相似矩阵及二次型(完整版)实用资料.doc

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1、相似矩阵及二次型（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第五章 相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根据施密特正交化方法令故正交化后得 2下列矩阵是不是正交阵:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵4求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)故的特征值为当时,解方程,由 得基

2、础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交(3) = , 当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5设方阵与相似，求.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即6设都是阶方阵，且，证明与相似证明 则可逆 则与相似7设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，求.解 根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8设

3、3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解 设由，知3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用可推出秩为1.则存在实的使得成立由解得得9试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)解(1)故得特征值为当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取: 当时,由解得单位特征向量可取: 得正交阵(2)，故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量单位化得当时,由解得单位化:得正交阵10(1)设，求；(2)设,求解(1)是实对称矩阵.故可找到正交相似变换矩阵使得从而因此 (2)同(1)求得正交

4、相似变换矩阵使得11用矩阵记号表示下列二次型:(1);(2)(3)解(1)(2)(3)12求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) ;(2) 解(1)二次型的矩阵为故的特征值为当时, 解方程，由得基础解系. 取当时，解方程，由得基础解系取当时，解方程，由得基础解系取，于是正交变换为且有(2)二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，于是正交变换为且有13证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则其中当时，即即故得证14判别下列二次型的正定性

5、：(1);(2)解(1), ，故为负定(2)，,故为正定15设为可逆矩阵,证明为正定二次型证明 设，若“”成立，则成立即对任意使成立则线性相关,的秩小于，则不可逆，与题意产生矛盾于是成立故为正定二次型16设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使证明正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正不妨设为其特征值，由定理8知，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，则可逆，所以令，可逆,则. 相似矩阵与二次型一、填空题1四阶阵A与B相似，A的特征植为，则行列式|B-1-E| 。2设A为n阶矩阵，|A|0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值l，则(A*)2+E必有特征值 。3若三阶矩阵A的特征值为1

6、=2, 2=3, 3=1，则B=A2+3A+4E的特征植为 。4若二次型是正定的，则t的取值范围是 。5设矩阵A=为正交阵，则a= ，b= 。二、选择题1设=2是非奇异阵A的一个特征值，则(A2)-1有特征值 。A； B； C； D。2阵A=的三个特征值之和为18，则x的值为 。A4； B2； C1； D8。3设矩阵A与B相似，则 。AE-A=E-B； B|A|=|B|；CA与B有相同的特征向量； DA与B均与一个对角矩阵相似。4二次型f (x1, x2, x3)=x12-2x1x2+2x22+x32是 。A正定的； B半正定的； C不定的； D半负定的。5与合同的矩阵是 。A； B C D三

7、、已知二次型，（1）写出二次型f的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵。四、设3阶方阵A的特征值为1=1、2=0、3=-1，它们对应的特征向量分别是，求A。五、已知矩阵A=，讨论a取何值时A可对角化？当A可对角化时求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。六、设矩阵A与B相似，其中，（1）求x和y的值；（2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵。供稿：薛冬梅第五章 二 次 型目的：用矩阵来研究二次型在非退化的线性替换下的变化情况。1 二次型的矩阵表示目的：将我们早已熟知的矩阵和二次型联系起来，更方便地来研究二次型。教学方法：讲练结合。课时：2教学内容：设是一个数域，

8、一个系数在数域中的的二次齐次多项式 （1）称为数域上的一个元二次型（简称二次型）。 例如 是一个三元二次型是一个四元二次型注意：（1）中（）的系数写成，而不是简单地写成,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型。和几何中一样，在处理许多其他问题时也常常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型，例如：是一个三元二次型，如果令则该三元二次型就变成了 其中只含平方项，不含交叉项。为此，我们引入线性替换的概念。定义1 设，是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （2）称为由到的一个线性替换（简称线性替换）。如果系数行列式则称线性替换（2）是非退化的。 易知，若把（2）代入（1），那么就会得到关

9、于的多项式仍然是二次齐次的。也就是说，线性替换把二次型变成二次型。 为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先令 ，1）。3） 。具体证明过程略。易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， 反之，矩阵为对角形就只含平方项。经非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。即：对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使 为对角矩阵。 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准型。下面我们举例来说明如何化二次型为标准型：例1 化二次型为标准型。解： 作非退化线性替

