设矩阵与矩阵相似求x(完整版)实用资料.doc

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1、设矩阵与矩阵相似求x（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）习题6.31. 设矩阵与矩阵相似求x,y解 因为矩阵与矩阵相似, 所以tr=tr, , 从而有 解得2.设 , 则下述结论正确的是( )，且说明理由(A) A与B等价，且A与B相似(B) A与B等价，但A与B不相似(C) A与B不等价，且A与B不相似(D) A与B不等价，但A与B相似解 因为秩(A)=1=秩(B), 所以A与B等价. 又因为tr A=4, trB=1, 即有, 所以A与B不相似. 综上可知(B)是正确的, 故应选填B.3.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，求(1) 矩阵的特征值；(2)

2、解 (1) 取, 则, 所以 的特征值为. (2) =.4.设3阶方阵A的行列式A=-2，A*有一个特征值为6，则必有一个特征值为 ； A必有一个特征值为 ；必有一个特征值为 ；必有一个特征值为 ；必有一个特征值为 .以上各项均要求写出计算过程.解 (1) 由可得, A*有一个特征值为6, 所以必有一个特征值为. (2) , 所以必有一个特征值为. (3) , 所以必有一个特征值为. (4) 取, 则, 因有一个特征值为, 所以必有一个特征值为. (5) =, 所以必有一个特征值为.5.设.(1) 计算；(2) 求.解 (1) , 所以特征值为2,2,-7. 求解方程组, 得到属于2的线性无关

3、的特征向量为. 求解方程组, 得到属于-7的线性无关的特征向量为. 线性无关,故能对角化. 取则为可逆矩阵, 且. 求得, 从而 . (2) 取,则的特征值为, 所以=.6.设n阶方阵A的n个特征值为1，2，n，求A+E解 方阵A的n个特征值为1，2，n, 所以 A+E的特征值为2,3, , n, n+1.所以A+E=.7.已知3阶方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为 , , 求(1) ，其中k为任意正整数； (2)； (3)分析 本题与第5题类似, 故解法相同, 下面仅列出简要解答.解 (1) 由方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为 , , , 可知, 所以 =

4、(2) 取, 方阵A的特征值为0，1，2, 所以的特征值为. 因此. (3) .8*.设矩阵 ,A*有一个特征值，属于的特征向量为，求a,b,c和的值解 由题设知,两边左乘,利用可得:即有. 由此可得, 利用(1)和(3)可知, 从而得到, 由此可得 再根据, 可得, 即有. 综上可得.9.设A为n阶方阵，证明：零是A的一个特征值证 所以, 因此零是A的一个特征值. 零是A的一个特征值, 所以即有.10.设n(n1)阶上三角矩阵 若，则A不能与对角矩阵相似证 , 所以是A的n重根. 如果A能与对角矩阵相似, 则必有的基础解系含有个向量, 即-秩()=n, 也就是秩()=0, 从而得到此时, 即

5、, 这与条件矛盾! 所以A不能与对角矩阵相似11*.设n阶方阵A满足，证明: A的特征值仅为-2.证 设为A的任意一个特征值, 是A的属于的特征向量, 则有, 所以, 由可得, 即得, 所以A的特征值仅为-2. 第三节 相似矩阵内容分布图示 相似矩阵与相似变换的概念 例1 相似矩阵的性质 例2 相似矩阵的特征值与特征向量 矩阵与对角矩阵相似的条件 例3 例4 矩阵可对角化的条件 矩阵对角化的步骤 例5 例6 矩阵对角化的应用 约当形矩阵的概念 例7 例8 例9 内容小结 课堂练习 习题4-3 返回内容要点：一、相似矩阵的概念定义1 设都是阶矩阵, 若存在可逆矩阵,使,则称是的相似矩阵, 并称矩

6、阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;(2) 对称性: 若相似, 则与相似;(3) 传递性: 若与相似, 则与相似, 则与相似. 两个常用运算表达式： (1) ; (2) , 其中为任意实数.二、相似矩阵的性质定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2 n阶矩阵A

7、与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1 若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P, 使为对角阵, 则称方阵A可对角化.定理3 n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设是矩阵A的重特征值, 则A与相似。四、矩阵对角化的步骤若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现: (1) 求出的全部特征值;(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量；(3) 上

