毕业：行列式的若干应用(完整版)资料.doc

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1、毕业：行列式的若干应用（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）13. LEN(THIS IS MY BOOK)的结果是_。D. 以上说法均不正确【答案】B53. 假设同一名称的产品有不同的型号和产地,则计算每种产品平均单价的SQL语句是_。GROUP BY 职员号 HAVING COUNT(*)3 AND AVG(金额)200set talk offif upper(yesno)=ND. 可以激活事件的用户动作有按键、单击鼠标、移动鼠标等不同点：TCP/IP没有对网络接口层进行细分；OSI先有分层模型，后有协议规范；OSI对服务和协议做了明确的区别，而TCP/IP没有充分明

2、确区分服务和协议。A. 对查询结果进行排序 B. 分组统计查询结果行列式的若干应用The Number of Applications of The Determinants 专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校时间摘 要行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点

3、组Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equat

4、ions and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic

5、geometry.Keywords: Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group目录摘 要IAbstractII0 引言11 行列式在线性方程组中的一个应用12 行列式在初等代数中的几个应用22.1 用行列式分解因式22.2 用行列式证明不等式和恒等式33 行列式在解析几何中的几个应用43.1 用行列式表示公式43.2 行列式在平面几何中的一些应用63.3 行列式在三维空间中的应用8参考文献150 引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文1-5）、多元

6、一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文2)、初等代数（见文9）、解析几何（见文6-8）、维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式.

7、 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.结论2: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2 行列式在初等代数中的几个应用2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例 分解因式：. 解 . 例2.1.2 分解因式: . 解 原式 .2.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行

8、列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例2.2.1 已知, 求证.证明 令, 则.命题得证.例2.2.2 已知 求证.证明 令, 则命题得证.例2.2.3 已知, 求证.证明 令, 则 而, 则, 命题得证.3 行列式在解析几何中的几个应用3.1 用行列式表示公式 用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是 (3)的绝对值.证明 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为, 其中为任意常数. 由此可得： , 则面积为 = . 用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为. （4） 证明 由两点式

9、, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简, 得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.3.1.3 应用举例例 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.解 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即.则所求直线的方程为.同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为.3.2 行列式在平面几何中的一些应用 三线共点 平面内三条互不平行的直线相交于

10、一点的充要条件是. 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是. 应用举例例 平面上给出三条不重合的直线:, 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明 设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.3.3 行列式在三维空间中的应用 平面组 设由个平面方程构成的方程组为 （5） 若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端: 得 （6）叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的

11、两矩阵 及 的秩及有关系. 现在分别叙述如下： ()当, 则方程组中各系数全是0. ()当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当, 将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合. ()当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有以上等式表示个平面相合成一个平面. ()当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式上式表示平面平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. () 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设.我们必可求得适合下式：式中, 否则行列式将等于0. 所以.以上等式表示平面经

12、过直线就是个平面全经过一条直线. （）当 并假定方程组的系数至少有一组适合以下关系：（是中的一数）以上第一个等式表示组中第平面,与直线平行. 又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线, 所以个平面有平行的交线.例如由方程组解得.因为行列式.而其它三个行列式不全是零故, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的. （）当, 并假定.在这种情况下, 平面相交于一点. 又因,（）故平面经过前面三个平面的交点, 就是个平面有一个交点, 不在无穷远. （）当, 则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设.（是中的一数）以上不等式表示平面,不经过前三个平面的交点.3.3.2 点组

13、 设有个点, 它们的齐次坐标各是此点组的相关位置与坐标做成的矩阵的秩有关系. 分别叙述如下: （）当, 则个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置. （）当, 假定, 很容易推得(因为中所有的二阶行列式等于0)上式表示个点全重合. （）当, 并假设,因中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得适合以下方程：式中不等于0, 否则行列式将等于0. 故可求得假设点及的连线为把的等值代入上式, 易验证点在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因可以是, 所以个点全在一直线上. （）当, 并假定中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得适合下式：式中不等于0, 否则行列式从以上方程组求得

14、：设点及所确定的平面是把的等值代入上式, 甚易验明点在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为可以是, 所以个点共在一个平面上. （）当, 中至少有一个四阶行列式如.是中任一个数. 以上不等式表示点不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点在平面上, 则以下关系成立.也就是行列式这与假设矛盾.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2高杨芝. 行列式浅说M. 江苏: 江苏人民出版社, 1958. 3王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)M. 北

