2020届高考二轮复习热点重点难点专题透析数学理科专题4立体几何.pdf

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1、施k 专 题4 立体几何z知识整合ZHISHI ZHENGHE一、空间几何体1.画三视图的基本要求是什么?画三视图有哪些注意点？正（主）视图、俯视 图 长 对 正 ，正（主）视图、侧（左）视 图 高 平 齐 ，俯视图、侧（左）视图 宽相等”.画三视图时，能看见的线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.2.斜二测画法的特点（或规则）是什么？（口诀）坐标两轴各相关，夹角直角增减半;平行关系皆不变，长度只有纵减半.3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积公式是什么？（1）柱体、锥体、台体、球的侧面积公式：S柱 网=;（c为底面周长力为高）；S锥

2、!W 79为底面周长力为斜河；S台fi8g（c+c）/7（c C分别为上、下底面的周长力为斜高）;S球=4TT#（/?为球的半径）.（2）柱体、锥体、台体、球的体积公式:。主体=5h$为底面面积力为高）；锥 体=S/XS为底面面积力为高）；/台W（S+回+S）/XS：s分别为上、下底面的面积力为高）;忆球=$!（/?为球的半径）.二、点、直线、平面之间的位置关系1.公理1、2、3、4的作用分别是什么？公理1是判断直线在平面内的依据;公理2是确定平面的条件;公理3是判断三点共线的依据;公理4可判断或证明线线平行.2.直线、平面平行的判定定理与性质定理是什么？直线与平面平行的判定定理:匍a b u

3、 a且an环an a（2）平面与平面平行的判定定理:a b”g向a.直线与平面平行的性质定理:all a K/3,G 0=g an b.（4）平面与平面平行的性质定理:问aaTly=a,pn/?=/aw b.3.直线、平面垂直的判定定理与性质定理是什么？Q）直线与平面垂直的判定定理:/1 a,11.b K a,g a G b=4 /a.平面与平面垂直的判定定理沃a a，=a/3.直线与平面垂直的性质定理：6,a cxmwn.(4)平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理:q a J L a J L /3.4.求直线与平面所成角的基本思想和方法是什么？求线面角,一般先定斜足，再作垂线找射影

4、,最后通过解直角三角形求解，即 作(作出线面角)一证(证所作角为所求角)一求(在直角三角形中求解线面角).5.求二面角的基本思想和方法是什么？作出二面角的平面角，主要有三种作法:定义法，垂面法，垂线法.6.求空间中的点面距离的基本思想和方法是什么？求点面距离主要有以下几种方法：(1)先求作该点到平面的垂线段，再找垂线段所在的三角形，最后解直角三角形求出垂线段的长度.(2)当该点的垂线段不容易找时，可以将该点转化为其他点到相应平面的距离，如当直线与平面平行时,该直线上任一点到平面的距离相等.(3)先求出该几何体的体积和底面积，也就可以求出高,即点到平面的距离.三、空间直角坐标系与空间向量1.空间

5、向量的基本定理是什么？如果三个向量a,不共面，那么对空间任一向量夕，存在唯一的有序实数组(人 力使得p-x a+y b+z c.2.空间直角坐标系的定义是什么?点的坐标如何表示？利用交于一点的三条互相垂直的直线在空间中建立的坐标系,即空间直角坐标系;设M%y.x叫横坐标)叫纵坐标,z叫竖坐标.3.空间两点间的距离公式是什么？设 点 尺 外(及 以，及)，则仔 /=J(X l-)2 +(%-乃)2+(Z1-Z2)2.4.直线的方向向量的定义是什么?如何求平面的法向量？(1)/是空间的一条直线,4 8是直线/上的任意两点,则称前为直线/的方向向量，与南平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.(2)

6、设 是 平 面a内的两个不共线向量，为平面a的法向量，则求法向量的方程组为(n-a=0,tn-b=0.四、立体几何中的向量方法1.如何求两条异面直线所成角的余弦值？设两条异面直线的方向向量分别为2。向量a,b的夹角为a则co s(p=/co s/=|品|(其 中。为异面直线所成的角).2.如何求直线与平面所成角的正弦值？设直线的方向向量为6平 面a的法向量为，直线与平面a所成角为0,两向量e与的夹角为 8则 s i n(p=/co s =|就3.如何求二面角的余弦值？设 4/72分 别 是 二 面 角 的 两 个 半 平 面 的 法 向 量，则二面角8 的余弦值满足/tos1叫 近21|nil