8、面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;(4) 令, 则五、矩阵对角化的应用1利用矩阵对角化计算矩阵多项式定理4 设是矩阵A的特征多项式,则.2利用矩阵对角化求解线性微分方程组3利用矩阵对角化求解线性方程组在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事教师职业.六、约当形矩阵的概念定义2 在n阶矩阵A中, 形如的矩阵称为约当块.若一个分块矩阵的所有子块都是约当块, 即中都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.注: 对角矩阵可视为每个约

9、当块都为一阶的约当形矩阵.定理5 对任意一个n阶矩阵A,都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似.例题选讲:例1 (讲义例1) 设有矩阵 试验证存在可逆矩阵, 使得A与B相似.例2 容易算出A与B的特征多项式均为但可以证明A与B不相似. 事实上, A是一个单位阵, 对任意的非异阵P有因此若B与A相似, B也必须是单位阵, 而现在B不是单位阵.所以A与B不相似例3 (讲义例2) 试对矩阵验证前述定理2的结论.例4 (讲义例3) 试对矩阵验证定理2的结论.注: 本例子说明了A的特征值不全互异时,A也可能化为对角矩阵.例5 (讲义例4) 判断矩阵能否化为对角阵.例6 (讲义例5

10、) 设 问为何值时, 矩阵能对角化?例7 下列矩阵是约当型矩阵(虚线是为了更清楚地表示分块情况而加上去的): (4); (5).例8 下列矩阵不是约当型矩阵:(1); (2);(3); (4).例9 设矩阵,可求出它的特征值为2,1,1. 又可用解线性方程组的办法求出A的线性无关的特征向量有2个:其中是关于特征值2的特征向量, 是关于特征值1的特征向量. 由于A的线性无关的特征向量个数为2, 小于A的阶数, 所以A不可能相似于一个对角阵. 但可以证明A与下列约当型矩阵J相似:课堂练习1.判断矩阵能否化为对角阵.2.判断下列两矩阵A,B是否相似.8-4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特

11、征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.引理1: 如果有数字矩阵使, (1)则和相似.引理2: 对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使, (2). (3)定理7: 设，是数域上两个矩阵. 与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论: 矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多

12、项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.第五章 矩阵的相似对角化一、填空题1. 若 。2. 设矩阵，则A的全部特征值为 。3. 若=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为_。4. 设,分别属于方阵A的不同特征值1,2的特征向量，则与必线性_。5. 设A为实对称矩阵，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值1与2的特征向量，则a=_。6. 设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_。7. 设A 为4阶方阵，A 的4个特征值为-2

13、，-1，1，2。则 。8.若阶矩阵A有一特征值为2，则 。9. 设矩阵A=与B=相似，则y=_。10. 设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有_。二、选择题1. 已知（ ）A1或2 B-1或-2 C1或-2 D-1或2若（ ）A它们的特征矩阵相似 B它们具有相同的特征向量C它们具有相同的特征矩阵 D存在可逆矩阵2. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是（ ）AAx=2xBA-1x=xCA-1x=2x DA2x=4x3. 设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（）A0B1C2D3三、计算题1. 已知矩阵（

14、1）求；（2）。2. 设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A。3. 设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵。4. 求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由。学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名： 学 号：专 业： 数学与应用数学 指导老师：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfi

15、llment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘 要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤

16、为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application

17、 of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the di

18、agonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then giv

19、e some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutorymatrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomialII目 录摘要I AbstractII 绪言1 课题背景1 目的和意义 1 国内外概况 1 预备知识2 相关概念2 矩阵的对角化4 特殊矩阵的对角化 14 矩阵对角化的应用 22 总结 24 致谢 25 参考文献 26

20、独创声明 28III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的高等代数一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些

21、性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1)

22、研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1 常以Pmn

23、表示数域P上mn矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2 n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵TPnn，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：反身性：A=E-1AE； 对称性：若A相似于B，则B相似于A； 传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3 n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵TPnn，使得B=TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：反身性：A=ETAE；对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；传递性：由A1=T1AT1和A2=T

