2017-2018学年北师大版高中数学必修二第一二章学案.pdf

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1、2 0 1 7-2 0 1 8 学年北师大版高中数学必修2 学案目 录 第一章立体几何初步l.i简单几何 第一章立体几何初步1.2直观图 第一章立体几何初步1.3三视图 第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理 第一章立体几何初步1.5平行关系 第一章立体几何初步1.6垂直关系 第一章立体几何初步1.7简单几何体的再认识 第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程 第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程 第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系第1课时简单旋转体几种简单旋转体名称定义图形表示相关概念球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，

2、简称球111球心：半圆的圆心球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱士轴底面fc 底面圆柱圆锥以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴 游,底面：圆锥高：在旋转轴上这条边的长度底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台以直角梯形垂直于底底面4底 面：圆台边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台

3、问题思考1.铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义.2.圆台的母线一定交于一点吗？1提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的.因此圆台的母线一定交于一点.3.你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化.当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了.知 识 点 1简单旋转体

4、的概念-K重 点 知 识讲透练会】|讲一讲1.下列叙述正确的个数是（）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.A.0 B.1 C.2 D.3 尝试解答 解析：选 A应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1,故错；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2,故错；半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故错.类 题 通东对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转

5、轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别.练一练21.下列命题正确的是(A.过圆锥侧面上一点有无数条母线B.在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C.圆台的母线有无数条，它们都互相平行D.以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转1 8 0 形成的曲面围成的儿何体是圆台解析：选 D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.知 识 点 2平面图形的旋转问题K重 点 知 识 讲迂练会】I讲一讲2.如图，请描述(1),(2)中/围绕/旋转一周

6、形成的空间几何体及曲面.3L 尝试解答 解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎.(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面.类 题 通法(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断.(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断.练一练2.若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？3d3(1)解：旋转而成的几何体如图所示.3|解 题 高 于l易 错 题 审题要严.做题要细.一招不慎.满盘皆输.试试能.否走出迷宫!用一个平面

7、去截圆柱，截面是什么图形？错解 截面是圆.错因 本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体.正解 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面（或椭圆面的一部分）或者是矩形面.fcncenglianiii gu6cntincng 分层练习 固本提能训练提能区、学业水平达标1 .给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）A.B.C.D.

8、解析：选D依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，正确，错误.2 .截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A.圆柱 B.圆锥C.球 D.圆台解析：选C由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面.3 .有下列三个命题：圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；圆锥的轴截面是等腰三角形.其中错误命题的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选C将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱.圆台的两条母线的延长线必相交，故错误，是正确的.4 .过 球 面 上 两 点 可 能 作 出 的 球 的 大 圆 有.解析：若两个点与圆心不

9、共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个.答案：一个或无数个5 .平 行 于 圆 锥 的 底 面 的 平 面 截 这 个 圆 锥 所 得 的 截 面 是.答案：圆面6 .如图所示几何体可看作由什么图形旋转3 6 0。得到？画出平面图形和旋转轴.0 课下能力提升（一）一、选择题1 .给出以下说法：圆台的上底面缩小为一点时（下底面不变），圆台就变成了圆锥；球面就是球；过空间四点总能作一个球.其中正确说法的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选B根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作

10、球,故不正确.52.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成（）A.一个圆台和两个圆锥B.两个圆台和一个圆锥C.两个圆柱和一个圆锥I）.一个圆柱和两个圆锥解析：选D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体.3 .下图是由哪个平面图形旋转得到的（）解析：选A图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形.4 .以下几何体中符合球的结构特征的是（）A.足球C.乒乓球B.篮球D.铅球解析：选D因为球包括球面及球体内部（即实心）.而足球、篮球、乒

11、乓球都是中空的,可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征.5 .如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是（）A.(1)(2)C.(1)(4)D.(1)(5)解析：选D轴截面为（1）,平行于圆锥轴截面的截面是（5）.二、填空题6 .直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由 组成.解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的.6答案：两个圆锥7 .给出下列四个命题：夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体;圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通过圆台侧面上一点，有无数条母线.其中正确命

