小波变换的自适应均衡算法-(完整版)实用资料.doc

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1、小波变换的自适应均衡算法-（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）收稿日期:1999 03 06作者简介:王军锋(1969 ,男,硕士.小波变换的自适应均衡算法王军锋,宋国乡(西安电子科技大学理学院 陕西西安 710071摘要:在分析传统的线性均衡算法的基础上,从用小波级数表示均衡器和变换域的角度出发,给出了一种基于正交小波变换的自适应线性均衡算法.理论分析和计算机模拟表明,该算法具有较快的收敛速度,适用于无解析式的小波,其结构简单,易于实现.关键词:自适应均衡;小波变换;正交小波中图分类号:TN919 文献标识码:A 文章编号:1001 2400(200001 0

2、021 04Wavelet tran sform ed adap tive equ aliza tion algorit hmW ANG J un f e ng ,SONG G uo x i ang(Schoo l of Science,Xidian Un iv.,X i an 710071,ChinaAbs t r a c t : Ba s e d o n t he a na l y s i s o f t he t r a di t i o na l l i ne a r e qua l i z a t i o n a l g o r i t hm ,a n o r t ho no m a

3、 lwa ve l e tt r a ns f o r m e d a da pt i v ee qua l i z a t i o n a l g o r i t hm i spr e s e nt e d.The o r e t i c al a na l ys i s and s i m ul a t i o n de m ons t r a t e t ha t t hi s a l g o r i t hm c o nv e r g es f a s t e r t ha n t he l i ne a r e qua l i z at i o n a l g o r i t hm

4、.I t s s t r uc t ur e i s s i m pl e a nd i t s r ea l i z a t i o n i s e a s y ,s o t ha t i t c a n be wi de l y us e d.Ke y W o r ds: a da pt i v e e qua l i z a t i o n;wa v e l e t t r a ns f o r m ;o r t ho no m a l wa v e l e t自适应均衡是现代通信中广泛采用的消除码间干扰的一种方法.通常是把接收到的信号通过一个特性与信道特性相反的滤波器,称之为均衡器,不

5、同的均衡器对应有不同的算法,其中最简单的一种是用有限冲击响应(FI R滤波器实现并采用最小均方误差(LMS算法的线性均衡器(LE.LE 的优点是结构简单,算法复杂度低,易于实现,稳定性高;缺点主要是收敛速度较慢,因而其应用也受到一定的限制18.分析表明,影响均衡器收敛速度的主要因素是输入信号的最大、最小特征值之比,该值越小收敛就越快.为了提高收敛速度,人们把频域滤波的方法加以推广得到变换域的自适应滤波方法(TDAF,并在自适应均衡等领域得到了应用.小波理论的出现为TDAF 又增加了一种新的方法,小波的优点主要表现在它良好的时频特性上,下面从小波变换的角度来讨论自适应均衡算法.1 小波分析小波分

6、析是傅氏分析的新发展和重大突破,具有丰富的数学内容和广泛的应用价值,与该文有关的小波基本概念如下:设 (x 为允许小波,对其进行二进制伸缩和平移可得到一族小波函数 j,k (x |j ,k Z ,即有j ,k (x =2-j/2(2-j x -k , j ,k Z ,(1则称 j ,k (x 为二进制小波,其中j 称为尺度,k 称为平移.设f (x L 2(R ,则离散小波变换(DWT可定义为2000年2月第27卷 第1期西安电子科技大学学报(自然科学版JOURNAL OF XID IAN UNIVERSITYFeb.2000Vol.27 No.1W j,k=!f , j,k =2-j/2#R

7、f (x (2-jx -kd ,(2上述的变换称为对f (x 的分解,其相应的重构公式为f (x =j Z k ZW j ,kj ,k (x ,(3其中 j ,k (x 称为 j,k (x 的对偶.由于该文讨论的是规范正交小波基,因此有 j,k (x = j,k (x .在实际中,总是认为f (x 的分辨率是有限的,因此,不妨假定最大分辨率为1,这样在最大尺度J 下f (x 的重构公式为f (x =Jj =1k ZW j,kj ,k (x +V J ,kJ ,k (x ,(4其中V J ,k=!f (x , J ,k (x , J ,k (x =2-J /2(2-J x -k,而 (x 称为尺

8、度函数.Mallat 在多分辨分析的基础上,给出了计算W j ,k和V J ,k的快速方法%Mallat 算法,其主要优点是不需要知道 (x 和 (x 的解析式,且算法易于实现 .2 正交小波变换的线性均衡算法(WTLE2!1 基于正交小波表示的线性均衡器 根据图1可知,输出信号y (n为y (n=N-1m=0x (n -mc(m ,(5其中N 为均衡器的长度,由于均衡器c(n为FIR 滤波器,其冲击响应是有限个离散值,因此,c(n可由式(4来表示,即c(n =Jj =1k j-1k=0W j,kj,k (n+k J-1k=0V J ,kJ ,k (n ,(6其中J 为最大尺度,k j 为尺度

