矩阵的简单应用(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的简单应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）课时14 矩阵的简单应用教学目标1初步了解高阶矩阵。2了解矩阵的简单应用。教学过程例1 已知盒子中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的；盒子中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。假定，两个盒子很难分辨，而且可以任去一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？品牌型号例2 某运动服销售店经销A,B,C,D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S(小号)、M(中号)、L(大号)、XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情况如表所示(单位：件)：ABCDS3201M

2、5343L2455XL1011假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，请问：M号的运动服在这天获得的总利润是多少？ABC例3 如图所示的是A、B、C三个城市之间的交通情况，小月想从其中某个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？如果她想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市，她又可以有几种选择？例4 已知一级路矩阵表示一个网络图，它们的结点分别是A，B，C，试画出一个网络图。例5 在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，它的数学原理是：发送方将要发送的信息数字化后用一个矩阵表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0

3、记)，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵，得到，则即为传送出去的密码，接受方收到密码后，只需做乘的逆矩阵，即可以得到发送出的明码。不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让。先已知发送方传出的密码为7，13，39，67，双方约定的可逆矩阵为发送方加密接受方解密明 码 明 码 密 码 ，试破解发送的密码。例6 自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群随时间段变化的数量分别为，有关系式，其中，试分析20个时段

4、手这两个种群的数量变化趋势。方法一：1数据准备 准备好两期的coverage或shape文件。（注意：拓扑关系要建好，不然无法计算），采用Arcmap打开上述两期文件。2叠加操作选择Arcmap里面的“ArcToolbox”按钮下面的“Analysis Tools”工具下面的叠加分析模块（Overlay）下面的交叉分析功能（Intersect）。选择已经打开的两期数据进行叠加分析。叠加的结果存在一个可以找到的地方。同时，把叠加后的结果添加在Arcmap里。3输出叠加文件的属性数据 A、右键打开intersect产生的矢量文件的数据属性表（open attribute table）。B、点击“o

5、ptions”按钮，选择“add field”，然后给出一个新name“newarea”，数据类型为doubleC、右键点击刚刚产生的“newarea”，并选择“calculate values”D、然后点击“field calculator”对话框里面的“Advanced”后选择“help”将 Dim Output as doubleDim pArea as IareaSet pArea = shapeOutput = pArea.area拷入到“field calculator”对话框下面的空白处E、在对话框“field calculator”最下面的空白处填上“output”F、在属性表

6、点击“options”按钮，export（导出），属性以.dbf格式结果存储。4Excel进行转移矩阵制作A、刚才存储的.dbf文件可以使用excel打开，打开的结果重新保存为.xls（excel）文件。（dbf文件不能保存）B、重新打开刚存储的excel文件。C、选中所有数据，选择数据数据透视表和数据透视图。将两期数据的id值分别拖入行列字段，然后以newarea字段作为数据项拖入计算区域。得到的便是转移矩阵。如果发现矩阵的形式不美观，可以对单位进行修改。方法二：作某一地物与其他不同年份地类例如：1、做水体和其它年份分类地物的交集A.分别打开刚刚产生的水域多边形和该地区其他年份的分类矢量文件

7、B.选择gis里面的“AacToolbox”按钮下面的“Analysis Tools”工具下面的叠加分析模块（Overlay）下面的交叉分析功能（Intersect）C.分别输入上面抽出的水域多边形和该地区其他年份区的分类后的多边形进行intersect分析D.右键打开intersect产生的矢量文件的数据属性表（open attribute table）E.点击“options”按钮，选择“add field”，然后给出一个新name“newarea”，数据类型为doubleF.右键点击刚刚产生的“newarea”，并选择“calculate values”G.然后点击“field calc

8、ulator”对话框里面的“Advanced”后选择“help”将Dim Output as doubleDim pArea as IareaSet pArea = shapeOutput = pArea.area拷入到“field calculator”对话框下面的空白处H.在对话框“field calculator”最下面填上“output”2、然后分别计算水体在该地区其他年份年转入和转出情况A.点击“potions”下面的“select by attribute”按钮，并选择“GRID_COD_1”B.令GRID_COD_11点击apply，此时会统计出该地区其他年份年仍然为水域的多边形

9、C.右键点击“newarea”选择统计功能（“statistics”），就会得到从然为水域的面积D.分别计算出GRID_COD_12（林地）、3（草地）、4（城镇点）、5（耕地）、6（滩涂地）的面积就得到从由水域转入的面积。以此类推网上有人还采用的方法：1、Erdas：erdas-main-interpreter-gis analysis-matrix输入两个年份的分类图，然后进行重编码即可。2、Arcview：可以作个运算，其中一期的图*10或者100或者1000（土地利用类型取1位数时候10，两位100),然后再加上另一期的土地利用图得出一个图的属性，肯定12，15，或者1221，或者15

10、31之类的数据，应该就可以实现了。3、Matlab：听说，还没有亲眼见过，据说可以成功4、ArcGIS：在一期数据的基础上，绘制出其变化的部分（很复杂，工作了量很大）。广义逆在多元分析中的应用刘雯雯 信通院 学号：B098035摘 要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling1和张尧庭教授2先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。关键词：特征