12、题 的 序 号 是.解析：错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1).正确，如图(2).错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3).8 .圆台两底面半径分别是2 c m 和 5 c m,母线长是3/c m,则它的轴截面的面积是解析：画出轴截面，如图，过力作4 以 比 于 贝 1 8452=3(0 1 1),4 仁、/斤一 6/=9(c m),SB a A s a=6 3 (c m-).答案：6 3 c m2三、解答题9 .如图，将曲边图形4 6 0 定绕月6 所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的

13、？其中缪/笈曲边应为四分之一圆周且圆心在加 上.B-/_ _ _EX V解：将直线段4 6,B C,5 及曲线段座分别绕月 所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球.7一 旺 灯 i=t-1 0.如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称.解：是圆锥，圆面力必是圆锥的底面，SO是圆锥的高.S A,防是圆锥的母线.是圆柱，圆面4 0 B和圆面力如分别为上、下底面.0 。为圆柱的高，/A与B B为圆柱的母线.不是圆柱，不是圆锥.第 2 课时简单多面体核心必知自读教材找关键 弱H问题思考辨析问题解疑惑 7 zizfiuK.ucK.

14、i ifiu t izhugan 自 主 学 习 梳 理 主 干 核心必知1.简单多面体的定义把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.2.几种常见的简单多面体预习导引区名称定义图形表示相关概念8棱 柱两个面互相平行,其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱侧棱不垂直于底面.的棱柱叫作斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱侧杉N侧底棱J i z高底面：两个互相平行的面侧面：除底面外的其余各面棱：相邻两个面的公共边侧棱：相邻两个侧面的公共边顶点：底面多边形与侧面的公共顶点高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长棱

15、 锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫作棱锥底面是正多边形,各侧面全等的棱锥叫作正棱锥,顶 点侧 棱 小侧面之 高底面4-4 -；-底面：棱锥中的多边形面侧面：除底面外的其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共点高：过顶点作底面的垂线，顶点和垂足间的线段长续表名称定义图形表示相关概念棱 台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台,正棱台的侧面是全等的等腰梯形.底面侧 楼/二 侧1%厂流、底面：原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面侧面：除底面外的其余各面侧棱：相邻侧面的公共边9高：与两个底

16、面都垂直的直线夹在两底面间的线段长 问题思考1.如图所示的几何体是不是锥体，为什么？提示：不是锥体.因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体.2.”有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形.但是也要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥,如图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥.师生共研突破重难 ffiisfienggongyan tupozhongnan知识突破 一I重点知识步 步 探 究 稳 根 基能力提升I拔高知识深 化 提 能 夺 高 分知 识 点1简单旋

17、转体的概念-K重 点知识讲透练会】|讲一讲1.给出下列几个结论：长方体一定是正四棱柱；棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点;多面体至少有四个面；棱台的侧楼所在直线均相交于同一点.10其中，错误的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3 尝试解答 选B对于，长方体的底面不一定是正方形，故错，显然是正确的；对于，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点.当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故是正确的；对于，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于

18、同一点，故是正确的.类 题 通盛认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性.练一练1.下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等解析：选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D,由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.平面图形的旋转问题-K重 点 知 识讲运练会X讲一讲2.如图几何体中，四边形4 4 6

19、历为边长为3的正方形，C G=2,C G 4 4,CG/B R,请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.知识点2A 3 4 尝试解答 这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面,A E Ai.这个几何体不是棱柱.在四边形4 6 6 M中，在4 4上 取 点 使4 =2：在能上取点F,使 跖 =2；连接E F,C F,则过点G,E,尸的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱/品以匕，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥G-必归凡如图.11美 题 通乐认识一个几何体

20、，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开.练一练2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥组合体D.不能确定解析：选A将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征.3.如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到（如图）；也可以由长方体切割去一个三

21、棱柱得到（如图）.|解题高手|围错题图 图审题要严，做题要细，一招不慎,满盘皆榆.试试能否走出迷宫！有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？错解 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱.错因 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱.显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现.这提醒我们必须12严格按照定义判定.正解 满足题目

22、条件的几何体不一定是棱柱，如图所示.达标练 一I学业水平小测，让学生趁热打铁消化所学,既练速度又练准度能力练I课下能力提升，提速提能，每课一检测，步步为营步步赢jc n c e n g li a n i z i g u6 c n ti n tn g 分层练习 固本提能训练提能区、学业水平达标1 .下列说法正确的有（）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析：选A中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例（如下图所示）加以检验，故均不对.2 .

