矩阵Jordan标准形及相似变换矩阵的初等变换求法(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵Jordan标准形及相似变换矩阵的初等变换求法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载） 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 矩阵Jordan标准形及相似变换矩阵的初等变换求法作者:陈红, 李信巧, Chen Hong, Li Xinqiao作者单位:陈红,Chen Hong(广西大学梧州分校,基础课部,广西,梧州,543002, 李信巧,Li Xinqiao(玉林师院数计系,广西,玉林,537000刊名:广西大学梧州分校学报英文刊名:JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY WUZHOU BRANCH年,卷(期:2003,13(2被引用次数

2、:1次参考文献(3条1.谢邦杰线性代数 19792.熊全淹线性代数北京高等教育出版式社 19873.北京大学数学力学系高等代数 1988引证文献(1条第三章 矩阵的初等变换和线性方程组第一节 矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组引例 解线性方程组2x1x2x3+x4=2,(1)x+x2x+x=4,(2)1234 4x16x2+2x32x4=4,(3)3x1+6x29x3+7x4=9.(4)x1+x22x3+x4=4,(1)2xxx+x=2,(2)1234(1)(2)解： (3)2232,(3)xx+xx=23413x1+6x29x3+7x4=9.(4)x1+x22x3+x4=4,(1)0x+2

3、x2x+2x=0,(2)1234(2)(3),(3)2(1)(4)3(1)0x15x2+5x33x4=6,(3)0x1+3x23x3+4x4=3.(4)x1+x22x3+x4=4,(1)0x+xx+x=0,(2)1234(2)2,(3)+5(2) (4)3(2)0x1+0x2+0x3+2x4=6,(3)0x1+0x2+0x3+x4=3.(4)x1+x22x3+x4=4,(1)0x+xx+x=0,(2)1234(3)(4) (4)2(3)0x1+0x2+0x3+x4=3,(3)0x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)x1+0x2x3+0x4=4,(1)0x+xx+0x=3,(2)1234(1)

4、(2) (2)(3)+=0003,(3)xxxx23410x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)方程组是4个未知量3个有效方程的方程组，应有一个自由未知量，由于方程组呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知量（即x1,x2,x4）选为非自由未知量，剩下的x3选为自由未知量。这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由中（3）得x4=3代人（2），得x2=x3+3；以x4=3，x2=x3+3代人（1），得x1=x3+4。于是解得x1x3=4,x1=x3+4,x2x3=3,x2=x3+3,x=3.x=3.44x1c+4x+3c2，即其中x3可任意取值。或令x3=c，方程组的解可记作x=x3cx34141

5、3x=c+，其中c为任意常数。 1003注 1、在消元过程中，始终把方程组看做一个整体，着眼于整个方程组变成另一个方程组，其中对方程组施行了三种变换：1)交换两个方程的位置；2）用一个不为零的数乘某一个方程；3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。称这三种变换为线性方程组的初等变换。由于这三种变换都是可逆的，因此，变换前后的方程组是同解的。2、在上述变化过程中，实际上，只对方程组的系数与常数进行运算，未知量并未参加运算。因此，若记21111121B=(A b)4622369724 49那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换。把方程组的上述三种初等变换移植到矩阵上，可得矩阵的三种初

6、等变换。二、矩阵的初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1）对调两行称为互换（对调i,j两行，记作rirj）；2)以数k0乘以某一行中的所有元素称为倍乘（第i行乘k，记作rik）；3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去称。 为倍加（第j行的k倍加到第i行，记作ri+krj）把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。注 矩阵的初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。 矩阵等价1)定义2 若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作AB。2)等价

7、关系的性质反身性 AA； 对称性 若AB则BA； 传递性 若AB,BC，则AC。用矩阵的行初等变换解方程组显然对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的初等行变换。按此观点可把方程组用消元法到的过程翻译成对的增广矩阵施行初等行变换的过程如下：（注：其过程可与消元法过程一一对照）21111121以上例为例B=46223697211214r1r22111r32231149369742=B1 291121402220r2r3,r32r1=B 2r43r1055360334310r22,r3+5r2r43r20010r1r2r2r3001214111100r3r4=B3r42

