矩阵的概念和运算(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的概念和运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）7.2矩阵的概念和运算课题： 矩阵的概念和运算目的要求： 1知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵。掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法及转置等概念。会利用矩阵表示线性方程组重点： 矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法难点： 矩阵乘法教学方法： 讲练结合教学时数： 4课时教学进程：一、矩阵的概念定义1 由mn个数排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标矩阵通常用A，B，C大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或例如：为一

2、个23矩阵在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或0，如：，当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）只有1行（1n）或1列（m1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：，若方阵的元素aij=0（ij），则称A为对角矩阵，aii（i=1,2,n）称为A的对角元，如为二阶对角矩阵对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为In形如、的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵即矩阵的转置矩阵一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵定义2 如果两个m行n列的矩阵，的对应元素分别

3、相等，即那么就称这两个矩阵相等例1 已知，而且A=B，求a, b, c, d解 根据矩阵相等的定义，可得方程组解得a=5, b=2, c=2, d=-1，即当a=5, b=2, c=2, d=-1时A=B应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号二、 矩阵的加法和减法定义 两个m行n列的矩阵与相加（减），它们的和（差）为显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算容易验证，矩阵

4、的加法运算满足以下规律：（）交换律：A+B=B+A；（）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)例2 已知求A+AT和A-AT解 ；三、 数与矩阵相乘定义 一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为，并且规定Ak=kA例如，设，那么四 矩阵与矩阵相乘设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为，如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为，则这两家公司的月利润（单位：万元）应为，可见，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的利润为341万元矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：定义 设mp矩阵，pn矩阵，则由元素构成的mn矩阵称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB由定义可知：A

5、的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；乘积C中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素与B的第j列元素对应乘积之和，即例3 设，求AB，AD解 ；AD无意义例4 已知，求AI和IA解 由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒矩阵乘法满足如下运算规律：（）结合律：(AB)C=A(BC)；（）分配律：A (B+C) =AB+ AC，(B+C) A = BA + CA；（）k(AB)= (kA)

6、 B=A (kB)，k为任意常数例5 设，验证A与B可交换证 ；，因为AB=BA，所以A与B可交换设A为n阶矩阵，则（k为正整数）称为矩阵A的k次幂矩阵A的运算满足（k，l为正整数），由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说例6 已知，求A3解 五、 利用矩阵表示线性方程组对于线性方程组设，根据矩阵乘法，它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为例7 利用矩阵表示线性方程组解 设因为，所以方程组可表示为小结本讲内容：强调1矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法。利用矩阵表示线性方程

7、组。作业：2211；2；3；4；5；6；7；8。2 矩阵的运算(读)教学目的 通过教学，使学生基本掌握矩阵的运算：加法、数乘、乘法及其主要运算性质，理解矩阵转置的思想及其相应的特殊矩阵类教学内容2.2 矩阵的运算为了阐述矩阵的运算，我们先引入定义1 设A=，B=若= ，i=1，2，m；j=1，2，n，则称A与B相等，记作A=B1 加法数乘定义2 设A=,B=,称,其中cij=aij+bij为A与B的和，记作A + B；称，其中dij=kaij为k与A的乘积，记作kA显然，在定义2中，A + B，kA例5 设， ，则，矩阵的加法具有下面四个基本性质：1)交换律 A + B = B + A；2)结

8、合律 (A + B) + C = A + (B + C)；3)存在零矩阵0=，使得0 + A =A，；4)记(1)A =A，叫做A的负矩阵，则(A) + A = 0证 设A=，B =，则 (A + B) + C= =+ = A + (B + C) 因此，结合律成立其余三性质类似可证 由4)，记A + (B) = AB，叫做A与B的差由2)，记(A + B)+C = A + B + C一般地，设，2，r，则记类似加法情形，易证数乘有如下四个基本性质：5)k (A + B) = k A + k B； 6)(k +l)A = k A + l A；7)k (l A) = ( k l)A； 8)1(A)

9、 = A这里A，B，k，lF2 乘法与映射的合成相对应的有矩阵的乘法例如，考虑线性关系 (3) (4)则可用表示，且有线性关系 (5)其中 (6)记A =，B=，则(6)有下面图示：= 因此，我们引进定义3 设A=，B=令则称C=为A与B的乘积，记作AB由上，两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个因子的列数等于第二个因子的行数；且若则例6 设,则.又如在1中，设, ,则1中的线性方程组(1)用矩阵可表示为AX=b，其中A是它的系数矩阵矩阵的乘法有如下性质：1)乘法结合律 (AB)C = A (BC)；2)乘法对加法的分配律 C (A +B)=CA+CB，(A +B)C = AC +BC3)含数乘的算

10、律 k(AB)=(kA)B =A(k B)，kF证 我们来证明乘法结合律设A=B= 则(AB)C, A(BC)，且AB的第i行元素为于是，(AB)C的( i, r )元素为易见上式右边恰为A(BC)的( i, r )元素因此，乘法结合律成立2)、3)的正确性留给同学们完成 由1)，记ABC = (AB)C因此，设则记若，则规定当t=1时，记；当t=0时，记叫做n阶单位矩阵，其中约定叫做Kronecker符号叫做单位矩阵，是因为对于A，都有现在，n阶矩阵A的非负整数幂At已有意义，且易见1)； 2)；3)若A、B 且AB =BA，则在上述的指数法则3)中，条件AB = BA是必要的事实上，与数的