23、棱台不一定具有的性质是（）A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点解析：选C只有正棱台的侧棱都相等.3 .下列几何体中棱柱的个数为（）13A.5 B.4 C.3 D.2解析：选D由棱柱的定义及特征知为棱柱.4 .用6根长度相等的木棒，最多可以搭成 个三角形.解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形.答案：45 .如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；该儿何体有1 2条棱、6个顶点；该几何体有8个面，并且各面均为三角形；该几何体有9个面，其

24、中一个面是四边形,其余均为三角形.解析:用平面/腼可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形力6（力是它的一个截面而不是一个面，故填.答案：6 .如图所示为长方体4 8 8 B C D,E、尸 分 别 为 棱 8、C D 上的点，且B E=C E当用平面比电把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由.解：截 面 喏 上 方 部 分 是 棱 柱，为 棱 柱 戚 一。，其中跳夕 和 C R 是底面.截 面8。下方部分也是棱柱，为棱柱4应 卬-DCFD,其 中 四 边 形 和 四 边 形DCFD,是底面.一课下能力提升（二）14一、选择题

25、1 .用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A.四边形 B.三角形C.三角形或四边形 D.不可能为四边形解析：选 C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图).图 图2 .若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是()A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解析：选 D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等.3 .在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个解析：选 D 如图所示，在长方体4%4 身G4中，取四棱锥4Tm9,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.4 .观察

26、图中四个儿何体，其中判断正确的是()A.(1)是棱台 B.(2)是圆台C.(3)是棱锥 1).(4)不是棱柱解析：选 C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥.5.有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()15A.底面为平行四边形的四棱柱B.五棱锥C.无平行平面的六面体D.斜三棱柱解析：选 D 如图，正三棱锥4戚和正四棱锥岳微力的一个侧面重合

27、后，面 板 和面?（叫平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱.二、填空题6 .在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.解析：如图所示，显然可能；不可能；如四面体A AB D 满足条件；如四面体4 B C 满足条件；如四面体力 仍，满足条件.答案：7 .下列四个命题：（1）棱柱的两底面是全等的正多边形；（2）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（3）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱：（

28、4）四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其 中 正 确 的 序 号 是.解析：（1）棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；（2）,（3）都不能保证侧棱与底面垂直；（4）易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确.答案：（4）8 .用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可.答案：三棱柱或三棱台16三、解答题9.指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成.解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体.(1)是一个三棱

29、柱和一个四棱柱组成的几何体.(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体.10.画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示.解：画三棱台一定要利用三棱锥.如图所示,三棱柱是棱柱4 B C-AB C.(2)如图所示，三个三棱锥分别是/B-A BC,C-A B C.171.2直观图核心必知 自 读 教 材 找 关 键问题思考 辨 析 问 题 解 疑 惑z i z h u K.u e K.i s h ut i z h ug a n自 主 学 习 梳 理 主 干 核心必知1.斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系晨加，画直观图时，它们分别对应X,

30、轴 和 轴，两轴交于点0,使/0 y =45,它们确定的平面表示水平平面.(2)已知图形中平行于x 轴 和 轴的线段,在直观图中分别画成平行于x 轴和y 轴的线段.(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变;平行于y 轴的线段，长度为原来的点2.立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，其直观图中对应于z 轴 的 是 z 轴，平面*O y 表示水平平面，平面O z 和 x O z 表示直立平面，平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.问题思考1.斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45。，二测是指测量与x 轴平行

31、的线段长度不变，测量与y 轴平行的线段长度减半.2.斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？提示：平行.3.空间几何体的直观图一定唯一吗？不一定唯一.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同.课堂互动区师生共研突破重难 f f i i s f t e n g g o n g y a n t u p o z f i o n g n a n知识突破-*I重点知识步 步 探 究 稳 根 基能力提升I拔高知识深 化 提 能 夺 高 分知 识 点 1水平放置的平面图形的直观图 重 点 知 识 讲透练会】I讲一讲1.用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.18 尝试