24、2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).b10 0b2 定义4 式为 00 的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数bm000T（i=1,2,m).定义5 方阵APnn，若A=T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化.定义6 方阵APnn，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：互换矩阵的第i行(列)于j行(列)； 用非零数cP乘以矩阵第i行(列)；把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵：单位矩阵经过初等变换得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；

25、单位矩阵经过初等变换得P(i(t)且P(i(t)-1=P(i(1/t)；单位矩阵经过初等变换得P(i,j(t)且P(i,j(t)-1=P(i,j(-t).定义9 设方阵BPnn，若B2=E，就称B为对合矩阵.定义10 设方阵APnn，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵CPnn，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义 12 设方阵APnn，P，若存在向量，满足Al=X，我们就称是A的特征值，X是A属于特征值的特征向量.定义13 APnn，定义mA()为矩阵A的最小多项式 ，mA()的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA()首项系数是1.33 矩阵的对角化本章介绍数域P上

26、n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果1，k是矩阵Q的不同的特征值，而i1,，iri是属于特征值i的线性无关的特征向量，i=1,2,k，那么11,1r，,k1，kr也线性无1k关.证明：假设t1111+t1212+t1r11r1+tk1k1+tkrkkrk=0，令ti1i1+tijP，+tikiiki=i，则Qi=ii（i=1,2,k）， 且 1+2+k=0 （1）分别用E,Q,Q2,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmi=ii，（m=1,2.k-1;i=1,.,t),由此有k=0,1+2+.+.=0,Kk112222211+22+.Kk

27、=0,.k-1k-1k-1+.1122kk=0.该线性方程组的系数矩阵为1111 2kD= 1，D为范德蒙行列式，又由i(i=1,2.k)互异有D0. k-1k-1k-1 2 k1根据克拉默法则就有i=0，即ti1i1+tikiiki=0，再由i1,.,iri线性无关得：ti1=ti2=.=tiki=0(i=1,2.k) ，故11,.,1r1.,iri.,krk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 QPnn与对角阵相似Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化存在可逆矩阵T=(T1,T2，Tn)使得40011 22T-1QT= QT=T，即 0 nn0(

28、QT1,QT2,QTn)=（T1,T2,Tn).因此Q可以对角化存在Ti（i=1,2,n）P使得QTi=iTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵QPnn有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 1,2,.,t（互不相同）是BPnn的特征值，iP(i=1,2,.,t)， B可对角化r

29、(iE-B)=(t-1)n （r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(iE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(iE-B)，我们可以得到关于i的线性无关的特征向量的个数是n-r(iE-B)（i=1,2,.,t)，再由引理1推出矩阵B有(n-r(iE-B)个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化B有n个线性无关的特征向量 (n-r(E-B)=n， ii=1ttr(E-B)=(t-1)n. ii=1定理3 QPnn与对角矩阵相似的充要条件：iP(i=1,2.,t)且n-(iE-Q)=ri (ri表示i的代数重数).证明：设i的线性无关的特征向量为i1,i2,.,ir

30、i，由引理1有：511,12,.,1r,.,ir,.,tr线性无关. 1it若r1+r2+.+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量Q可以对角化. 若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n. 否则根据定理1就可以推出1,2,.,t线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,BPnn，则有r(A+B)r(A)+r(B).证明：先证rankA,Brank(A)+rank(B)(2). 根据矩阵秩的定义有rA,Bn2n阶矩

31、阵A,B的线性无关的行数方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数r(A)+r(B).E对方阵矩阵B+A=B,A，由(2)式有r(B+A)rA,B，所以Er(A+B)r(A)+r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)r(A)+r(B)-n.COCT证明：先证r(C)+r(D)=r ODr OD（3），其中T为任意n阶方阵.显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M10，D有q阶子式M20.CT于是 OD有p+q阶子式 M1*=M1M20, OM2CT因此r ODp+q=r(C)+r(D). 要证r(AB)r(A)+r(B)-n，只需证明：运

32、用分块矩阵的初等变换有：6 r(AB)+nr(A)+r(B)En OOEn ABAOEn ABA-B-BEn O， OA有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：-BEn r(AB)+n=r r(A)+r(B). OAEp另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD= OOO-1O-1 D ，若令C OOEn-p=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1. 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)r(AB)+r(H)r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希尔维