8、r3000260013012141110=B4 001300000111000004x1x3=4,03=B5 B5对应的方程组为x2x3=3, 13x=3.400x1c+414x+c3，即x=c1+3，其中取x3为自由变量，并令x3c，即得x=2=x3c10x3034c为任意常数。注 1）一个矩阵与施行初等变换后所得的矩阵一般不相等，所以不能用等号来连接，而是用箭头来连接。2）B4,B5称为行阶梯形矩阵，其特点为：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每一个台阶只有一行，台阶数既是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。3)B5还称为

9、行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零。4)用归纳法可证明，任何矩阵A(aij)mn总可经过有限次的初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形阵，即若aij不全为零。通过初等行变换能把A化为如下行最简形：10 00 000.0c1,r+1.c1n10.0c2,r+1.c2n 00.1cr,r+1.crn。从解线性方程组的角度看，这就是说m个00.00.000.00.0线性方程，可化简为r个线性方程来求解。至此产生这样一个问题：r这个数是由原线性方程组所唯一确定，还是随着不同的初等变换过程而变化的？在下一节引入一个概念后可解决此问题。其实行最简形矩阵是由

10、方程组唯一确定的；行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的。3)对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变为一种形状如下的标准形 ：ErA00，其特点为：左上角是一个单位矩阵，其余元素全全为零。标0mn01110000041003c3c4,c4+c1+c201c54c13c2+3c300130000010000000F。 00准形由m，n，r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。10例如 B5=00这个结论可由以下定理严格证明： 定理1 任意一个矩阵A=(aij)的矩阵D。经过若干次初等变换，可以化为下面形式mn1Ir1D=0O(mr)r 0Or(nr).O(mr)(nr)证明 如所

11、有的aij都是零，则A已是D的形式（此时r=0）；如果至少有一个元素不等于零 ，不妨设a110（如a11=0，可以对矩阵A施以第（1）种初等变换，使左上角元素不等于零）。用aai1乘第一行加于第i行上（i=2,m）,用1ja11a11乘所得矩阵的第一列加于第j列上（j=2n），然后以化为100a22A1=.0am21乘第一行，于是矩阵Aa11.0.a21On= .OB1.amn如果B1=O，则A已化为D的形式，如果B1O，那么按上面的方法，继续下去，最后总可以化为D的形式。定义2 D称为矩阵的标准形。所有与A等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类 中形最简单的矩阵。4用矩阵

12、的行初等变换解线性方程组的步骤：1)写出增广矩阵B； 2)将B用行初等变换化为行最简形F；3)写出F对应的方程组；4)写出解。三、小结1、行列式与矩阵的初等变换的、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价的概念。2、用矩阵的初等变换解线性方程组的步骤。四、作业 P791(3)(4)第二节 初等矩阵一、概念定义3 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 据此对单位矩阵En施行三种初等变换所对应的初等矩阵分别为：1 10.1 1 rirj1)互换En E(i,j)。 (或cicj) 1 1.01 1i列 j列1 1kri2)倍乘Enk=E(i(k)。 (或kci)1 1i列3)倍加1 k1

13、ri+krja)ij时En =E(ij(k)， (或cj+kci)1 1i列 j列1 1ri+krjb)i j时En =E(ij(k)。 (或cj+kci)k.1 1j列 i列二、性质1、初等矩阵为可逆矩阵，且它们的逆矩阵仍为初等矩阵。具体说：1E(i,j)1=E(i,j) E(i(k)1=E(i( E(ij(k)1=E(ij(k)。 k2、初等矩阵的转置仍为初等矩阵。3、初等行（列）变换可通过左（右）乘相应的初等矩阵而实现定理2 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵。证 现在证明交换

14、A的第i行与第j行等于用Im(ij)左乘A。A11A22 Aii将Amn与Im分块为A= ,I= Ajj Amm其中Ak=(ak1ak2.akn)(k=1,2,.,m)k=(00.1.0)(k=1,2,.,m) k列1AA11A2A22 AAjjj 由此可见Im(ij)A恰好等于矩阵AA=Im(ij)A= iAAii AA1mm第i行与第j行互相交换得到的矩阵。用类似的方法可以证明其它变换的情况。 4、用初等矩阵表示可逆阵定理3 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,.,Pl,使A=PP12.Pl。证明 充分性 设A=PP因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可12.Pl，逆