7、|n2r4.如何求空间一点到平面的距离?设空间一点为C平面内一点为4 平 面 a 的法向量为，则 点 C到 平 面 的 距 离 =管考向分析KAOXIANG FENXI15命题特点立体几何是高中数学的重要组成部分，是高考考查考生空间感、图形感、语言转换能力、几何直观想象能力、逻辑推理能力的主要载体.近几年全国高考分值T 殳在22分 27分，题型有选择题、填空题和解答题.高考命题既重基础、注意 知识的重新组合“，又采用 小题目综合化，大题分步设问 的命题思路，不断实现探究与创新.一、选择题和填空题的命题特点（一）空间几何体的三视图与直观图的识辨，多与几何体的体积与表面积结合考查，以容易题和中档题

8、为主.1.（2018年 全 国/卷 理 T7改编）某圆锥的母线长为2,高为殍，其三视图如图所示，圆锥表面上的点股在正（主）视图上的对应点为4 圆锥表面上的点2在侧（左）视图上的对应点为6 则在此圆锥侧面上，从 例 到/V的路径中，最短路径的长度为（）.A.2 B.2V2C.V8+2V3 D.2 J2-V3因为圆锥的母线长为2,高为殍，所以底面半径 小普）2=1，所 以 底 面 周 长 为 所 以 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 中 心 角 为|TT,所以从点例到点”的路径中，最短路径的长度为1 2 +22-2x2 x 2co s/2向I.A D2.（2018年全国必卷，理T3改编）樟卯是我国古

9、代工匠极为精巧的发明,广泛用于建筑.梯卯是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.样卯结构中凸出的部分叫梯（或叫樟头）.已知某 樟头”的三视图如图所示，则 该 樟头”的体积是（）.正（主）视图 f t!（左）视图U-3-H4-3T俯视图A.48 B.50C.54D.63A由三视图可知，该几何体是由两个直棱柱组合而成，画出图象如图所示，故体积为竽 *3*3 笞*3*1=54 频 C.3 C（二）空间线面关系的判定，多与命题和充要条件结合考查，需要能够将文字语言、图形语言、符号语言相互转化.3.（2019年全国卷，理T7）设a尸为两个平面，则御的充要条件是（）.A.a内有无数条直线与平行B.

10、a内有两条相交直线与夕平行平行于同一条直线D a垂直于同一平面 A中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到all 可 知A错误；B中，由两平面平行的判定定理知,a内两条相交直线都与夕平行是au乃的充分条件，由两平面平行性质定理知,a内两条相交直线都与尸平行是a”/?的必要条件，即a内有两条相交直线与夕平行是御夕的充要条件；C中,a夕平行于同一条直线，此 时a与P可以相交，可 知C错误；D中,a仅垂直于同一个平面，此 时a与3可以相交，可 知D错误.古 姆B.B（三）考查异面直线的判定与异面直线所成的角.4.（2019年全国必卷，理T8改编）如图,三棱柱ABC-Ax Bx G中，侧棱力力 底面

11、4 8 1 G，底面三角形4 8 1 G是正三角形上是8 c的中点，则下列叙述正确的是（）.A.CG与&F是异面直线B/d 平面 48814C.力&G为异面直线，且AE&GD.4 G J平面 CQ,Bi 是共面直线，故A错误；若4。平面Z8814,因为力比平面4 8&4,故/C L Z 6这与NC48三矛盾，故B错误；由/。=/氏%=8可以得至!|/L8C又BC&G,故4 1&Q由4平面&8U G=8iG u平 面氏BCQ,&员G,故4 8 iG是异面直线，故C正确；若4 G JL平面因为/&U平面48上 故4G因为平面4&G,4 G u平面 4&G,故 4 G-L Z/i,而 4/n/8 i

12、=/,故 4G-L 平面又 4 8 iu 平面 Z 4818 故4 G _ L 4 8 i,这与NG 4反4矛盾，故D错误.辘C.C（2018 年全国卷，理 T9 改编）在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，若 A B=A C=A AX=1,AB AC,M,N别为4 Q U G的中点，则异面直线M N与81G所成的角为（）.A.90 B.60 C.45 D.30 连接4 c由题意可得用M l4C81GII BC,.Z 4U 8是异面直线M N与81G所成的角（或所成角的补角），连接 4 8则 A B=A C=BC=&,.:N4 c 8=60,.:异面直线M N与&G所成的角为60.故 选B.B