15、京: 高等教育出版社, 2003.4王品超. 高等代数新方法(下)M. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.5钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.6徐岳灿. 关于行列式的若干应用J. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.7 梁波. 例谈行列式的几个应用J. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.8彭丽清. 行列式的应用J. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.9汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用J. 廊坊师范学院学报, 2021(3), 9-10.论文题目：复变函数的孤立奇点及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：

16、2011年4月7日复变函数的孤立奇点及其应用摘要 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用。而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题，本文主要探讨了孤立奇点在留数计算中的应用。函数在不同的孤立奇点的不同类型处，其计算的方法也不同，所以首先我们要对其做出判断。再根据孤立奇点类型的不同对应不同的留数求法，分别从可去奇点，本质奇点处留数的求法，极点处留数的求法，无穷远点的留数的求法，其中在本文中因为考虑极点处的留数求法又根据：单极点、二阶极点、 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。另外，还采用了变量替换的方法，增加了一个计算留数的公式。 关键字：孤立奇点；可去奇点；极点；本

17、质奇点；留数；Isolated singularities and its applicationAbstract Isolated singular point in the application of complex function of teaching and learning plays an important role. The residue of the calculation is complex function often encounter problems, the paper focused on a singular point in isolation r

18、emain in the calculation of the number of applications. Different functions in the isolation of the different types of singular point, the calculation methods are also different, so first of all we have to make their judgement. According to isolate different types of singular point to different stay

19、 for a few, were to go from the singular point is, in essence, to stay a few critical points for the law, the number of Poles seeking to stay the law, infinite number of points to stay for the law, which in this paper In view of the Poles to stay for a few in accordance with law: a unipolar point, s

20、econd-order pole, the pole-order solution different, with examples given pole order of the judgement means. In addition, the variables used to replace the method, an increase of a formula for calculating the number of stay.Key words: isolated singular point; singular point to go; pole; nature of sin

21、gularity and reservations目 录摘 要Abstract孤立奇点的定义-3孤立奇点的判别方法-4孤立奇点的应用-6参考文献-10第一章 孤立奇点的定义 假设X是一个代数簇，PX是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集)U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。 f（z）在 0za R上解析，即a是f（z）的孤立奇点 留数定理及其应用，则称积分值（12i）zaRf（z）dz为f（z）关于a点的留数 ，记作Resf（z），a 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分zaRf（z）dz表示旋源的强度环流量，

22、所以留数是环流量除以2i的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）ak（za）k ，将它沿zaR逐项积分，立即可见Resf(z)，aa-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|60语句的功能是_。 所以，是函数的可去奇点，是的一阶极点.A. REPLACE 总分 WITH 高等数学+英语+计算机网络 又是极点当时的极限点，不是孤立奇点.D、通常只用作局域网通信介质例8求所有孤立奇点处的留数： 解：函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式16. 下面关于类的

23、描述，错误的是_。 这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以X=A .参考文献： 1高等教育出版社高等代数 2对外经济贸易大学出版社考研数学基础训练经典题集 3实变函数与泛函分析基础（第3版） 程其襄4复变函数论(第三版)全程导学及习题全解 王玉玉目录摘要 1引言 2一 凸函数概念及其定义3（一）凸函数的几种不同定义 3（二）几种不同定义之间的相互联系 5二 凸函数的有关结论6（一）凸函数的运算性质 6（二）凸函数的其它性质 7（三）凸函数的充要条件 9三 对数性凸函数的定义及其性质11（一）对数性凸函数的定义 12（二）对数性凸函数的基本

24、性质 13（三）与对数性凸函数的性质相关的定理 14（四）对数性凸函数性质的应用 15结束语 17参考文献 17浅谈凸函数及其应用 摘要：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于jensen著作中它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，列举了凸函数的几个著名的不等式引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文1

25、的启发,在文1的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。其中包括应用比较广泛的詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Hlder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.关键词：凸函数; 对数性凸函数；不等式;证明;应用Convex Function and its Application Abstract: convex function is a kind of important function ,its concept form most early in Jensen in the writing .It has

26、numerous application in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics .Convex function is now plays important theoretical basic and useful tools to mang subjects such as mathematical planning theory ,response theory ,numerical economics ,change ho theory and sub-optimal control and so on