11、乘法不同，存在着A，B，使得ABBA，例如，A = , B = ,则 , ，即有ABBA因此，在中考察AB=BA(称A与B可交换)的问题是矩阵研究中基本又重要的问题当mn时，矩阵乘法的交换律不成立就更为明显.因为此时若,则 由于，连相等的基本约束都失去，还有什么相等可言呢？上述反例还表明，当n1时,存在0A,0B，使得AB = 0这时，称A，B为的零因子因此，有零因子，这也是与数的乘法的又一个显著差异n阶矩阵有零因子的现象也在一般矩阵中出现特别地，有些齐次线性方程组AX = 0有非零解对此，也是矩阵研究的又一基本的重要问题，我们将在第三章中作进一步简述2.3 矩阵的转置定义4 设A=令叫做A的

12、转置矩阵矩阵的转置有下列基本性质：1)； 2)；3)； 4)；证 我们来证明4)设A =，B =，则的元素为上式的最右端恰好是的(i，j)元素因此，4)成立类似可证1)3)成立（请同学们思考练习） 由数学归纳法，上述2)、4)两个性质可推广为1)，2)考虑与转置相关的重要矩阵类，我们引进定义5 设A若，则称A是一个对称矩阵；若，则称A是一个反对称矩阵(或斜对称矩阵)设A，则B=是对称的，C=是反对称的，且A =B+C因此，n阶矩阵可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和例7 设A是数域F上的n阶反对称矩阵，B是F上的n阶对称矩阵证明：1) A2，ABBA都是对称矩阵；2) AB是反对称矩阵，当

13、且仅当AB = BA证 因为，所以是对称矩阵又因为，所以ABBA也对称1)成立现证2).若AB反对称,则又.所以A与B可交换反之，即AB = BA，则因此，AB是反对称矩阵2)也成立课外作业：P33-34：1、1)3)、5)；3、7、10矩阵及基本运算 ( 杜丽英 )l 教学目标与要求使学生理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵加法、数乘、乘法转置及可逆矩阵的定义及它们满足的运算算律。l 教学重点与难点教学重点：矩阵的乘法运算；可逆矩阵定义。教学难点：矩阵的乘法。从变量线性变换的乘法引入矩阵乘法的定义。l 教学方法与建议在引入矩阵的概念时，通过几个引例说明矩阵在生产实践和日常生活中有广泛的应用。在讲矩阵

14、的基本运算时使学生看到，有些运算与数的运算类似，有些则不然。特别是矩阵乘法不满足交换律，消去律等。用学生熟悉的变量线性变换引入矩阵的乘法会使其定义更直观，便于学生理解，对于矩阵乘法不满足交换律、消去律除举例说明外，还需进一步说明有些幂指算律不成立，有零因子等。l 教学过程设计1. 矩阵概念的引入引例1：线性方程组的解取决于系数和常数项，线性方程组的系数和常数按原位置可排为一个数表引例2：某航空公司在A，B，C，D四个城市之间开辟了若干条航线，如图所示表示了四个城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接AB，从A指向B。某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表

15、示了四城市间的航班图,如果从A到B有ABCDA0110B1010C1001D0100四个城市间的航班图情况也可用表格来表示，其中1表示有航班，0表示没有航班。某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,引例3：甲、乙两人玩石头、剪子、布游戏，下面的表格反映甲的赢得情况，其中甲胜得1；甲输得 1；两人相同为0。乙石头剪子布石头01-1剪子-101布1-10甲2. 矩阵的定义(1)定义1：由个数排成行列的数表 用小括号或中括号将其括起来, 称为矩阵, 并用一个大写字母表示, 即 , 简记为. 称为的行列元素 称为方阵 称为实矩阵 称为行矩阵或行向量 称为复

16、矩阵 称为列矩阵或列向量 (2)几个特殊矩阵 零矩阵：所有元素都是0 的矩阵. 即单位矩阵 ；数量矩阵对角矩阵 上三角形矩阵；下三角形矩阵例1： 设变量可由变量表示为 称之为由变量到变量的线性变换, 它与矩阵 是一一对应的3. 矩阵的基本运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵 矩阵相等：设, 若 , 称.（1）线性运算：, 加法： 数乘： 负矩阵： 减法：算律：设为同阶矩阵, 为常数, 则有 例2 设, 满足, 求 解 （2） 矩阵乘法：引入：设有两个线性变换 （）（） 若想求出从到的线性变换，需将（）代入（），整理得 （）分别比较（）、（）、（）式的矩阵，线性变换

17、（）称为线性变换（）与（）的乘积，相应的矩阵C称为矩阵A与B的乘积，即C=AB，或=定义：设 , 其中元素注 的列数 = 的行数。的行数 = 的行数；的列数 = 的列数 与的先后次序不能改变例3 设 , 则 例4 , , 注 无意义 例5 , , 注 ；, , 但是算律： 结合律: 分配律: , 应用：设, , , 线性方程组的矩阵形式 线性变换的矩阵形式 （3）方阵的幂： , 为正整数，, 算律： 注 一般例6 , 求解： 可以利用数学归纳法证得：（4）逆矩阵定义：对于, 若有满足, 则称为可逆矩阵, 并把称为的逆矩阵。(或性质： 若为可逆矩阵, 则的逆矩阵唯一并且记的逆为 , 则 与都可逆，则可逆, 且 一般有规定：可逆, 定义, , 则有 , (,为整数) 例7 验证：与互为逆矩阵解： 由于 那么与互为逆矩阵。例8 求解方程组 ，其中解：由例7知，于是即方程组的解为例9 设方阵与满足 ，试证 可逆。证：由，有，即 或 于是 则 可逆，且例10 证明当时，可逆，并且证： 因，令那么，同理，因此可逆，并且应用： (1) 阶线性方程组求解。 设， 若可逆，则 (2) 求线性变换的逆变换。 设， 若可逆， (3) 矩阵方程求解。 设可逆, 可逆, 且已知, 则