15、。故A可逆。必有性 设n阶方阵A可逆，且A的标准形矩阵为D，由于DA，知D经有限次初等变换可化为A，即有初等矩阵P1,P2,.,Pl,，使A=P1.PsDPs+1.Pl。因Er为A可逆，P,P,.,P也都可逆，故标准形矩阵D可逆。假设D=12lOO中Onn则D=0，与D可逆矛盾，因此必有r=n，即DE，从而A=PP 的rn，12.Pl。上述证明显示：可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵。其实可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵，即有推论1 方阵A可逆的充分必要条件是AE。证 因A可逆的充分必要条件是A为有限个初等矩阵的乘积，即A=p1p2.pl亦即A=p1p2.plE上式表明E经有限次初等变换可变为A，即

16、AE。推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n 阶可逆矩阵Q，使PAQ=B。三、初等矩阵的应用1、利用初等行变换求可逆矩阵的逆阵的方法：设A0,则存在有限个初等矩阵P1,P2,.,Pl使A=p1p2.pl，即有。（1）、(2)两式pl1pl11.p11A=E (1) ，两边右乘A1得pl1pl11.p11E=A1（2）表明：如施行若干个初等行变换将可逆矩阵A化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行于单位矩阵上就得到A的逆矩阵A1。从而若构造一个n2n的矩阵(AE)就有pl1pl11.p11(A E)=(E A1)，此式表明对(A E)施行初等行变换，当左半部矩阵A化为单位矩

17、阵时，它的右半部E就同时化为A1。即有初等行变换 E)(E A1)。(A于是得到一个求逆矩阵的方法如下：初等行变换(E X)，则有 作一个n2n的矩阵(A E)，若(A E)1)A可逆；2)X=A1。1011例1 设A=，求(EA)。 210325001 100解 (EA E)=200 010326 00111000 23初等行变换010 34001 101023(EA)1=341001。 2001=(E A1)，于是 20注：以上方法求逆阵，仅施以初等行变换，不得出现初等列变换。AE初等列变换同理可推导出 EA12、求矩阵方程Ax=B（A0）较为简便的方法：等式A1(A B)=(E A1B)

18、，表明施行若干初等行变换将可逆矩阵A化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行于B就得到A1B。即(A初等行变换 B)(E A1B)。423例2 设有矩阵方程AX=A+2X，求X，其中A=110。123解 由AX=A+2X 得(A2E)X=A。423100223 A2E=1102021=110。123001121223423100386(A2E,A)=1101100102961211230012129可见A2EE，因此A2E可逆，且386 X=(A2E)1A=296。2129上面介绍了用初等行变换的方法求X=A1B，如果要求Y=CA1，则可对矩阵AAE1作初等列变换，使，即可得Y=CA。 1CCcA

19、三、目前已学习过的求逆阵的方法：伴随矩阵法 ； 初等变换法。四、小结1、初等矩阵的概念。2、初等矩阵的性质。3、初等矩阵的应用特别是用初等矩阵求逆矩阵的方法。五、作业p793(2),4(1),5第三节 矩阵的秩一、矩阵的秩的概念。定义4 在mn矩阵A中，任取k行k列(km,kn)，按原矩阵中的位置组成的k阶行列式，称为A的k阶子式。kk注 mn矩阵A的k阶子式共有cm个。 icn定义5 设在矩阵A中有一个不为零的r阶子式D，且所以r+1阶子式（若数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。有）全为零，那么D称为A的最高阶非零子式，并规定零矩阵的秩为零。注 1)R(A)是A中不为零的子式的最高阶数;2)R

20、(AT)=R(A);3)R(Amn)min(n,m)。4)若A有一个r阶子式不为零，则R(A)r；5)若A的所有r+1阶子式全为零，则R(A)r。1230例3 求A=0121的秩。2460解 120 ，且A的所以3阶子式都为零，故R(A)0。 0111566027253的秩。 例4 求A=005980000011570是矩阵的一个最高阶非零子式，5解 这是阶梯形矩阵，显然0 故R(A)3。注 用定义求行、列数很大的矩阵的秩是很不方便的。而阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。二、利用初等变换求秩的方法定理4 若AB，则R(A)=R(B)。证明 先证明：若A经一次初等行变换变为B，则R(A)R(B)。