13、（四）考查多面体与球的切接问题，关键是球心位置的确定.6.（2019年 全 国I卷，理 T12改编）已知“纪的三个顶点都落在半径为/?的 球。的表面上,有 一 个 角 为 且 其 对 边 长 为 3,球 心。到A/I8C所在平面的距离恰好等于半径/?的一半,点户为球面上任意一点，则三棱锥2 2 8 c 的体积的最大值为（）.A 竽 B.苧 C.竽 D.苧如图，设“8。卜接圆的圆心为5 则平面4%所 以。专设“8。卜 接圆的半径为r,AB=c=3,C,由正弦定理可得3=2/;解 得r=W,Sln3由球的截面圆性质可得胫=勿+户=（?2+3廨 得R=2,所以点Q到平面Z8U的距离的最大值为R+OO

14、i=3.在/8U中，由余弦定理可得 斗二求+-2a beo s C=a +t -a b2a b-a b=a b,当且仅当a=b=3时，等号成立，所以（ab）m ax=9.所 以.史 李 加 in狂 竽，当且仅当a=b=3时，等号成立.当三棱锥户乂8。的底面面积最大，高最大时,其体积最大.所以三棱锥R/I8U的体积的最大值为力x竽*3年.故 选 C.-C（2018年全国口卷，理T10改编）如图所示,四棱推2/8。的底面为矩形，矩形的四个顶点A.B.C.D在 球。的同一个大圆上，且球的表面积为16TT,点户在球面上，则四棱锥。乂8。体积的最大值为（）.A.8 B.|C.16D.y 因为球。的表面积

15、是16n,所 以S=4TT印=16TT,解 得R=2.设矩形的长，宽分别为Q 则/=(2 2N2号当且仅当x可时等号成立,即 四 棱 锥 的 底 面 为 正 方 形 时，面积最大，此 时S正 方 形48c0=2#=8.设四棱锥尸乂8。的高为h当PO_L底面A B C D肘,h m a x=P O=R,贝 晒棱锥体积的最大值为g xS正 方 形A B C D X*x8 X2考.搬D.D二、解答题的命题特点主要考查空间线面平行、垂直关系的判定与证明，异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的大小.根据考查角度可以分为两种类型:直接考查，直接由题目所给关系判定平行、垂直关系或直接求角的大小;逆向考

16、查，即由给出平行、垂直关系或给出角的大小来判定点、线的位置，常以探索性问题出现.1.(2019年 全 国/卷 理T18改编)如图,三棱柱48L 481G中，。是48的中点.求证乂G II平 面CDBy.(2)若44,平面 ABC,AC 1.BC.AAi=1,A C=B C=4 2,的大小.Q)连 接8G,交 所。于 点连 接ED.因为Z3C-481G是三棱柱，所以四边形8CG所为平行四边形,所 以是6G的中点.又因为。是Z8的中点，所 以 是“8G的中位线，所 以FOIMG.又 处 平 面8 8 1/G Q平面所以ZGU平 面CDB、.(2)因为平面46 c g平 面 所 以AA r CD.在

17、“比中,/0二%/?是 底 边 的 中 点，所 以CD1AB.因为 CDr AB.CD AAx.AB X AA A,所 以。，平面ABBx Ax,因为u 平面48814 8u平面ABBiAi,所以所以N6Z78I是二面角氏-8-6 的平面角.在直角三角形&D B中a=l QB=：AB=l,所以 B DB为等腰直角三角形，所以N&?%=45,即二面角氏-。-8 的大小为45.2.(2019年 全 国 腐，理 T19改编)如图在直角“8U中广90/U=4百,/8=2 K,。分别为力C8。的中点，连 接 并 延 长 交 8 c 于 点将“8。沿 8。折起,使平面48。，平 面BCD,如 图 协 示

18、在 图/，回答下列问题.B F C求证:4 q CD.(2)求平面力用与平面ZOC所成锐二面角的余弦值.Q)由条件可知AB=AD,任为8。的中点.X L BD.又平面28。，平 面 64?,平面平面BCD=BD,且力比平面28。/口 平 面BCD.又 小 平 面BCD.AE1.CD.(2)由(1)可知,氏/4 两两相互垂直，如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),/l(0,0,3),0,l,0),3(-V3,0,0),C1-2V3,3,0),M=(V3,0,3),DC=(-V3,3,0).易知平面力用的f法向量为前=(-V3,0,0),设平面ZC。的法向量为=(孙力则卜竺=，可 取 n=(