11、值 广义相关系数 典型相关系数 正交阵 可逆矩阵1.引言方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 后来物理学家.迪拉克引进了术语行-列(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语列-行(ket-bra)表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的. 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地

12、进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要1。矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。近三十年矩阵研究中一些与统计学有密切关系的新发展，包括它们在统计中的应用，这些

13、研究结果一开始就渊源于统计问题。本文皆在向读者介绍矩阵论中并与统计学密切有关的如下几个方面：矩阵偏序、矩阵不等式、广义逆矩阵等，这些方面与统计学息息相关，特别是在多元分析和线性模型参数估计中都有着重要的应用。广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。广义逆矩阵是上世纪矩阵理论的一项极为重要的新发展7，广义逆的概念最早由Redholm于1908年提出的，他给出TFredholm积分算子的广义逆，Hurwitz于1912年利用有限维Fredholm积分算子的零空间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，Hilbert于1904年讨论广义Green函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了微分算子的广义逆，

14、特别是Myller、westfall、Reid等。1920年，Moore首次提出了矩阵的广义逆，他利用投影矩阵定义了唯一的广义逆。Bjerhammer在不知道Moore结果的情形下，重新提出了广义逆矩阵的定义，利用广义逆给出了线性方程组的解。Bott和Duffin在研究电网络理论时，引进了后来被称为Bott-Duffin广义逆。但这时期的研究工作是零散的。在Penrose1955年证明了Moore所定义的广义逆是满足四个矩阵方程的唯一的矩阵之后，广义逆矩阵得到迅速发展并在应用学科的诸多领域获得广泛的应用。近四十年来，广义逆矩阵理论在最优化、数理统计、算子理论、经济学和计算数学等众多数学分支和工

15、程科技领域发挥了重大作用。尤其在研究最小二乘问题、病态线性、非线性问题，回归，分布估计，多元分析等统计问题，规划问题，控制论，网络问题的过程中，广义逆是不可或缺的研究工具。 若A为非奇异矩阵,则线性方程组Ax=b的解为x=A(-1)b，其中A的A的逆矩阵A(-1)满足A(-1)A=AA(-1)=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,Ax=b可能无解或有很多解。若有解,则解为x=Xb+(I-XA),其中是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用Ag、A-或A(1)等符号表示,有时简称广义逆。当A非奇异时,A(-1)也满足AA(-1)A=A,

16、且x=A(-1)b+(I-A(-1)A)=A(-1)b。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。 1955年R.彭罗斯证明了对每个mn阶矩阵A,都存在惟一的nm阶矩阵X，满足：AXA=A；XAX=X；(AX)*AX；(XA)*XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非奇异时，A(-1)也满足,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组Axb的最小二乘解中,xA(-1)b是范数最小的一个解。广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的非凡方法。本文介绍了Moore

17、-Penrose广义逆在多元分析中的应用。多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系。对于不同类型的矩阵A和B，讨论了随机向量和y的典型相关系数与Ax和By的典型相关系数之间的关系，从而得到了x和y的广义相关系数与Ax和By的广义相关系数之间的关系。设x ,y分别为p1和q1随机向量，它们的方差阵和协方差阵分别为从而 （1.1）矩阵V+yy Vyx V+xx Vxy的特征值都是非负的且都不大于1,非零特征值设为。其中矩阵A+表示A的Moore -Penrose广义逆。由典型相关系数的定义知，称为典型相关系数，它在典型相关分析中起着重要作用。2.广义逆矩阵广义逆矩阵的研究可以追溯到1935

18、年的Moore的著名论个条件：定义了A的广义逆X。但是，在此后的20年中，这种广义逆几乎没有引起人们的多少注意，直到1955年，Penrose证明了满足上述条件的广义逆具有唯一性后，广义逆的研究才真正为人们所重视，基于这个原因人们把满足上述四个条件的的广义逆称为Moore-Penrose广义逆。本节主要介绍以下两种经常应用的广义逆：2.1广义逆A-定义2. 1对矩阵Amn,一切满足方程组的矩阵X，称为矩阵A的广义逆，记为A-。 下面的定理解决了A-的存在性和构造性问题。定理2.1设A为m n矩阵，rk (A) =r，若这里P和Q分别为m m，n n的可逆阵，则这里B，C和D为适当阶数的任意矩阵

19、。下面的两个定理圆满地解决了用广义逆矩阵表示相容线性方程组集的问题。定理2.2设Ax =b为一相容方程组，则(1)对任一广义逆A-，x=A-b必为解；(2)齐次方程组Ax=0的通解为x =(I -A -A )z，这里z为任意的向量，A-为任意固定的一个广义逆；(3)Ax =b的通解为其中A-为任意固定的一个广义逆，z为任意的向量。定理2. 3设Ax =b为相容线性方程组，且b0，那么，当A-取遍A的所有广义逆时，x =A- b构成了该方程组的全部解。下面一定理讨论分块矩阵的广义逆。定理2.4(分块矩阵的广义逆)(1)若A11-1存在，则 (2)若A22-1存在，则 (3)若则或其中，2.2广义