33、斯特不等式）设A，B，CPnn分别为ij,jk,kt矩阵，则r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)r(AB)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而OEAABCOEOOEAB = OE O -CE EO B-BC， B也即ABABOABCOABCABO ， O BOB-BCBB-BC再有定理(3)就得OABCOAB rank =rankrank(AB)+rank(BC). O BB-BC推论3设B1,B2,.,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2)+.+r(Bt)(t-1)n

34、+r(B1B2.Bt).定理4 设n阶方阵QPnn，12，且(1E-Q)(2E-Q)=0，则Q可对角化. 7证明：由12，(1E-Q)(2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为1或2，根据引理2，引理3得：r(1E-Q)+r(2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4 设n阶方阵QPnn,1,2,.,t两两互不相等，若(1E-Q)(2E-Q)(t-1E-Q)(tE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(1E-Q)+n-r

35、(2E-Q)+.+n-r(tE-Q)=tn-(r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5 设1,2,.,t（互不相同）是QPnn的的特征值，重数分别为s1,s2,.,st且s1+s2+.+st=n，Q可对角化(E-Q)=0. ii=1t证明：先

36、证明必要性1 Q与V= 2相似，则存在非奇异矩阵T满足 T8 1E1Q=TVT-1=T 2E2T-1，tEt其中Ei(i=1,2,.t)为si阶单位矩阵，于是(iE-Q)=T(iE-V)T-1 (i-1)E1=T (i-2)E2-1T，(i-t)Et从而有tt(-1iE-Q)=T(iE-V)Ti=1i=1 (i-1)E1i=T (i-2)E2iT-1.(i-t)Eti由于(i-j)Ej=0(j=1,2,.,t)，因此i(iE-Q)=0. i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得 J1Q=TJT-1 J=T 2T-1，JtJi(i=1,2,.,t)是Jordan块，若Jj=jEj(j=

37、1,2,.t)，Q就可以对角化，而(iE-Q)=T(iE-J)T-1 (i-J1)E1=T (Ji-2)E2T-1，(i-Jt)Et9(i-J1)E1 i (E-Q)=Ti i i(ii-J2)E2T-1. (i-Jt)Eti所以，若(iE-Q)=0，则因T可逆有(iEi-Jj)=0(j=1,2,.,t)，又因为当ij时，(ij)0，(iEj-Jj)可逆，所以(jEj-Jj)=0，即jEj=Jj(j=1,2,.,t). 引理4 XPnn,1,2m.是X的关于特征值的特征向量，我们有kiii=1m（ki,i=1,2,.,m不全为0，kiP）也是X的关于的特征向量.证明：已知Xi=i，则kiXi=

38、kii，也即Xkii=kii，因此Xkii=kii，i=1i=1mm又ki不全为0，因此kii0，由特征向量的定义有kii是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值得特征向量.定理6 1,2,.,t(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,.,st，则方阵Q与对角矩阵相似r(Aj)=sj(j=1,2,.,t),Aj=(iE-Q).ij证明：先证必要性.Q可对角化存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(1,2,.,t)T-1，从而Aj=(iE-Q)ij(i-1)E1 ij =T (iji-2)E2-1T (i-t)Etij10O1 =T (iji-j)Ej-1T， Ot其中Oj为

39、sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,.,t). 因T可逆，且ij，所以有r(Aj)=r(i-j)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,.,t).ij再证充分性：用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(qE-Q)n-sq，于是当jq时，由引理3有sj=r(iE-Q)r(iE-Q)-(t-2)nijij(n-sj)-(t-2)nij=(t-1)n-(t-2)n-siij=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7 1,2,.,t(互不相同)是n级方阵QPnn的所有特征根，若对任意mZ+满足r(iE-Q)m=r(iE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明：设1,2,.,t的重数分别为s1,s2,.,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得： 定理(高等代数(1E-Q)s1(2E-Q)s2.(tE-Q)st=O，再有引理3的推论就有r(1E-Q)s1+r(2E-Q)s2+.+r(tE-Q)st(t-1)n+r(1E-Q)s1.(tE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m，有r(iE-Q)m=r(iE-Q)，因此r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为