19、V3,l,-l).n-DC=0,设平面Z 用与平面ZAC所成锐二面角为8 则 cos e=g s遍,n l粤15规律方法解答立体几何题目的方法：(i)求角的问题时，注意紧扣定义，将空间角(异面直线所成的角、线面角)转化为平面上两相交直线所成的角来处理.求角先找角，再在三角形中去解决,异面直线所成的角、线面角应取锐角.(2)在求距离时，可放在三角形中去计算，若是垂线难作出,可用等积法求解.(3)在求体积时,要从多方位、多角度看问题，要 注 意 公 式 法 换 底 法 割 补 法 的 应用.等体积法”可以用来求点到面的距离、多面体内切球的半径等.（4）向量法 的使用，要注意基向量的选择或坐标系的正

20、确建立等,还要强化计算能力.微专题0 9三视图、表面积与体积的计算基础检测JICHU1.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.俯视图Ag B.2 C.|D.|由题意可知，该几何体的直观图如图所示，则三棱柱的体积”毛邛不泛X3=|,三棱锥的体积匕=广9或 母*3刍所求体积V=VX+V2=2.故选B.a B2.如图，网格纸上小正方形的边长为L粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中直角三角形的个数为（）.A.l B.2 C.3 D.4三视图还原为如图所示的三棱锥力其各个顶点都在一个正方体的顶点上.由正方体的性质得“比？比2。均为直角三

21、角形,“6。为正三角形.辘C.C3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.A.2 B.|C.2+42 D.2V3+1将三视图还原为如图所示的四棱锥。-8CC,其各个顶点都在棱长为1的正方体的顶点上,该几何体表面积为2,x l x l+1 x l+2,xV2 x l=2 故选C.C4.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，若该三棱推的正（主）视图如图所示，则该三棱推的体积是（）.吟 B.C.J D.V3o o Z因为三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正（主）视图，所以三棱锥的底面是底为2V5,高 为1的等腰三角形.因为三棱锥的高为1,所以三棱锥的体积

22、1/季0 x 2V 3xl）x l岑故 选B.B5.九章算术中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳 马 ，现有一阳马，其正（主）视图和侧（左）视图是如图所示的直角三角形，该 阳 马”的体积为当若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.正（主）视图 侧（左）视图A.12n B.8V6TI C.24TT D36T T由题意可知该四棱锥的底面长方形的长，宽分别为4 216故四棱锥的高为P=2,|x4x2所以外接球的直径为V16+4+4=276,所以该球的表面积S=4nx6=24n.古 嬷C.C考能探究KAONENG TANJIU能 力1,由三视图确定组合体的表面积或体

23、积15典型例题（2019福建模拟）我国古代数学名著 九章算术记载的刍葡是底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体.如图所示的是某个刍曹的三视图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则它的体积为（）.A 与 B.16 0 C,等俯视图D.6 4由三视图可知，该刍蔚是一个如图所示的几何体.如图,分别取Q/VP/W上的两个四等分点B,E C F*AB,BC,AC,DE,DF,EF.则与。斤所在的平面将该几何体分成一个直三棱柱Z 6 L。炉和两个全等的四棱锥A-B C PQ。-阳V团其中直三棱柱力纥-。炉中的“8 U与。炉是等腰三角形,8 0=4,点Z到8 c的距离4=4,设A/8 U与。

24、炉的面积为S,则5 i 4%4 *4 =8易 知8=4,故直三棱柱ABC-DEF的体积 =Sx BE=8x4 =3 2.四棱锥A-B C P Q的底面是矩形,Q B=2,PQ=4,故四棱锥A-B C P Q的底面积$=2x4 =8.由三视图可得四棱锥48CQ的高方=4,所 以 四 棱 推 的 体 积匕=如方=枭8 X4号.所以该几何体的体积 匕%+2匕=3 2+2喈 卷.故 选A.A该题由三视图给出的几何体是一个组合体，根据其结构特征将其分割成三个规则几何体，然后分别求出三个几何体的体积.这种分割求解的方法实质也是转化与化归思想的体现.II I某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

25、.A.1424 B.12TT+32C.12TT+24 D.14H+32“由三视图可知该空间几何体为六圆柱和妊球和1个长方体的组合体,S表二匏球45圆柱侧面答泉4 B能 力2 与体积、表面积有关的最值问题15典型例题（2019沈阳市质量监测）已知在正四棱锥SMS。中，9 1=6百，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为.设正四棱锥的底面正方形的边长为a,高为因为在正四棱锥S-ABCD中,弘=6陋,所以竽+=108,即 取=216-2,所以正四棱锥的体积V s-ABCD=*h=72h W件,0 h 0狷0”6,止匕时片肥）单调递增令八份0,得6 4 C对点集训 a 一、选择题（2019辽宁省葫芦岛市二

