向量组的线性相关性与矩阵的秩练习(完整版)实用资料.doc

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1、向量组的线性相关性与矩阵的秩练习（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩练习班级： 姓名： 学号 ： 1. 已知向量, 若, 求 .2. 试直接(即不利用线性相关的定义叙述个向量线性无关的定义.3. 判断向量 是否为向量组 的线性组合, 为什么?4. 将向量表示成向量组 的线性组合.5. 将向量表示成向量组 的线性组合.6. 证明向量组线性无关.7. 证明向量组线性相关.8. 已知向量组线性无关, 试确定数, 使得向量组也线性无关.9 设, 且向量组线性无关, 证明向量组也线性无关.(提示: 利用定义证明10设是一组n维向量, 已

2、知n维单位坐标向量组能由它们线性表示, 证明线性无关. 11设是m个互不相同的数, 又, 证明线性无关. (提示: 利用范德蒙行列式、第三节推论1及命题1可证 12设四维向量组A为: , , .(1 证明线性无关;(2 求向量组A中包含的一个最大无关组.13 作一个秩为4的方阵, 它的两个行向量是.14求下列矩阵的秩及行向量组的一个最大无关组:(1 (2 解：(3 15 定参数, 使矩阵的秩最小.16 设向量组A: 的秩为, 向量组B: 的秩为, 向量组C: ,的秩为, 证明 max .(提示: 第一个不等式的证明利用第四节推论2; 第二个不等式可由最大无关组的定义证明17. 设A, B都是型

3、矩阵, 试证: R(A+BR(A+R(B.(提示: 设A的列向量组为, B的列向量组为, 则A+B的列向量组为, 注意到A+B的列向量组可由,线性表示, 由第四节推论2可证第六章 矩阵特征值与特征向量练习 班级： 姓名： 学号 ： 一、 求矩阵与的特征值与特征向量，并回答以下问题：不同矩阵是否可能有相同特征值，若有相同特征值时，其相应特征向量是否也相同？不同的矩阵可能有相同的特征值，有相同的特征值对应的特征向量不一定相同。二、 设阶矩阵，试证：三、 设为阶方阵，且试证，四、 已知四阶矩阵，的特征值为，为阶单位矩阵， 求的特征值五、 为阶矩阵，其特征值为，n，为n阶单位矩阵，则。六、 已知矩阵，

4、则的特征值为( c ). (A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,1 以上四个备选答案中，有且仅有一个是正确的;利用特征值的性质选择正确答案.七、求矩阵和的特征值与特征向量，并回答以下问题： 与分别可否相似对角化？为什么？ 相似矩阵有相同特征值，其逆命题是否也成立？ 八、已知矩阵与矩阵相似，求，？九、设矩阵与相似，且, 求，的值； 求可逆矩阵，使十、用施密特方法，将矩阵的列向量正交规范化十一、设矩阵的对应于特征值的特征向量为，矩阵的对应于特征值的特征向量为，且 试证：向量与正交十二、设及，求证：分块矩阵（提示：求分块矩阵，使 ）补充练习： 填空：已知阶方

5、阵的特征值为，其对应特征向量分别为，则（为常数）的特征值为对应的特征向量为；（为正整数）的特征值为，对应的特征向量为；可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；为阶可逆矩阵，的特征值为，对应的特征向量为；的特征值为（的特征向量与的特征向量有何关系，参见本章第二次作业第五题） 已知为阶正交矩阵，证明：为可逆矩阵，且 也是正交矩阵. 若皆为正交矩阵，证明： 仍是正交矩阵 已知两个单位正交向量 ，试求列向量 ，使得以 为列向量的矩阵为正交矩阵 已知，利用的相似对角化，求（为正整数） 设满足，且试证：为正交矩阵第五章 矩阵的特征值和特征向量1教学目的和要求：(1) 理

6、解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2教学重点：(1) 会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 会将矩阵化为相似对角矩阵.3教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. 1 矩阵的特征值和特征向量定义1 设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量 （1）式也可写成， (2

7、)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3)即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程 其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式 = =显然，的特征值就是特征方程的解特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（）（）若为 的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根方程 的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二

8、步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）例1 求的特征值和特征向量.解 的特征多项式为=所以的特征值为 当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为注：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2 求矩阵 的特征值和特征向量

9、.解 的特征多项式为 = ，所以的特征值为=2（二重根），.对于=2，解齐次线性方程组由 ，得基础解系为： 因此，属于=2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组由 ， 得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为： 由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明 设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结