21、 设R(A)r，且A的某个r阶子式Dr0。rikij当AB时，在B中总能找到与Dr相对应的子式Dr，B或Arr由于Dr=Dr或Dr=Dr或Dr=kDr，因此Dr0，从而R(B)r。ij当AB时，分三种情况讨论：1) Dr中不含第i行；2) Dr中同时含r+kr第i行第j行；3) Dr中含第i行但不含第j行。对1)、2)两种情形，显然B中与Dr对应的子式Dr=Dr0，故R(B)r；对情形， Dr=ri+krj=ri+krj=Dr+kDr3)，由0，则因D 中不含第i行知A中有不含第i行的r阶非零子式，从而根若Drr=0，则D=D0，也有R(B)r。 据情形1)知R(B)r；若Drrr以上证明了若

22、A经一次初等变换变为B，则R(A)R(B)。由于B亦可经一次初等行变换变为A，故也有R(B)R(A)。因此R(A)=R(B)。经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变。设A经初等列变换变为B，则AT经初等行变换变为BT，由上段证明R(AT)=R(BT)，又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)。总之，若A经有限次初等变换变为B，则R(A)=R(B)。注 现在解答了上节提出的问题：将一个线性方程组的增广矩阵经初等行变换得到的阶梯形矩阵中不全为零的行数r即为增广矩阵的秩，从而r是由线性方程组唯一确定的。思考题：在秩为r的矩阵中，有没有等于零的

23、r-1阶子式？有没有等于零的r阶子式？注 由上定理，求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。11112222例5 设A=111111101r22r1,r3+r10Ar4r100100020,求R(A)及一个最高阶非零子式。 111000112011。这个矩阵是行003000解 用初等行变换将A化为阶梯形矩阵。 1121044r24r40Ar2r400030110阶梯形矩阵，有三个非零行，所以r(A)=3。又 B=(345)112011，R(B)3,即B中有3阶非零子式， 0030001122100，它是A的一个最高阶非零子式。 1 21三、

24、满秩矩阵定义6 设A=(aij)nn，则1)R(A)n的充要条件为A0。2) R(A)n的充要条件为A=0。称R(A)n的nn矩阵A为满秩矩阵。故可逆矩阵为满秩矩阵，奇异矩阵又称为降秩矩阵。满秩矩阵A的标准形为E,即AE。四、矩阵秩的性质的归纳总结1、0R(Amn)minm,n;2、R(AT)=R(A)；3、若AB,则R(A)=R(B)；4、若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；5、maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B)，特别地，当B=b为列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)+1，证 因为A的最高非零子式总是（A,B）的非零子式，所以R(A)R(A,B)。同理有R(B)R

25、(A,B)。两式合起来，即为maxR(A),R(B)R(A,B)。，则 中设R(A)=r,R(B)=t。把A和B分别作列变换化为列阶梯形 A,BA,B,., =(b ,.,b ,0,.,0),分别含r个和t个非零列，故可设A A=(aar,0,.,0),BB11t), 由于( )中只含r+t个非零列，因此R( )r+t,而从而(A,B)( A,BA,BA,B)，故R(A,B)r+t，即R(A,B)R(A)+R(B)。 R(A,B)=R( A,B6、R(A+B)R(A)+R(B)证 不妨设A、B为mn矩阵。对矩阵(A+B,B)作列变换cicn+i(i=1,.,n),即得(A+B,B)(A,B)，

26、于是R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)R(A)+R(B)。7、R(AB)minR(A),R(B).8、若AmnBnl=O，则R(A)+R(B)n（见下章）9、R(AB)R(A)+R(B)n例6 设n阶矩阵A满足A2=E，证明：R(E+A)+R(EA)=n证明 由于(E+A)(EA)=EA2=0故R(E+A)(EA)=0R(E+A)+R(EA)n，即R(E+A)+R(EA)n 又R(E+A+EA)=R(2E)=nR(E+A)+R(EA)所以R(E+A)+R(EA)=n。五、小结1、k阶子式、矩阵的秩、满秩矩阵的概念。2、矩阵秩的性质（9条）。3、利用初等变换求矩阵的秩的方法。 六、作业