26、模）某几何体的三视图如图所示厕该几何体的表面积为（）.A.5TT B.6T E C.6n+2 D.5TT+2“由三视图可知，该几何体由两个半圆柱构成，其表面积为2 X T T x l2-A T I x l x2+TI*1 x l+2 x l=5TT+2.故选 D.D平 面a截 球。的球面所得圆的半径为L球 心。到平面a的距离为或，则此球的体积为（）.A.V6T T B.4A/3TI C.4V6n D.6V3TI设球的半径为“由球的截面性质得R=J02+12=百,所以球的体积1/=无 忏=4 8口.答 B如图,网格纸上小正方形的边长为L粗线表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）.

27、A.24TT B.29Tl C.48n如图，在3 x2 x 4的长方体中构造符合题意的几何体（三棱锥/-8。,其外接球即为长方体的外接球，表面积为4Tl型 力+22+42）=29TT.B（2019山西名校联考）如图,网格纸上小正方形的边长为a,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的表面积为3 3 2则a的值为（）.由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱ABE-DCF,其中 AB=BC=BE=3a,AE=AB2+BE2=3&,9r 则 S-ABE二S 6形 A D F E W*,所以该几何体的表面积为27接+972=9（3+柩 理=3+迎，解 得 故 选B.（2019湖北七市联考）一个

28、几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）.正（主）视图2vT侧（左）视图A.n B.36n C32n D.28T T根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形，高是2百.将该四棱锥补成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4,该三棱柱的外接球即为原四棱推的外接球.三棱柱的底面是边长为4的正三角形,.底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为沁B 考，.:外接球的半径R=懵?+22=舟，外接球的表面积5=471卬=4TT吟=号 故 选A.A（2019广州模拟）九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三

29、角形的三棱锥称为鳖月需者三棱锥。乂歌为鳖焦三棱锥P-Z8C的四个顶点都在球。的球面上，则 球。的表面积为（）.A.8rc B.12TT C.20T T D.24T T如图，根据题意，可把该三棱推补成正方体，所以的中点到三棱推每一个顶点的距离都相等,即尸8 的中点为球心。易得2/?=国=2 8,所 以 R=g,球。的表面积为4n/?2=12n.故 选 B.：?B在封闭的直三棱柱ABC-Ax Bx Cx内有f 体 积 为 1/的 球 若A B r BC.AB,BC=Z,AAi=3厕 1/的最大值是（）.A.4n B.y C.6n D等由题意可得，若/最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都

30、相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径8 二*该 球 的 体 积 最 大,人 争 哥 号 号 号.一一 B四棱锥5乂8。的所有顶点都在同一个球面上,其底面4 6。是正方形且和球心。在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于8 厕 球。的体积等于（）.AA 32n D 32727T-C.16n D.i 依题意，设 球。的 半 径 为 尺 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为a、高为力,则有h 0,得h 6 尺 令外 力）也 得RhWR叔）在（百尺+网上单调递增，在（尺百尺上单调递减，故协在力二次月时取得最小值，此

31、 时 Knin=M关rK/?=,解 得R=W.J 3R -R N古嫡B.a B（2019河南省名校联考）在四棱锥2 2 8。中，底面28。是正方形，顶 点。在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为W T体积为4,且四棱锥的高为整数则此球的半径为（）.（参考公式:H拧=（a-Z?）（于+ab+gA.2 B.C.4 D；6 3如图所示,设底面正方形28。的中心为O；正四棱推R/8C。的外接球的球心为。半径为R.设底面正方形28。的边长为a,正四棱锥的高为/X/7GN*）,则。绛.因为该正四棱锥的侧棱长为g,所以J（苧a）2 +公=g，即#+=1 1.又因为正四棱推的体

32、积为4,所以4于力=4,由。导型=2（11分）代 入 统 任11/7+6=0酒e凑得6-27-11/7+33=0,（力-3）（+3/79）-11（77-3）=0,即（力-3）（+3力-2）=0,得/?-3=0 或/72+3/7-2=0.因 为/?eN*,所 以2=3,再 将h=3代 入 疥，解 得a=2,所以 C XD%=龌Q（y=P（y-P O=3-R.在R f。中油勾股定理，得。2+。=8 2,即（3为2.（0 2=偿 解 得嗯,O所以此球的半径等于也故选B.O B二、填空题一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为正（主）视图 侧（左）视图俯视图s由三视图知几何体的左边是半圆锥，右