10、论显然成立.当1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此 如果存在一组实数使 (3)则上式两边乘以得 (4)另一方面, ,即 (5)(4)(5)有 由归纳假设, 线性无关,因此 而互不相同,所以于是(3)式变为.因,于是可见线性无关课后作业：习题五12 相似矩阵定义2 设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵， 使得 则称与相似，记作 ，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质： 反身性： ； 对称性：若 ，则 ； 传递性：若， ，则 相似矩阵还具有下列性质：定理2 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设， 则存在满秩矩阵

11、，使于是 推论 若阶矩阵与对角矩阵 相似，则即是的个特征值定理3 设是矩阵的属于特征值的特征向量,且,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量证明 因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有 于是 所以是矩阵的属于的特征向量下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化定理4 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）证明必要性 设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使 =设则由上式得 即 ，因此 所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故 线性无关. 充分性 如果有个线性无关的分别属于特征

12、值的特征向量，则有 设则是满秩的，于是 ，即 =注：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角

13、线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵解 的特征多项式为 所以的特征值为.对于 解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系 ，即为的一个特征向量. 显然是线性无关的，取 ，即有 .例4 设 ，考虑是否相似于对角矩阵解 所以的特征值为.对于 解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量. 由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵课后作业：习题五 1316 向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量

14、的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中定义3 设有维向量，令 =，则称为向量和的内积注：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，当和都是列向量时，内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立定义4 令 |=称|为维向量的模（或长度）向量的模具有如下性质：（1）当0时，|0；当=0时，|=0；（2）|=| |，（为实数）；（3）|；（4）|+|；特别地，当|=1时，称为单位向量.如果|0，由性质（2），向量是一个单位向量可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化 如果

15、、都为非零向量，由性质（3） 1，于是有下述定义：定义5 当| 0，|0时 称为维向量、的夹角特别地：当=0时，因此有定义 当=0时，称向量与正交（显然，若=0，则与任何向量都正交）向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6 已知个非零向量，若=0 ，则称为正交向量组定义7 若向量组为正交向量组，且|=1，则称为标准正交向量组例如，维单位向量组=，是正交向量组正交向量组有下述重要性质：定理5 正交向量组是线性无关的向量组定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组定理6设向量组线性无关，由此可作出含有个向量

16、的正交向量组，其中， ， ， .再取 则为标准正交向量组上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价例5 把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组解 容易验证，是线性无关的.将，正交化，令=，=，再把单位化 ， 则即为所求的标准正交向量组定理7 若是维正交向量组，则必有维非零向量，使，成为正交向量组推论 含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组例6 已知，求一组非零向量，使，成为正交向量组.解 应满足方程=

17、0，即 .它的基础解系为 把基础解系正交化，即为所求亦即取 其中于是得 定义8 如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或由等式 可知，正交矩阵的元素满足关系式 （其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然于是有定理8 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组课后作业：习题五 14 实对称矩阵

18、的相似对角化在中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题为此首先给出下面几个定理定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数从而它的特征向量都可取为实向量定理10实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的证明 设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即 是分别属于的特征向量，则 ，根据内积的性质有 ，又 所以 ，因 ，故 ，即与 正交.定理11设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量定理12 设为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵 例7 设 求一个正

19、交矩阵，使为对角矩阵.解 ，所以的特征值，. 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 ，因此属于的标准特征向量为 . 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量 ， .于是得正交矩阵 易验证 . 课后作业：习题五 17矩阵特征值和特征向量的几何意义（-by 小马哥整理）从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：(列向量 特征值为：1=1.81，2=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下

20、面笑脸图案： 图1.1 的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：图1.1可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=，也即，T U AU =，那么：TA U U =假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：TU U C 我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步： 第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换图1.2第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵

21、1.810.69，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放： 图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了 图1.4所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转-沿坐标轴缩放-转回来，的三步操作。多提一句，这里给的是个(半 正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转-沿坐标轴缩放-旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：TT U V=这个就是SVD 分解，就不详细说了。另外，这个例子是二维的，高维类似，但是形象理解需要脑补。西安理工大学学报JOURNAL OF XIAN UNIVERSITY OF TECHNOLOG

22、Y1999年第15卷第3期Vol.15No.31999三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现郭俊杰田世杰封定廖勇摘要： 提出一种通用的关于求解一般三阶实对称矩阵特征值与特征向量的快速直接计算方法。首先使用高精度缩根法求出所给矩阵的特征方程，得到了3个特征根（包括重根）。其次运用选主元与最小二乘法相结合的思想，获得了实际运用中较为理想的每个特征根所对应的全部特征向量。关键词： 特征值； 特征向量； 主元； 最小二乘法中图分类号：TB931O241.6文献标识码： AThe Computer Method of Eigenvalues and Eigenvectorsof 33 Real Sy