10、换则 再令 或则 最后令 或则 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于一个总的线性替换，例2 化二次型 为标准型。练习： 1（1）；作业：1（2）（4） 3 唯一性教学目的： 二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关。教学方法： 讲练结合课时： 2教学内容我们看到，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。而合同的矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性替换后，二次型的秩是不变的。标准型的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因此，在一个二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性

11、替换无关。二次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩。至于标准型中的系数，就不是唯一确定的。（举例说明）这说明，在一般的数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。设是复数域的二次型。经适当的非退化线性替换可以变成标准型。不妨设它的标准型是， （1）易知就是的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就可以变成 （2）（2）称为复二次型的规范型。显然，规范型完全被原二次型的秩所决定，因此有定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。即任一复数的对称

12、矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数等于该二次型的秩，其余元素均为零。故两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。再来看实数域的情况。设是实数域的二次型。经适当的非退化线性替换再适当排列文字的次序，可使变成标准型。不妨设它的标准型是 （3），就是的秩。因为在实数域内，正实数总可以开平方，所以再作一非退化的线性替换（3）就可以变成 （4）（4）被称为实二次型的规范型。显然规范型完全被r，p这两个数所决定。因此有定理4 任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。定义3 在实二次型的规范型中，正平方项的个数称为的正惯性指数；

13、负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差。注意：虽然实二次型的标准型不是唯一的，但是标准型系数为正的平方项的个数与规范型中正平方项的个数是一致的。故惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准型中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数就是该二次型的正惯性指数，-1的个数就是该二次型的负惯性指数，1与-1的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零。故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正惯性指数与负惯性指数分别相等。小结：如果复数域上的两个二次型的秩相等

14、，它们就能用非退化线性替换相互转化。但实二次型不是这样。两个秩相等的是实二次型的正惯性指数不一定相等，因而也不一定有相同的标准型，所以它们就不一定能用非退化的线性替换互相转化。两个实二次型能够用非退化的线性替换互相转化的充要条件是它们的秩相等，正惯性指数也相等；或者是它们的正惯性指数相等，负惯性指数也相等。练习： 1、（分复数域与实数域两种情况来把二次型的规范型写出来） 4 正定二次型教学目的： 本节将根据实二次型的标准型将实二次型分为三类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型。并着重介绍正定二次型及常用的判别条件。教学方法： 讲练结合课时： 2教学内容定义4 实二次

15、型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有 ；如果都有，。定理5 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。证明：设实二次型 ， （1）是正定的，经过非退化的实线性替换 （2）变成二次型 ， （3）我们的目的是要证明二次型也是正定的，即要证明：对于任意一组不全为零的实数都有。事实上，令，代入（2）的右端，就得对应的一组值，这就是说因为可逆，就有所以当是一组不全为零的实数时，也是一组不全为零的实数。显然 。即经过非退化的线性替换正定性保持不变。从而，设二次型经过非退化的线性替换变成标准型 （4） 则正定当且仅当（4）正定，而二次型（4）是正定的当且仅当，即正惯性指数为。定理5说明

16、，正定二次型的规范型为 （5）而二次型（5）的矩阵是单位矩阵，这说明正定二次型的实对称矩阵合同于单位矩阵定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型 正定。所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。因此，推论 正定矩阵的行列式大于零。为了能直接从二次型的矩阵来判断这个二次型是不是正定的，而不是通过把二次型化成规范型来判断，我们需要引入子式的定义：定义6 子式， 称为矩阵的阶顺序主子式。定理6 实二次型是正定的充要条件为矩阵的顺序主子式全大于零。例 判别二次型 是否正定。由定理6可以得出负定二次型的判别条件。下面的定理7是半正定二次型的判别条件定理7 对于实二次型，其中是时候对称的，下列条

17、件等价：（1） 是半正定的，（2） 它的正惯性指数与秩相等，（3） 有可逆矩阵，使合同于对角矩阵，且主对角线上的元素均大于等于零（4） 有实矩阵，使，（5）的所有主子式皆大于等于零。练习 7（1），8（1）；作业 7（2），8（2），11。 相似矩阵与二次型一、填空题1四阶阵A与B相似，A的特征植为，则行列式|B-1-E| 。2设A为n阶矩阵，|A|0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值l，则(A*)2+E必有特征值 。3若三阶矩阵A的特征值为1=2, 2=3, 3=1，则B=A2+3A+4E的特征植为 。4若二次型是正定的，则t的取值范围是 。5设矩阵A=为正交阵，则a= ，