32、解答 法一：(1)如图所示，以回边所在的直线为x轴，以 8 C 边上的高线4。所在的直线为y 轴.(2)画 对 应 的/轴、/轴，使/O y =4 5 .在x 轴上截取O B =0 C=2 c m,在 _/轴上截取O A=；曲，连 接A B,A C,则三角形4 B C 即为正三角形力外的直观图，如图所示.法二：(1)如图所示，以成边所在的直线为y轴，以隙边上的高力。所在的直线为x轴.(2)画 对 应 的/轴、y 轴，使/O y =45 .在/轴 上 截 取。A=的,在 V 轴上截取O B =0 C=；%=l c m,连接 B,A C,则 三 角 形 B C即为正三角形4a的直观图，如图所示.类

33、 题 通法在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.练一练1.画出水平放置的等腰梯形的直观图.解：画法：(1)如图(1),取 4?所在直线为x 轴，以4?中点。为原点，建立直角坐标系，设 y 轴与如交于点,画对应的坐标系V O,V,使N x O y =45 .以 0 为中点在x 轴 上 取B =AB,在/轴 上 取 O E=演,以 为 中 点 作 C D x轴，并 使 0 D,=CD.(3)连 接 9C ,D A,所得的四边形4 B C D 就是

34、水平放置的等腰梯形4?必的直观图，如图(2).19知识点2yD(D空间几何体的直观图K重 点 知 识 讲 运 练 会X讲一讲2.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.尝试解答 画法：(1)画 轴.画 公 轴，6 y 轴，0 z 轴，N x(%=45 (或13 5 ),乙x O z=9 0。，如图.(2)画底面.(3)画顶点.AC以。为 中 心 在 平 面 内，画出正方形直观图4%。在龙轴上截取力使方的长度是原四棱锥的高.(4)成图.顺次连接必，P B,P C,P D,并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.奏 题 通乐画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系

35、的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴.此题也可以把点4 B,乙放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定.练一练2.画出五棱柱的直观图.解：画法:(1)画轴：画X,轴,使/O y =45 ,Zy O z =9 0 .画底面:在俯视图中，建立直角坐标系x勿(如图)，利用斜二测画法画出底面AB CDE的直观图4 B C D E .(3)画侧棱：过 ，夕，C ,，炉各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上截取/A,S B ,C C,D D,E E,使它们都等于主视图中矩形的高.成 图:连 接 4 B ,B C ,C D,D E ,E A ,并加以整理(去掉辅助线,20并将被遮住的部分改为虚线)，

36、就得到原几何体的直观图(如图).知 识 点 3将直观图还原为平面图形K拔 高 知 识,拓 宽 提 能】I讲一讲3.一个四边形的直观图是一个底角为45 ,腰和上底长均为1 的等腰梯形.求原四边形的面积.尝试解答 如图是四边形的直观图，取 夕C所在直线为X,轴.因为B C=45 ,所以取6 A 所在直线为V 轴.过 作 E /A B 交 8 C 于,则夕 E =A D=1.又因为梯形为等腰梯形，所以炉D C为等腰直角三角形.所以炉C =木.再建立一个直角坐标系x的,如图(2)所示，在 x 轴上截取线段比=8,C=1+2,在 y 轴上截取线段为=29A=2.过/作a，截取D=1.连接锻，则四边形48

37、(力就是四边形H B C D的实际图形.四 边 形 为 直 角 梯 形，上底4=1,下底a7=1+*,高AB=2,所以 S 梯 形 A B C D=QAB AD B。=X 2 X(1 +1+小)2+y 2.类 题 通法(1)由直观图还原平面图形关键有两点：平行V 轴的线段长度不变，平行V 轴线段变为原来的2 倍；对于相邻两边不与X,、/轴平行的顶点可通过作/轴，V 轴平行线变换确定其在 x。/中的位置.(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是锣=芈.3原图 4练一练213.已 知 的 平 面 直 观 图 /B C是边长为a 的正三角形，那么原力弘的面积为（）A.&B.乎才2