33、边是四棱锥，如图所示.其中圆锥的底面半径为1,高为百，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为百.所以几何体的体积为2吊Hr X12 xV3号*22 xV3乎I 尊已知是球。的直径力8上一点/：H B=1-2,Z8_L平 面a为垂足。截 球。所得截面的面积为TT,则 球。的表面积为.如图,设截面小圆的半径为。球的半径为尺因为AH-2,所 以。二款.由勾股定理，有R=?力 又 由 题 意 得 叱。，则r=l,故R=1唔R）：即由球的表面积公式得S=4TT/?卷.（2019山西省长治市期中考试）如图,正方体A B C D A B1c0 的棱长为2为8 c的中点,Q为线段 8上的动点，过点4 8 Q的平

34、面截该正方体所得的截面记为5则 下 列 命 题 正 确 的 是（写出所有正确命题的编号）.妈0U Q l时,S为四边形；当C Q=1时,5为等腰梯形；酗 UQ=|时,S与G 2的交点片满足S/?二|；弟|G?2 时,S为五边形;鸡CQ=2时,S的面积为遍.对于，由图1 知，当 点 Q 向 U移动时，满足0 CQL只 需 在 皿 上 取 点 M 且满足AM P Q,则截面图形为四边形/IPQ例.：正确；对于，当C Q=1时，即Q为CG 中点，此时可得P Q AD1,AP=Q D1=,可得截面A P Q D i为等腰梯形，.:正确;对于，当时，如图2 所示，延 长。至 点N,使2/7=1,连接A

35、N交4 2 于 点 5 连 接N Q交G 2 于 点“连 接S R,可证4VIIPQ 由A/?QSAQ/?G,可得 G R：6 R=C Q:L N=:2,可得 G/?=|,2/?W，.错误;对于当|C Q 2时,只需点Q上移，此时的截面形状仍然如上图所示的多边形力QQ/?5显然是五边形，正确；对于，当C Q=2时,Q与 G 重合，取 4 2 的中点连接力可 证PQII9且P Q =AF,可知截面4PG 尸为菱形，且 面积为%G-P F=2显,端 误.综上可得，正确命题的编号为.微专题1 0平行与垂直的证明基础检测JICHU JI1.下列命题中正确的是（）.A.若a力是两条直线，且 an 6,则

36、 a 平行T 经 过 6 的任|可平面B.若直线a 和平面a 满 足 all a 则 a 与 a 内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,。和平面a 满 足a b,a a,ba a 则b a 根据线面平行的判定定理与性质定理可知选D.:D2.已知平面a 直 线 力 满 足 加 a m a 则 制 是 制 的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 由 制 可 以 得 出m a 而如果/nil a 则m与可能平行也可能异面，故m r i是m d 的充分不必要条件.答 案 A3.在三棱锥尸乂6 c 中，点尸在平面Z8U中的射影为点O

37、.若 以“8=%则 点。是“8U的 心；（2）若 以，阳 0外 厕 点。是“8。的 心.解析如图，连接 O A Q B Q C Q P,在 RfPOARtAQOb和O A=O B=O C。为的外心.(2)p如图延长力。6。,。9分别交 8 c 4 c z s于点 HOG因为 P C P A,P B P C,P AH P B=P,XPC1平面 P AB又 Z8u平面 外8,所以 PC 1/日因为 ABA.P O,P CX P C=P,X Z B,平面 P G C,又UGt平面PGC所以即UG为 8 C边 上 的 高.同 理 可 证 分 别 为“8C边力。比 上的高，即。为A/8U的垂心.外 垂4

38、.在平行六面体A B C D A B1c必 中二4氏/氏，氏G.求证:/创平面481c（2）平面力8 8 1 4,平面AYBC.Q）在平行六面体A B C D-A M i D r中/冽4%.因为A 皮平面4 8 1 c4&u平面481c所以Z8U平面A M.（2）在平行六面体A B 8 A BiG3中,四边形48&4为平行四边形.又因为4 4=/氏所以四边形Z 8&4为菱形，因此4848.又因为 A B B B C w B C i,所以 48i_L8C又因为4 5 rl8 0=6 4比 平 面4 8 c 8。=平面4 8 c所以Z_L平面AiBC.因 为 平 面Z6&4,所以平面力88141平