27、p798,9(3),10,11第三节 线性方程组的解一、判定定理定理5 n元齐次线性方程组Amnx=0有非零解的充要条件为R(A)n.；只有零解的充要条件R(A)=n。证明：设R(A)r，不妨设A的左上角一个r阶子式不为零，这样用行初等变换可将A化为如下形式的矩阵T 即10 行初等变换A00 000.0c1,r+1.c1n10.0c2,r+1.c2n 00.1cr,r+1.crnT， 00.00.000.00.0T中只含有r个非零行。x1+0x2+.+0xr+c1,r+1xr+1+.+c1nxn=0,0x1+x2+.+0xr+c2,r+1xr+1+.+c2nxn=0,.T对应的方程组为0x1+

28、0x2+.+xr+cr,r+1xr+1+.+crnxn=0,（2）0x1+0x2+.+0xr+0xr+1+.+0xn=0,.0x1+0x2+.+0xr+0xr+1+.+0xn=0.1)若r=n 方程组中如有恒等式就去掉，成为x1=0x2=0即r=n无自由未知量只有零解。 .x=0nx1+c1,r+1xr+1+.+c1nxn=0,x+cx+.+c2nxn=0,若rn 方程组中如有恒等式就去掉，成为22,r+1r+1移2）.x+cx+.+cx=0.r,r+1r+1rnnr项得x1=c1,r+1xr+1.c1nxn,x2=c2,r+1xr+1.c2nxn, 这表明xr+1,.,xn可作为自由未知量。

29、因此这时(2)，.x=cx.cx.r,r+1r+1rnnr从而方程组Ax=b有无穷多解。这时解的全体，即通解可表示为 x1=c1,r+1xr+1.c1nxn,x2=c2,r+1xr+1.c2nxn,.xr=cr,r+1xr+1.crnxn,其中c1,c2,. r为任意常数。xr+1=c1,.xn=cnr.注 本定理所述条件rn的必要性是克莱姆定理的推广（克莱姆定理只适用于m=n的情形），其充分性则包含了克莱姆定理的逆定理。推论 当mn时，Amnx=0有非零解。证明 因为r(A)min(m,n)=mn,由上定理知其有非零解。定理6 n元非齐次线性方程组Amnx=b（3）有解的充要条件为R(A)=

30、R(B)，其中B=(A b)。证明 设R(A)r，不妨设A的左上角一个r阶子式 0，用行变换将B 化为标准形，若R(A)R(B)1c1r+1.1crr+1行变换B0.00 0.00.c1n 0. .crn 0.0 1=T1 0 .0 0T1对应的与（3）同解方程组中，第r+1个方程为0x1+0x2+.+0xn=1是矛盾方程，所以（3）无解，其逆亦真。若R(A)=R(B)1c1r+1.1crr+1行变换B0.00 0.00.c1n.crn.0 .0 d1 dr 0=T2 0 01)若R(A)=R(B)r=n 此时1行变换B0.0 d1x1=d1 dnx2=d2 （3）有唯一解T3 0.x=d .

31、nn 0m(n+1) .100.2)若R(A)=R(B)rn ，T2对应的与(3)同解的方程组为x1+c1,r+1xr+1+.+c1nxn=d1,x2+c2,r+1xr+1+.+c2nxn=d2, .x+cx+.+cx=d.r,r+1r+1rnnnrx1=d1c1,r+1xr+1.c1nxn,x2=d2c2,r+1xr+1.c2nxn,.(3)的通解为xr=drcr,r+1xr+1.crnxn, xr+1,.xn可以作为自由未知量 xr+1=c1,.xn=cnr.所以R(A)=R(B)rn时，(3)有无穷多解，反之亦然 。由1)、2)，显然有，若R(A)=R(B)，则(3)有解，其逆亦真。推论

32、 1) R(A)=R(B)r=n Amnx=b有唯一解。 2) R(A)=R(B)rnAmnx=b有无穷多解。注 从上述证明可看出或R(A)=R(B)，或R(B)=R(A)+1。所以有结论：矩阵添加一列，则其秩或不变，或增加1。二、求解方程组的方法齐次线性方程组：系数矩阵化为行最简形矩阵，便可写出其通解。非齐次线性方程组：1)对增广矩阵B作初等行变换，判断是否有解。2)若有解，化成行最简形矩阵，选定n-r个自由未知量移到等号右边，写出通解。例7 解齐次线性方程组x1+x3x43x5=0,x1+2x2x3x5=0,4x1+6x22x34x4+3x5=0,2x2x+4x7x+4x=0.23451解