38、4C.坐 a2 D.邓 a。解析:选C 如图（1）为直观图，图为实际图形.取夕C所在直线为X,轴，过6 C中点0 与。x 成 45 的直线为V 轴，过 H 点 作 N /O ,交 V 轴于M点,过 4 点作4 犷/O y,交 V 轴于犷点.则 4y=24 =#a,a X 6 a=-a2.解 题 高 手 住 错 题审题要严.做题要细.一招不慎,满盘皆输，试试能否走出迷言！画出右图中四边形4%的 直 观 图（图中数据已给出）.错解 以。为原点，仍所在直线为x 轴建立直角坐标系x勿,如图甲，作N C 0 B=45 ,其 中。B 是水平的，O B =4,O D=3,O C=1,过。作 N 8 D A=

39、90 ,使 A D=1,顺次连接 O A,A*,B C ,所得四边形。A B C即为四边形如比的直观图，如图乙.22 错因 坐标轴上的点0,B,。画得正确，点/的直观图位置画错了，应该依据点/到 y 轴的距离不变，到 x 轴的距离减半的方法确定小的位置.正解 如图所示，作/C O B=45,其 中 0 B 是水平的，O B=4,O D=3,。C=1,过 点 作 N 6 D A=135,使/D=1,顺次连接 O A,A B ,B C,所得四边形即为四边形力比的直观图.训练提能区、学业水平达标1.用斜二测画法得到：相等的线段和角在直观图中，仍然相等；正方形在直观图中是矩形；等腰梯形在直观图中仍然是

40、等腰梯形；菱形的直观图仍然是菱形.上述结论正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3解析：选 A利用斜二测画法，上面说法没有一个正确.2.如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的（）解析：选 C按斜二测画法的规则：平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在 y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新坐标系中变为原来的看并注意到/O y =45,将图形还原成原图形知选C.233 .如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（）解析：选 A 根据斜二测画法，知在y 轴上的线段长度为原来的一半，可知A正确.4.平行四边形的直观图

41、平行四边形.（用“是”或“不是”作答）解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系.答案：是5 .如图，为46 0 水平放置的直观图，其 中O D =D=2/D,由图判断原三角形中4?,B O,B D,如由小到大的顺序是解析：将直观图还原为平面图形如图所示,由三角形的有关性质可知，O B AB B D O D.答案：O K B K AB V O Br6 .已知一等腰?!外 底 边 46=a,高为与a,求用斜二测画法得到的直观图的面积.解：如图（1）（2）所示的是实际图形和直观图，由图可知，A1 B =AB=a,O C =O C=-a,.1 ,1 -6 2所 以-SAJ,B,C=5，B *C D=TX

42、 aX 0 a 1 a.z z o i o24、课下能力提升（三）一、选择题1 .下列说法中正确的个数是（）相等的角在直观图中对应的角仍然相等相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A.1 B.2C.3 D.4解析：选B只有正确.2 .利用斜二测画法画边长为1 c m的正方形的直观图，正确的是如图所示中的（）解析：选D正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2 ：1.3 .已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积是（）A.1 6 B.6 4 C.1 6 或 6 4 D.都不对解

43、析：选C当其中在X,轴上的边长为4时，正方形面积为1 6；当其中在V轴上的边长为4时，正方形面积为6 4.4.如图，直观图所表示（C。y ,B C /O x）的平面图形是（）A.正三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形解析：选D由/C 0 /,6 （7 0 x ,N C B =4 5 知对应的平面图形为直角三角形.5 .一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）25A.%B.半 a?D.2,2 a2解析：选D由题意知,平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为:，平行四边形的面积为S =2 X X a X2 l2a=2y 2a2.二

44、、填空题6 .如图所示，为一个水平放置的正方形4 6 c 0,它在直角坐标系x O y中，点6的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点6 到x 轴的距离为.解析：在直观图中，A B C 0 是有一个角为4 5 且长边为2,短边为1的平行四边形，.到/轴 的 距 离 为 除答 案:当7 .水平放置的/8C的斜二测直观图如图所示，已 知A C=3,B C=2,则AB边 上 的 中 线 的 实 际 长 度 为.解析：由于直观图中，N 4 C B =4 5 ,则在原图形中/四=9 0 ,4 7=3,比、=4,则斜边4?=5,故 斜 边 上 的 中 线 长 为2.5.答案：2.5