9、j 下的最大平移,将式(6代入式(5中得到y (n=N-1m=0x (n -mJj=1k j-1k=0W j ,kj ,k (m +k J-1k=0V J ,kJ ,k ( m=Jj=1k j-1k=0W j ,kN-1m=0x (n -m j,k (m+k J-1k=0V J ,kN-1m=0x (n -m J ,k (m=j ,kW j ,k r j ,k (n+kV J ,k s J ,k (n,(7其中r j ,k (n=N-1m=0x (n -m j ,k (m ,s J ,k (n= N-1m=0x (n -m J ,k (m ,(8这样就实现了用正交小波表示均衡器的输出y (n,

10、此时,均衡器c(n的特性由W j ,k 和V J ,k 来反映,它们相当于均衡器的权系数.由于式(8中r j ,k (n和s J ,k (n的计算有赖于 (x 和 (x 的解析表达式,而在实际中除Haar 小波外,其他正交小波的解析式不易得到.如Daubechies 小波是由滤波器组直接给出的,此时式(8就难以应用,但分析后可以看到,式(8的实质是对输入信号矢量做了小波变换,因此,可以从小波变换的角度给出更一般的算法.2!2 基于正交小波变换的线性均衡算法由Mallat 算法知,对于长度为N 的离散信号S 0=s 01,s 02,&,s 0,N-1T,总有如下分解:22西安电子科技大学学报(自

11、然科学版第27卷 上面这种把S 0分解为R 1,R 2,&,R J 和S J 的过程也称为有限正交小波分解,其中S j =s j 0,s j 1,&,s j,k j -1T,R j =r j 0,r j 1,&,r j,k j -1T,H j 和G j 分别是由尺度滤波器h k 和小波滤波器g k 构成的矩阵.令R =R 1,R 2,&,R J ,S J T,(9W =G 0,G 1H 0,G 2H 1H 0,&,G J-1H J -2&H 1H 0,H J-1H J-2&H 1H 0T ,(10则W 为一正交阵,且有R =W S 0 .(11这样就可用矩阵来表示信号的正交小波变换.在式(11

12、中取S 0=X (n=x (n ,x (n-1,&,x (n -N +1T,R =R (n=r 10(n,r 11(n ,&,r J ,k J-1(n,s J 0(n,s J 1(n ,&,s J ,k J-1(nT,则有R (n=W X (n .(12 令V =w 10(n,w 11(n,&,w J ,k J-1(n,v J 0(n,v J 1(n,&,v J ,k J -1(n T ,则得到基于正交小波变换的线性均衡器结构,如图2所示.相应地得到基于正交小波变换的自适应线性均衡算法如下:R (n =W X (n ,(13y (n=V T (nR (n ,(14e(n=d (n-y (n ,

13、(15V (n +1=V (n+2 e(nR *(n .(16 为了进一步提高收敛速度,可对R (n作能量归一化,即令 =!R -1(n,则式(16变为V (n +1=V (n+2!R -1(ne(nR *(n ,(17其中R (n=diag 210(n,211(n,&,2J ,k J -1(n,2J+1,0(n,&,2J+1,k J -1(n,而2j ,k (n 由下式迭代得到:2jk (n +1=#2jk (n+(1-#r jk (n 2, j =1,2,&,J ,(182J +1,k (n +1=#2J+1,k (n+(1-#s J ,k (n 2,(19其中0#1,一般#比较接近1.2

14、!3 WTLE 的性能分析2!3!1 收敛速度在均衡中采用小波变换的主要目的是提高收敛速度.由前面的分析可知,W TLE 的收敛速度取决于R (n的自相关阵的最大最小特征值之比ma x /mi n ,该值越小收敛就越快,下面对此再作一分析.设输入信号为实信号x (n ,其输入自相关阵为R xx (n,R (n的自相关阵设为R rr (n,则R xx (n和R rr (n均为实对称阵,即存在正交阵Q x 和Q r ,使得R xx =Q x %x Q -1x , R rr =Q r %r Q -1r ,(20其中%x 和%r 分别是R xx 和R rr 的特征值对角阵,即%x =diag x 1,

15、x 2,&,x N ,%r =r 1,r 2,&,rN ,且特征值均为正.由式(13可知R rr =Q r %r Q -1r =E R (nR T (n=EW X (n X T (nW T =W R xx W T ,(21又由式(20得R rr =Q r %r Q -1r =W Q x %x Q -1x W T,(2223第1期 王军锋等:小波变换的自适应均衡算法于是有%r=Q T r W Q x%x Q-1x W T Q r=A%x A T ,(23其中A=Q T r W Q x,而由式(23可得r k=Ni=1a2kix k , k=1,2,&,N ,(24其中a ki为矩阵A中(k,i个