33、 对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵1101130121014624300224740651102。得与原方程同解的方程组0013000001x1+x36x5=0,x1=x3+6x5,55。 x2x3+x5=0,由此即得x2=x3x5,（x3,x5可任意取值）22x43x5=0x4=3x5,x1x2令x3=c1,x4=c2，的通解的参数形式x3x4x5=c1+6c2,5=c1c2,2=c1, =3c2,=c2.c+6c261x1155x2c12c212其中c1,c2为任意常数，或写成向量形式x3=+cc112。 0c10x43c32x105c2x1+x3x43x5=2x+2xxx=11

34、235例8 解线性方程组462437xxxxx+=234512x12x2+4x37x4+4x5=1解 对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形。11(Ab)=4210r33r2r4+r20013 212r12101 1rr34r106243 7r42r102474 100113 21r32212 3r440310039 63r3000412 800113 22212 366015 1522510 50113 22212 3=T0013 20000 001这表明r(A)=r(Ab)=3，未知量个数5。故r(A)=r(Ab)未知量个数。所以此方程组有无穷多解，且有5-3=2个自由未知量。由于矩阵T的第一

35、，第二，第三行；第一，第二，第四列组成的3阶子式不为零，我们对它再施行初等行变换化为行最简形。1r1+r30Tr2r30010106 41r2205 52200013 200000 0006 45511022。0013 20000 001x1+x36x5=455该矩阵所对应的线性方程组为x2x3+x5=22x43x5=2x1=4x3+6x555可将x3,x5作为自由未知量，移项得x2=+x3x5 22x4=2+3x5x1=4c1+6c2x2=5+c15c222所以通解可表示为x3=c1其中c1,c2为任意常数。 x=2+3c24x5=c2特别要指出的是若当r(A)=r(Ab)=rn时，A中不为

36、零的r阶子式未必唯一，如上例中T的第一，第二，第三行；第一，第三，第四列的3阶子式也不为零。也可以对它再进行化简，同样可得到方程组的通解，此时无非自由未知量是x2,x5而已。虽然这两个通解表达形式不一样，但两者所表示的解集合是相同的，所以都可作为原线性方程组的通解。x+2y+z=3例9 解线性方程组2x+5yz=43x2yz=5解 首先化增广矩阵为行最简形12(Ab)=25321210130011 311 4001 5 310 100100 321 313 1084 4 0 20 11 3r(A)=r(Ab)3 故有唯一解x=2x=2还原为同解方程组y=1，唯一解为y=1。z=3z=3x1+x

37、22x3+3x4=4例10 解线性方程组2x1+3x2+3x3x4=3.5x+7x+4x+x=52341解 化增广矩阵为阶梯形1123 41123 4 2331301775(Ab)=5741 50000 5由上行阶梯形矩阵观察，r(A)r(Ab)，故方程组无解。x1+x3=2例11 设有线性方程组x1+2x2x3=02x+xax=b312（1）确定当a，b分别为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解； （2）在有解时求出解。解 （1）11(Ab)=210010101 2100221 0011a b 121 1100a2 b4 12 22a2 b4 0121 110a1 b3。由此可知，当a=

38、1且b3时，r(A)=2,r(Ab)=3，故方程组无解；当a1时，r(A)=r(Ab)3，方程组有唯一解；当a=1且b=3时，r(A)=r(Ab)=23，方程组有无穷多解。（2）当a1时，有2a+b1100 +a1101 22ab, (Ab)011 1010 +a13b3b001 a+1001 a+12a+b1=x1a+12ab唯一解为x2=。 a+13bx=3a+1101 2当a=1且b=3时(Ab)=011 1,000 0x1=2x3得最简同解方程组。1xx=+32x1=2c故方程组的解为x2=1+c （c为任意常数）。x=c3三、 矩阵方程定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)。 证 设A为mn矩阵，B为ml矩阵，则X为nl矩阵。把X和B按列分 块，记为X=(x1,x2,.,xl)，B=(b1,b2,.,bl)