45、8.如图所示是水平放置的/!成?在直角坐标系中的直观图，其中是4。的中点，原 力中，/力 物3 0 ,则原图形中与线段切的长相等的线段有 条.26A,y/B解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段加长度相等的线段，把 还 原 后 为 直 角 三 角 形，则，为斜边 的中点，AD=DC=B D.答案：2三、解答题9.画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 c m、2 c m,高为2 c m).解：(1)画轴，以底面4?。的垂心。为原点，宓所在直线为y 轴，平行于血?的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面B C的垂心。与。的连线为

46、z 轴，建立空间坐标系.y R、巧(2)画下底面，在 工 必 平 面 上 画 的 直 观 图，在 y轴上量取0C=%c m,=c m.过作轴，且/8=2 c m,以为中点，连接”、B C,则 为 下 底 面 三 角 形的直观图.(3)画上底面，在 z 轴上截取0。=2 c m,过 0 作 x 轴x 轴，y 轴y 轴，在/轴上量取 O C=*c m,O D=*c m,过 作 B /轴，A B =1 c m,且以 为中点，则B C为上底面三角形的直观图.(4)连线成图，连接I ,B B ,CC,并擦去辅助线，则三棱台4 9 0-4 B C ,即为所要画的三棱台的直观图(如图).1 0.用斜二测画法

47、得到一水平放置的三角形为直角三角形/比；AC=l,/比=3 0 ,如图所示，试求原图的面积.解：如图所示，作A D V B C D,在 加 上 取 一 点 使DE=AD,由4 C=1,可知B C=2,由斜二测画法(如图(2)可知27B1 C=BC=2,A1 ,SA,ff c=2 C=2AE=y,A E=gx2Xy=#.(1)(2)281.3三视图核心必知 自 读 教 材 找 关 键*问题思考辨 析 问 题 解 疑 惑 核心必知1.三视图中的实虚线在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出.不可见边界轮廓线，用虚线画出.2.绘制三视图时的注意事项(1)绘制三视图时，要注意:主、俯视图长对正;

48、主、左视图高平齐;俯、左视图宽相等,前后对应.(2)画简单组合体的三视图的注意事项:首先，确定主视、俯视、左视的方向.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.其次，注意简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置.3.简单几何体的两种基本组成形式(1)将基本几何体拼接成组合体.(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.问题思考一个简单几何体的三视图：主视图、左视图和俯视图完全一样，这个几何体是正方体或球，对吗？提示：不一定是正方体.球的主视图、左视图和俯视图是完全一样的圆，而正方体的三视图与观察角度有关，有时三种视图的形状不完全相同.师生共研知识点

49、1知识突破 一I重点知识步 步 探 究 稳 根 基能力提升I拔高知识深 化 提 能 夺 高 分简单几何体的三视图K重 点 知 识 讲选练会X29讲一讲1.画出如下图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求).正六棱柱(2)四棱台(3)圆台(1)尝试解答 三视图如图所示:主 视 图 左 视 图0 1俯视图(1)主视图左视图O俯视图(2)4 4主视图左视困回俯视图(3)类 题 通法1 .在1|二视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，看到的画实线，不能看到的画虚线.2.作三视图时

50、，一般俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一样.练一练1.画出如图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求).(1)正三棱柱(2)正四枝柱(3)圆锥解：三视图如图.左视图左视图30左视图知识点2主视困俯视图（3）简单组合体的三视图|重 点 知 识 讲 运 球 会X讲一讲2.画出下列几何体的三视图（阴影面为主视面）.尝试解答类 题 通法对既有拼接，又有切、挖较复杂的组合体，关键是观察清楚轮廓线和分界线，并注意被遮挡部分的轮廓线用虚线表示，在画三视图时，很容易漏画轮廓线，或把虚线画成了实线,要注意检查.练一练2.画出如