39、面Ax BC.K探考究能KAONENG TANJIU能 力1,空间中直线、平面的平行关系15典型例题（2019重庆六校联考）设m,表示不同直线,表示不同平面，则下列结论中正确的是（）.A.若 m a,m ，则 nil aB.若 6 u a/7 c /m iia则 a (3C.若 allp,m a,m ，则 mi0D.若 all/3,m a,n m,n l 则 mi(3 A错误，有可能在平面a内;B错误，平 面a有可能与平面夕相交;C错误，也有可能在平面内;D正确，易 知/771|或6 c s若 又nil m,in .若m il囚过6作平面y 交平 面 仅 于 直 线 侧6 1 又又m 0止囚故

40、选D.，D证明线面平行有两种常用方法:一是线面平行的判定定理;二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行.已知四棱柱A B C D-A x B D i中/。1 1阳力。=28。尸分别为C QQ6的中点.求证:平面8FG 平面 Z 4 G.取4 7的中点G连 接8GFG因 为尸分别为 的中点所 以G 2口 EF,因为 ADW BC,AD=2BC,所 以G CG BC,即四边形8 8 G是平行四边形，所 以B GD的 所 以BG Q EF,即四边形6 G 8是平行四边形，所 以BEW FG.因 为6G分 别 是 的 中 点，所 以 七IM S,所 以8 G z pL

41、.因为 C1DS ADi=Dl,ER BE=E,所以平面8FG平面力2 G.能 力2,空间中直线,平面的垂直关系15典型例题【例 2】P如图所示，在四棱锥P乂8。中,u 平面A B C D,ABLAD,ACL CD,ABC,PAABBC,E.PC的中点.证明:(1)。，力 七(2)，平面/8 (1)在四棱推 乂8。中，因为必I，平面4 6 6 处 平 面ABCD,所以必又因为 AC2.CD,P A(AC=A,P A,AC=平 面DP H C,所 以8FJL平 面DP H C.又因为Hu平 面D P”C 所 以 P M1BE.对点集训JIXUN一、选择题（2019黑龙江大庆一模）有以下三种说法，

42、其中正确的是（）.若直线a与平面a相交，则a内不存在与a平行的直线；若直线为平面a直 线a与直线。垂直，则直线a不可能与a平行;直线a为 满 足ail 6,则a平行于经过6的任何平面.A.B C.D 对于若直线a与平面a相交，则a内不存在与a平行的直线，故正确;对于，若直 线 切 平 面a直 线a与直线Z?垂直,则直线a可能与a平行，故错误;对于若直线a,b满足an b,则直线a与直线6共面，故存在一个平面既经过a又经过6,故错误.故选D.D（2019河1田家庄模拟）过三棱柱4 8 厂4 6 1 G 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面Z8814平行的直线共有（）.A.4 条 B.6 条 C.

43、8 条 D.12 条如图,H G /是相应线段的中点,故符合条件的直线只能出现在平面H G F7电有FI,FG,G H,H H F,G I共 6 条直线，故选 B.答 B（2018届四川省资阳市三诊）如图，平 面 a 与平面阴目交于BC,ABu a,C氏0点 获5 c 点Di BC.则下列叙述错误的是（）.A.直线力。与 6 c 是异面直线B.过力。只能作一个平面与8 c 平行C.过力。只能作一个平面与8 c 垂直D.过。只能作唯一平面与8 c 垂直，但 过。可作无数个平面与8 c 平行由异面直线判定定理得直线力。与 8 c是异面直线;在平面夕内仅有一条直线过点D且 与 5 c 平行，这条直线

44、与4。确定一个平面与8 c 平行，即过力。只能作一个平面与8 c 平行;若垂 直 8 c 则过2。可以作一个平面与8 c 垂直，若力。不垂直8 c 则过力。不可以作一个平面与 6C垂直，因此C 错;过。只能作唯一平面与8 c 垂直，但 过。可作无数个平面与8 c 平行.选C.C下列四个正方体图形中,4 B为正方体的两个顶点,M,/V P分别为其所在棱的中点,能得出ABW平面例A 的图形的序号是（）.A MA.B.C.D.对于图形，平 面M N P与2 8 所在的对角面平行，即可得到/例平面例八 对于图形/8 I I 也 即 可 得 到 48U平面例A/图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平