23、mmetric MatricesGUO Jun-jie， TIAN Shi-jie， FENG Ding, LIAO Yong (Xian University of Technology, Xian 710048, China)Abstract： This paper suggests a common computation method, i.e. the solution eignvalues and eigenvectors of 33 real symmetric matrices. First, the characteristic equation of the matrix

24、are obtained by using the method of highly accurate reduced root so as to achieve three eigenvalues (including heavy root). Second, all the eigenvectors of each eigenvalue which are more ideal for the purpose of accurate scientific computation are obtained by using the thought of combining of the pi

25、vote with the method of minimum squares.Key words: eigenvalue; eigenvector; pivot; method of minimum squares矩阵的特征值与特征向量是十分重要的概念。在理论上和实际中，例如在系统工程、物理、力学、机械工程、电子工程、经济管理、三坐标几何量测量等方面有着广泛的应用。但在计算机具体实现时很难求出所有的特征值和特征向量。即使能够求出，其方法具有程序复杂、运算量大、矩阵序列收敛慢、精度比较低等缺点。本文对三阶实对称矩阵特征方程采用高精度一元三次方程求根法，避免不必要的模型误差和迭加误差；运用选主元

26、解线性方程组和最小二乘法相结合的思想来求矩阵的特征向量，解决因特征值的微小误差而引起的特征向量在理论上不存在的问题，减少舍入误差而引起的误差传播，从而达到实际中所需要的理想结果。1特征方程求根在本文中记： 为三阶实对称矩阵。矩阵A的特征方程为：3+b12+c1+d1=0(1)其中，b1=-a11-a22-a33；c1=a11a22+a11a33+a22a33-a212-a213-a223；d1=-det(A)。如果b1、c1、d1三数中有一个是较大的数，由于特征方程（1）求根需要多次乘、除、开方运算以及三角函数运算本身的误差，势必会造成很大的舍入误差和累加误差，从而大大地影响了特征根的精度。因

27、此，我们首先采用了缩根法，即：令b=b1/M, c=c1/M2, d=d1/M3, 使特征方程变成三次方程：x3+bx2+cx+d=0(2)且方程（2）的系数的绝对值不超过1。方程（2）的求根步骤如下。1) 取2) 若D=0， 则方程（2）有重根：3) 若D0，则方程（2）有三个不等根：其中，; q0时=-, q0时=。然后通过放大根法可得特征方程（1）的特征根：1=Mx12=Mx23=Mx32求对应特征值的特征向量首先取矩阵：为了后边便于使用选主元的思想，令取：ij=bi1bj1+bi2bj2+bi3bj3 (i=1,2,3; j=1，2，3)1) 若为特征单根。在用高斯消元法解线性方程组时

28、，由于小主元的出现，用它作除数会带入大的舍入误差，再经传播，误差会变得更大，从而严重失真。在求解特征向量时也会出现类似情况。为此， 我们首先采用了选最大模的思想，具体做法如下。 首先求：hh=max11，22, 33 （3）然后， 将第1列与第h列对换（当h1时），为方便起见，对换后的矩阵仍记为B。其次， 对矩阵B第1、k两列之间的线性相关性，可用如下所谓的“相关度”来判别：S(k)=(b11b2k-b21b1k)2+(b11b3k-b31b1k)2+(b21b3k-b31b2k)2(k=2，3) 最后， 考虑到特征值可能为无理数或者无穷循环小数，以及特征值在计算过程中出现的微小误差， 使得对

29、应特征向量从理论上讲是不存在的。为此， 我们采用最小二乘法，其算法如下。a. 若S(2)S(3)，即B的第1、2两列“线性相关性度”较差，可选Z=1，以下需求可能无解的方程组：采用最小二乘法求解，方法如下：非零解向量为=(x,y,1)。 b. S(3)S(2)，即B的第1、3两列“线性相关性度”较差，可选y=1，以下需求可能无解的方程组：采用最小二乘法求解，方法如下：非零解向量为=(x,1,z)。 最后将向量的第1、 h两元素对换，从而得到特征值的特征向量。2）若为特征二重根。首先，采用选最大模的思想，即通过公式（3）算出hh。然后， 再将矩阵B的第1、h 两行对换，为方便起见，对换后的矩阵仍