18、b= 。二、选择题1设=2是非奇异阵A的一个特征值，则(A2)-1有特征值 。A； B； C； D。2阵A=的三个特征值之和为18，则x的值为 。A4； B2； C1； D8。3设矩阵A与B相似，则 。AE-A=E-B； B|A|=|B|；CA与B有相同的特征向量； DA与B均与一个对角矩阵相似。4二次型f (x1, x2, x3)=x12-2x1x2+2x22+x32是 。A正定的； B半正定的； C不定的； D半负定的。5与合同的矩阵是 。A； B C D三、已知二次型，（1）写出二次型f的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵。四、设3阶方阵A的特征值为1

19、=1、2=0、3=-1，它们对应的特征向量分别是，求A。五、已知矩阵A=，讨论a取何值时A可对角化？当A可对角化时求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。六、设矩阵A与B相似，其中，（1）求x和y的值；（2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵。供稿：薛冬梅73 线 性 变 换 和 矩 阵教学目的：1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n 阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵 为A的线性变换。2、 由向量a关于给定基的坐标，求出s(a)关于这个基的坐标。3、 已知线性变换关于某个基的矩阵 ，熟练地求出s关于另一个基的矩阵。教学内容：1、 线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间.令

20、是V的一个线性变换.取定一个基 ,.考虑V中任意一个向量 x=s(x)仍是V的一个向量.设 s(x)=自然要问,如何s(x)计算的坐标.令 (2) 这里,i,j=1,n,就是关于基的坐标.令 A= n阶矩阵 A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应.为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3) =.设 = 因为是线性变换,所以(4) =将(3)代入(4)得 A最后等式表明,关于的坐标所组成的列是 A比较等式(1),我们得到定理7.3.1 令V是数域F上一个n维向量空间

21、,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是 . 如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么 (5) 在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有 所以关于基的矩阵 是设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么例1 令V是数域F上一个n维向量空间。是V的一个位似。那么关于V的任意基的矩阵是例22、线性变换的性质：引理7.3.2 设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换，使得证 设 是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射： 我们证明，是V的一个线性变换。设 那么于

22、是设，那么 这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件： 如果是V的一个线性变换，且 那么对于任意， 从而 定理7.3.3 设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。对于V的每一线性变换，令关于基的矩阵A与它对应。这样就得到V的全体线性变换所成的集合到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射。并且如果，而那么（6） （7） 证 设线性变换关于基的矩阵是A。那么是到的一个映射。反过来，设是F上任意一个n 阶矩阵。令由引理7.3.2，存在唯一的使显然关于基 的矩阵就是A。这就证明了如上建立的映射是到的双射。设。我们有=由于是线性变换，所以因此=A=所以关于基的矩阵就是AB。（7

23、）式成立。至于（6）式成立，是显然的。这个定理说明，作为F上的向量空间与同构。由（7），我们说，这个同构映射保持乘法。由此进一 步得到 设数域F上n维向量空间V的一个线性变换关于V的一个取定的基的矩阵是A。那么可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是证 设可逆。令关于所取定的基的矩阵是B。由（7），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I 。所以AB=I。同理BA=I。所以B= 反过来，设，而A 可逆。由定理7.3.3，有使。于是注意到（5），可看出=l。同理。所以有逆，而=3.一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设V是数域F上一个n维向量空间。是的V一个线性变换。假设关于V的两个基和

24、的矩阵分别是A 和B。即=，=令T是由基到基的过渡矩阵：=于是=因此（8） 等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。设A，B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式（8）成立，那么就说B和A相似，并且记作ABn阶矩阵的相似关系具有下列性质：1自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为A=2对称性：如果AB，那么BA因为由得3传递性：如果AB且BC，那么AC反过来，设A和B是数域F上两个相似的n 阶矩阵。那么由定理7.3.3，存在F上n 维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵就是A。于是=因为B与A相似,所以存在一个可逆的矩阵T,使得令=那么由定理6.5.3，也是V的一个基。容易看出，关于这个基的矩阵就是B。因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换关于两个基的矩阵。 下令等式成立: