵,所以矩阵的最大 秩分解不唯一。定理3 设, 。若 均为的最大秩分解,则 (i 存在r阶可逆方阵,使得 , 。 (ii 证明 (a 首先证明可逆。注意到 是一个r阶Hermite矩阵,考虑二次型 , ,将按行分块,则 。由,所以 。从而是正定矩阵,所以 可逆。同理可证可逆。 (b , 。令 , 则。从

10、而 ,注意到,记 ,则,所以(i成立. (c 由于,所以 注 1 矩阵的最大秩分解 但是矩阵 不唯一， 是唯一 的，它在后面要讲的广义逆中有重要作用。 中的 注 2 若矩阵的最大秩分解 满足 ，则称这种最大秩分解为 QR 。矩阵的 分解总是存 分解，且记 的矩阵 在的，事实上对最大秩分解 的列向量组实事 GramSchmidt 正交化得 ，其中 为正交正(酉矩阵， 是一 个可逆上三角阵。从而 ，其中 。矩阵的 分解也不 唯一。 例 2 求 习题 p1493 的 分解。 班级：研1104 学号：2021 109 姓名：宁建业 #include#define N 4main()double aNN

11、=111,-1,0, 0,-1,112,-2,0,0,-2,113,-2,0,0,-3,114;double lNN,uNN,fN=3,1,0,-5;double xN,yN;int i,j;l00=a00;u00=1;for(i=0;iN;i+)for(j=0;ji)lij=0;if(j=2)uij=0;if(i-j=1)lij=aij;if(i-j=2)lij=0;for(i=0;iN;i+)for(j=1;jN;j+)if(j-i=1&lij-1!=0)uij=aij/lij-1;if(i=j)lij=aij-aij-1*ui-1j;printf(l矩阵：n);for(i=0;iN;i+) for(j=0;jN;j+) printf(%.2f ,lij); printf(n); printf(n); printf(u矩阵：n); for(i=0;iN;i+) for(j=0;jN;j+) printf(%.2f ,uij); printf(n); printf(n); for(i=0;i=0;i-) if(i=N-1)xN-1=yN-1; else xi=yi-uii+1*xi+1; printf(x%d=%.4f ,i+1,xi); printf(nn);