20、逆A+从上段的介绍知，一般来说广义逆A-有无穷多个。在这无穷多个A-中，有一个A-占有特殊的地位，它就是本节一开始提到的Moore-Penrose广义逆。定义2. 2设A为任一矩阵，若X满足下述四个条件：则称矩阵X为A的Moore-Penrose广义逆，记为A+。引理2.1(奇异值分解)设A为mn秩为r的矩阵，则存在两个正交阵Pmm和Qnn，使得其中而为A*A的非零特征值。定理2. 4(1)设A的分解式满足上式，则(2)对任何矩阵A，A+惟一。因为A+是一个特殊的A-，因此，它除了具有A-的全部性质外，还有以下性质：定理2. 53.随机向量的典型相关系数和广义相关系数对于不为零的常数a ,b，

21、显然，ax与by的典型相关系数和x与y的典型相关数是相同的。下面分别讨论对于不同类型的矩阵A, B ,Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数之间的关系（参见文献3）。定理3.1设A和B分别是p p和q q可逆方阵，并且AV+xxVxx=V+xxVxxA, BV+yyVyy=V+yyVyyB, 则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：因为 （3.1）故Ax与By的典型相关系数i0满足下列方程： （3.2）其中I是单位矩阵。下面验证 （3.3）事实上，注意到：，所以同理，这就验证了（3.3）式的成立。把（3.3）式代入（3.2）式得：（3.4）从而证明了i是x与y的典型

22、相关系数。由于广义相关系数是用典型相关系数定义的（参见文献4），故有推论3.1当满足（3.3）式时，随机向量x与y的广义相关系数和Ax与By的广义相关系数相同。定理3.2设A是pp可逆阵，B是qq可逆阵，x与y分别为p维和q维随机向量，且Vxx，Vyy也都可逆，则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相同。证明：由于所以Ax与By的典型相关系数i0满足 （3.5）由于A，B，Vxx，Vyy都可逆，上式易化为 （3.6）这样就证明了定理3.2。推论3.2 在定理2.2的条件下，Ax与By的广义相关系数与x和y的广义相关系数相同。定理3.3 设A是np列正交阵，B是mq列正交阵，则Ax与B

23、y的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：因为Ax与By的典型相关系数i满足 （3.7）注意到A，B都是列正交阵，据3.2知代入（3.7）式得 （3.8）又因为对矩阵D,F，我们易证DF与FD的非零特征值是相同的。从而由（3.8）式得这就证明了i是随机变量x与y的典型相关系数，定理证毕。推论3.3当A， B是列正交时，Ax与By的广义相关系数和x与y的广义相关系数相等。定理3.4设A是np列满秩阵，B是mq列满秩阵，Vxx，Vyy可逆时，则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：设A, B的谱分解分别为其中P1，P2，Q1，Q2都是列正交阵，1，2是主对元素大于零的对

24、角矩阵。令i0是Ax与By的典型相关系数，则i是下列方程的解。 （3.9）把A，B的谱分解代入上式，并注意到P1，P2，Q1，Q2的正交性，上式可化为： （3.10） 由于Vxy，Vyy，1，2 ，Q1，Q2都是可逆阵，故代入（3.10）式即得定理由此获证。推论3.4 设A是np列满秩阵，B是mq列满秩阵，Vxx，Vyy可逆，则Ax与By的广义相关系数和x与y的广义相关系数相同。4.小结 本文，利用Moore-Penrose广义逆矩阵讨论了它在多元分析中的一个应用-比较随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。对于不同类型的矩阵A和B，讨论了随机向量x和y的典型相关系数与Ax和By的典型

25、相关系数之间的关系，从而得到了x和y的广义相关系数与Ax和By的广义相关系数之间的关系。典型相关系数和广义相关系数在多元统计中发挥着重要的作用，例如，王松桂5讨论了广义相关系数与估计效率；朱显海，杨学锋6讨论了广义相关系数与估计的稳健性。正因为典型相关系数和广义相关系数在统计中有着重要的应用，本文讨论了它们之间的关系。参考文献：1.Hotelling H.,Relation Betnween Two Sets of Vriates,Biometrika，1936，36：321-377.2.张尧庭，广义相关系数及其应用，应用数学学报，1978，1（4）：312-3203.张建芝，刘栋富，随机向量的典型相关系数和广义相关系数，中国科技信息，2021，(6)：268-269.4.张尧庭，方开泰，多元统计分析引论，北京：科学出版社，1983.5.王松桂，广义相关系数与估计效率，科学通报，1985，19：1521-1524.6.朱显海，杨学锋，广义相关系数与估计的稳健性，东北师大学报，1995，3：1-5.7.王松桂,杨振海,广义逆矩阵及其应用,北京:北京工业大学出版社,2006.