30、记为B。其次，对矩阵B第一行取最大元，即计算：b2tt=maxb211, b212, b213将其第一行向量中第1、 t两元素对换，对换后仍记为(b11b12b13)， 并取：最后分别将向量1、 2第1、t两元素对换，可得B对应二重根的两线性无关的特征向量。3) 若为特征三重根，则B0，从而3个线性无关的特征向量为3个三维基向量。3程序模拟实例及误差本文中所介绍的算法在BORLAND C环境下，用C语言进行编程在286与386兼容机上调试得到通过，并获得了理想的结果。 程序流程框图如图1所示。图1程序流程框图程序模拟实例如下： 1） 矩阵A的特征根的精确值为，2=10，。对应特征值1的特征向量

31、真值为1=(1, -2, -1)；对应特征值2的特征向量真值为2=(1，0，1)； 对应特征值3的特征向量真值为。2） 对矩阵A，用该算法进行计算机模拟计算，所求特征根结果为：98.9897948556635619.999999999999966对应上述三特征值对应的特征向量分别为：1.0000000000 0000000000.4494897427 8317804800.9999999999 9999988901.0000000000 0000000000.0000000000 0000000001.0000000000 000000000-0.2247448713 9159032801.0

32、000000000 0000000000.2247448713 915878030 3） 误差。 通过上述两组数据可以看出，每一特征值的误差不超过10-13;而每一特征向量的分量误差最大不超过10-14。 鉴于篇幅，我们对特征重根问题及其它计算实例不再赘述。作者简介： 郭俊杰(1950-)，男，西安理工大学教授，博士生导师。作者单位：西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西 西安710048参考文献1 Pullman N J. Matrix Theory and Its plicationM. New York and Basel:MARCHEL DEKKER，1976.2 A van der

33、 sluis. Gerschgorin Domanins for Paritioned MatricesJ. Linear Algebra and appl,1979，26:265280.3 Barnes E R. Circular Discs Containing Eigenvalues of Narmal MatricesJ. Linear Algebra Appl，1989(114,115):501521.4 Gourlay a r，Watson G A. Computational Methods for Matrix EigenproblemsM. John Wiley & Sons

34、，1973.5 武汉大学，山东大学.计算方法M. 北京：人民教育出版社，1979.99100.6 Wilkinson J H. The Algebraic Eigenvalue Problem Clarendon Press，Oxford，1965.570572.收稿日期： 1998-07-13矩阵特征值和特征向量解法的研究周雪娇（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率.关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究

35、对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之特征值问题.1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，为的对应于特征值的特征向量.1.2 矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若重特征值，则个线性无关的特征向量，其中.（2）若线性无关的

36、向量都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则当不全为零时，仍是的对应于特征值的特征向量.（3）若的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵的特征值分别为，则 ，. （5）实对称矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若是实对称矩阵的重特征值，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量. （7）设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值.2 普通矩阵特征值与特征向量的求法2.1 传统方法确定矩阵的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步：（1） 求出矩阵特征多项式的全部特征根；（2） 把所求得的特征根逐个代入线性方程组，对于每一个

37、特征值，解方程组，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.例1 已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解 = = 所以，由知的特征根. 当时， 由，即= 0得， 因此，属于特征值的特征向量为 . 当时， 由,即 = 0 得，因此，属于特征值的特征向量为 .2.2 列行互逆变换法把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：（1）互换两列，同时互换两行；（2）第列乘以非零数,同时第行乘； （3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行.例2 已知矩阵求的特征值和特征向量. 解 所以，特征值，对应特征值的特征向量为，对应特征值的特征向量为.2.3 列初等变换法列初等变换法计

38、算特征值与特征向量的步骤是：（1）将经过一系列初等变化变成，其中为含的下三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵；（2）令主对角线元素之积为零，求出根即为特征值；（3）将求出的代入中为，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，中后的个列向量即为 对应的特征向量. 例3 已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解 = = 由知的特征根.当时， ,特征向量为 .当时， = ,特征向量为 .3 矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用例4 设是数域上的维线性空间，线性变换在的基下的矩阵为（1） 求线性变换在的基下的矩阵；（2） 求线性变换的特征值与特征向量. 解（1）因为=所以由基到基的过渡阵为而在下的矩阵为所以在下的阵为 = （2）计算可得= = =所以有3个相同的特征值，代入特征方程，有可得，故的属于特征值的线性无关的特征向量为.4 正互反阵特征值与特征向量的求法4.1 正互反阵的定义 矩阵（，）称为正互反阵，其中元素与须互为倒数，即.4.2 和法： ； ； ； .这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量.因为当为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若得不一致性不严重，则取的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的. 例5 运用和法求矩阵的