27、.For theoretical breakthrough,reinforce their application in practice, produced generalized convex function. Enumerated convex function is introduced several famous inequality logarithmic ratio convex function concept, won the logarithmic ratio some basic properties of convex function, and discussed

28、 the logarithmic ratio of basic properties of convex function by some of the application, the inspiration of 1, 1 in the basis, in this paper, we obtain the logarithmic sex convex function is seven basic properties, and discusses the properties of logarithmic ratio convex function applications. This

29、 paper investigates the criterions of convex function and its applications based on the definition of convex function, summarizes many important properties of convex functions, and lists several well-known inequalities of convex function, including Jensen inequality, Hlders inequality, Minkowski ine

30、quality and some elementary inequalities, which are widely applied.Keywords: convex function; Logarithmically convex function sex； inequality; proof; application引言一、凸函数的概念及其定义（一）凸函数的几种不同定义定义1 如果函数在上连续，对上任意不同的两点，有 ,则称是上的下凸函数.定义 2 设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和任意实数有，则称是区间上的下凸函数.定义3 设函数定义在区间上，对于上任意三点，下列不等式中任何两个组

31、成的不等式成立，称是区间上的下凸函数.注：（1）若将定义1，2，3中的“”改为“”，则称为上的严格下凸函数.（2）若定义1，2，3中的“”改为“”，则称为区间上的上凸函数.定义4利用二阶导数判断曲线的凸向:例 设函数在区间内存在二阶导数,则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.证法一 (用Taylor公式)对设,把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式，有其中和在与之间.注意到,就有于是,若有上式中,即严格上凸若有 上式中,即严格下凸.证法二 (利用Lagrange中值定理.)若则有严格单调增.不妨设,并设分别在区间和上应用Lagrange中值定理,有有，又由，即，严格下凸.可类证

32、 情况.（二）几种不同定义之间的相互联系（1）在定义2中区间，为连续函数，当时，定义2即为定义1.（2）令 ，那么，令，代入定义3中任意一式，变形后即得定义2中的形式.二 凸函数的有关结论（一） 凸函数的运算性质性质1 若为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质2 若 均为区间上的下（上）凸函数，则也为区间上的下（上）凸函数.推论 若均为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质3 若为区间上的下（上）凸函数,为上的下（上）凸增函数，且，则为区间上的下（上）凸函数.性质4 若均为区间上的下（上）凸函数，则也是区间上的下（上）凸函数.（

33、二）凸函数的其他性质定理1设为区间上的严格下凸函数,若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点.证明 若有异于的另一极小值点，不妨设 ，由于是区间上严格下凸函数,故对于任意的,都有.于是对任意,只要充分接近1，总有但是,.这与是的极小值点矛盾，从而是在上唯一的极小值点.定理2 设为开区间上的凸函数，则对任何上满足Lipchitz条件，即存在,对任何，成立.证明 当取定后，因为是开区间，必能在中选取四点满足.任取, 现令 则有，,由于上述常数与中的点无关，因此在上满足Lipchitz条件：存在,使得,对.定理3 设是上的下凸函数,则在上处处存在左、右导数,且 证明，记. 任意且定义3得即在上单调递

34、增;再在右方任取一定点,由定义3得所以在上单调递增且有上界,故由单调原理极限存在,即存在;同理可证,极限存在,即存在,任意由定义3有 在上式中令，,则有（三）凸函数的充要条件定理4设为上的可微函数,则如下三者互相等价:为区间上的下凸函数; 为区间上的递增函数; 对区间上任意两点,有. 证明 在区间上任取两点及充分小的正数 根据的凸性及定义3有 .由的可微性,当时,有，所以为区间上的递增函数. 在以,为端点的区间上,应用拉格朗日中值定理,存在介于与之间的点,使得.由于在区间上单调递增,设有,因而就有和最后合并上两式即得 设,为上任意两点,，令，则.由有分别用和分别乘以上面两式并相加得到 从而,为区间上的凸函数. 推论 设为区间上的二阶可导函数，则为下凸函数.定理5 为区间上下凸函数的充要条件是函数为上的凸函数,.证明 必要性.设为上的下凸函数,那么对任意的及,总有 .充分性.设为上的下凸函数,那么对任意的,及，总有.由定义2知为上的下凸函数.三 对数性凸函数的定义及其性质（