16、元素,又各特征值均为正,故由式(24得0x mi nN i=1a2kir minr maxr ma xN i=1a2ki ,(25式(25意味着r m axr minx ma xx ma x.(26由此可见,经小波变换后矩阵R rr的最大、最小特征值之比小于R xx的最大、最小特征值之比,于是,均衡器的收敛速度得到了提高.2!3!2 尺度的选择由于小波变换对信号的频带划分是按倍频程进行的,当j增大时,只是将带宽很小的低频部分进一步细分,因而此时均衡的收敛速度不会有较大的提高.而且j增大必然会增加计算量,因此,一般选较小的J即可.以下实验也表明,一般选择J=2已经可以了.2!3!3 小波基的选择

17、由于不同的小波基会表现出不同的时频特性,因而对算法也有不同的影响.如何选择合适的小波基是一个较为复杂的问题,适用于均衡算法的小波基应有以下基本特点:(1规范正交性;(2具有一定的正则性;(3具有紧支集,从而可实现快速计算;(4具有较好的线性相位,以减小信号失真.实际中的小波基很难完全满足以上条件,因而必须从具体问题出发来选择小波基.另外,由于实际输入信号的长度是有限的,因此,在用Mallat算法分解时,还必须考虑对边界点的处理,这可以用循环展开法来解决.3 仿真计算及结果分析实验1 采用的信道形式为H(z=0!3487+0!8z-1+0!3487z-2,输入为2TPK信号,R SN=20dB.

18、采用Haar小波,尺度分别为J=2和J=4.图3给出了LE和W TLE的学习曲线图,从图3中可以看出,W TLE的收敛速度快于LE,而J=2时的WTLE的收敛速度稍慢于J=4,两者相差不大. 图3 LE和WTLE的学习曲线 图4 不同基下WTLE的学习曲线实验2 该实验研究在相同的尺度J下,采用不同的小波基时均衡速度的变化,仍采用实验1的信道,采用小波为Haar,D4和D8小波,如图4所示.结果表明,当小波的正则性增加时,收敛速度会有所提高,Haar 小波由于正则性差,因此,收敛速度要慢一些,而D4和D8时的速度差不多,D8要稍快一点.(下转第38页参考文献:1卢朝阳,吴成柯,陆心如!基于表面

19、描述的图像编码方法J!通信学报,1991,12(3:1722.2卢朝阳!模型优化及其在DT模型基编码中的应用J!通信学报,1997,18(6:16.3Sikora T,Makai B.Shape Adap tive DCT for Generic Coding of VideoJ.IEEE Trans on Circui ts and Sys tems for Video Technology,1995,5(1:5962.4Gilge M,Engelhard T,Mehlan R.Coding of Arbitrarily Shaped Image Segments Based on a Ge

20、neralized Orthogonal TransformJ.Si gnalProcessing:Image Communication,1989,1(10:153180.5颜尧平,卢朝阳,吴成柯!DT模型基运动估计和补偿J!西安电子科技大学学报,1997,24(3:357362.(编辑:高东娟(上接第24页4 结 论小波分析的显著特点是有良好的时频特性,该文从研究用小波表示均衡器出发,给出了基于正交小波变换的自适应均衡算法.该算法结构简单,可利用Mallat算法快速实现,且对于由滤波器组给出的无解析式的小波仍然适用.分析和实验表明,该算法能有效地改善传统LE算法的性能,因而具有一定的实用性

21、.但其小波基的选取受限制较多,可采用小波包等方法进行进一步的研究.参考文献:1Coifman.Fas t Wavelet Transform and Numerical Algori thmJ.Comm Pure and Appl Math,1991,44(1:141183.2Shensa M.The Discrete Wavelet Transform:Wedding the Trous and M allat Algori thmJ.IEEE T SP,1992,40(10:24642482.3Daubechies I.Orthonomal Bases of Compactly Suppo

22、rted Wavelets Variation on a ThemeJ.SIAM J Math Annual,1993,24(2:499519.4Zhang X P.From the Wavelet Series to Discrete Wavetransform%the Ini tializationJ.IEEE T SP,1996,44(1:129133.5Erdol N,Basbug F.Wavelet Transform Based Adap tive Filters:Analysis and New ResultsJ.IEEE T SP,1996,44(9:21632171.6宋国乡!数值泛函及小波分析初步M!郑州:河南科学技术出版社,1993.7刘 丰!一种基于Haar小波的均衡器结构J!西安电子科技大学学报,1997,24(4:539543.8李兵兵!小波理论及图像编码方法研究D!西安:西安电子科技大学,1995.(编辑:高东娟