45、行.C（2019温州十校联考）如图，点为正方形A B C D 也。上异于点C。的动点，将A/O F沿 ZF翻折成 必日吏得平面S AE平面力8仁则下列说法中正确的个数是（）.存在点日吏得直线夕l_L平 面S BC,湃 面 5次7内存在直线与S A平行；界 面 4 8%内存在直线与平面力平行.A.O B.l C.2 D.3 由题图，得 分 1_LS若存在点使得直线夕U 平 面 S次 测 与 U S8,与l_LSC则5cS8SF三线共面，则点与 点C重合，与题设矛盾，故 遍 误;因 为 M 与平面58c相交，所以在平面 S&7内不存在直线与S4平行，故御吴;显然,在平面Z&T 内，存在直线与力平行

46、，由线面平行的判定定理得平面力员上内存在直线与平面S4F平行，故正确.故选B.B6.（2019郑州市质检）如图，直三棱柱Z8C-4夕C中/4=4,G 例分别是边4/；/氏88；4的中点，动 点。在四边形F尸 G”内部运动，并 且 始 终 有 枕 II平面力之力；则动点户的轨迹长度为（）.A.2 B.2n C.2V3 D.4 连 接MF,FH,MH,因为分 别 为 民 力 8 的中点，所 以 平 面/W UC例 II平面Z/TOC所以平面例例平面/W GC所以例与线段用上任意一点的连线都平行于平面ZZ CC所以点。的运动轨迹是线段可 其长度为4.故选D.D7.B如图，直 三 棱 柱 中,侧 棱

47、长 为2/C=8U=LN4 08=90。,。是 的 中 点，尸是B氏上的动点,力81,。下交于点要使Z氏J平 面GO6则线段无尸的长为（）.A.1 B.l C.1 D.2 设&F=%因为力品，平 面G/。尺 平 面 所 以/S i JL。石由已知可得481=,设Rt 4481斜边力&上的高为力,则D E 会 又2 X或=422+（或尸,所以力 考，小 写 在R tA&F中心6 J停:停丁邛.由 面 积 相 等 得 如+（3二会解得8.A（2019石家庄质检）在 九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖月需在鳖月需中/九 平 面8。且BDLCD,AB=BD=CD,点。在棱ZU上运动，设。

48、的长度为X,若,P B D 的面积为XM,则 函 数 的 图 象 大 致 是（CDA如图，作 PQ_L8U于 点 Q作QR1 8 D 于点、凡连接 班则由鳖月需的定义知P Q wAB.Q R w CD.设 4 6=6 0=0=L 则 齐 5 与 即 PQ=5,又 华 嘤 喋 焉，所 以。?=等 所 以PR=JPQ2+QR2=J稔）2+（警）2 岑 届 一 2岳+3,所以/W 4 届-2百 x+3邛 J（x-1），*其图象关于直线x考对称.故选A.A二、填空题9.（2019广东顺德质检）如图所示,四棱锥2 2 8。的底面是直角梯形/例CD,BA AD,CD=2AB,E为 死 的 中 点，则 8F

49、与 平 面 以 Z?的 位 置 关 系 为.解 札取 也 的 中 点连 接EF.AF,在A。中，斤 CD.A B W。且 CD=2AB,“用 AB,.泗边形Z8斤 是 平 行 四 边 形/E l AF.又EBZ平 面 以。/丘 平 面P AD,二 阳 平 面P AD.平行10.(2018湖南株洲调研)如图所示,正方体A B C D-A i B C D v中/8=2,为力。的 中 点/为。上一点.若EG平面Z&C则 线 段 用 的 长 度 等 于.在正方体A B C D A 尻Q 6中,48=2 C=2痘.又E 为力。的 中 点 平 面平面力。C平面力。01平面ABiC=AC,.EF AC,“为

50、。的中点，.:7*267=a.V2棱长为2的正方体ABCD-AxBxCy Di中,例是棱Z 4的中点，过 点C例。i作正方体的截面，则截 面 的 面 积 是.如图W是2 8的中点，易得梯形例/V。为正方体的截面，其 面 积 为 弩 建 工 考.已知正方体Z8CO-4&G2,下 列 结 论 中,正 确 的 结 论 是.(只填序号)(I)ADi II 8 6；2)面 ABiDi II 平面 BDQ;ADi II DCi；(g)ADi II 平面 BDQ.因为ABQ G S,所以四边形力&G 8为平行四边形，故ADiW 8G,从而正确;易证BD BiDi,ABi ll Z?G,又氏。1=&,8/才1